Benutzer:Buss-Haskert/Terme(mit Klammern): Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 8. August 2024, 12:46 Uhr

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Lernpfad Terme (mit Klammern)

In diesem Lernpfad lernst du, wie du mit Termen rechnest. Grundlagen dazu hast du schon in Klasse 7 erarbeitet, diese werden im Vorwissen wiederholt.

Nun liegt der Schwerpunkt auf Termen mit Klammern. Du lernst, wie du die Klammern von Termen auflösen kannst. Zudem lernst du die Binomischen Formeln kennen, die dir ebenfalls helfen, Klammern aufzulösen.

Damit du dem Lernpfad folgen kannst, prüfe zunächst dein Vorwissen mithilfe der Aufgaben in der nachfolgenden Tabelle.

Zusätzliche Aufgaben findest du in deinem Account bei ANTON.

1. Vorwissen und Ausmultiplizieren und Ausklammern
2. Summen multiplizieren
3. Binomische Formeln und 4. Faktorisieren mit binomische Formeln
5. Zusammenfassung
6. Checkliste

Vorwissen

Bearbeite die Aufgaben in der Tabelle: (Buch: Schnittpunkt Mathematik - Differenzierende Ausgabe 8, Klett)

Beschriftung
Du kannst	Übungen im Buch	Erklärvideo
mit Fachbegriffen umgehen	S. 8 Nr. 1	Video laden YouTube YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie
-Terme aufstellen und benennen	S. 8 Nr. 2	Video laden YouTube YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie
-Terme addieren und subtrahieren	S.8 Nr. 3	Video laden YouTube YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie Video laden YouTube YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie
-Terme multiplizieren und dividieren	S.8 Nr. 4 (+Kahoot!)	Video laden YouTube YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie Video laden YouTube YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie
-Terme mit Klammern vereinfachen (+ 🙂und - ↯)	S.8 Nr. 5	Video laden YouTube YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie
- Werte von Termen berechnen (Vorrangregeln)	S. 8 Nr. 7	Video laden YouTube YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Vergleiche deine Lösungen mit den Lösungen hinten im Buch!

Wiederholende Übungen zum Rechnen mit Termen (bei Bedarf)

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgaben
- Addieren und Subtrahieren von Termen

1 - 7

- Multiplizieren und Dividieren von Termen

8 - 16

- Vermische Übungen (+, -, ·, :)

17, 18

- Terme mit Klammern

19 - 24

1. Ausmultiplizieren und Ausklammern (• vor der Klammer )

Wiederholung

Skizziere das Rechteck in dein Heft und berechne den Flächeninhalt des gesamten Rechtecks.

Findest du verschiedene Möglichkeiten? Notiere im Heft.

Vergleiche deine Ideen mit denen im nachfolgenden Video:

Wie lautet der Name dieses Gesetzes? Notiere dies als Überschrift über die obige Zeichnung in dein Heft.

Das Gesetz heißt Verteilungsgesezt (Distributivgesetz). Wir haben dies umgangssprachlich auch "Jedem die Hand geben" genannt und die Hände als Tipp gezeichnet.

Dieses Gesetz wird im folgenden GeoGebra-Applet noch einmal veranschaulicht. Du kannst die Zahlen durch Variablen ersetzen, indem du die Häkchen "Variable anzeigen" auswählst.
Originallink: https://www.geogebra.org/m/XcFmnc9X

Applet von Birgit Lachner

Das Verteilungsgesetz lässt sich auf das Rechnen mit Variablen und Termen übertragen:

Verteilungsgesetz (Distributivgesetz)

Zeichne die Figur in dein Heft und fülle die Lücken im Merksatz. Schreibe ihn in dein Heft ab.

Auch hier ist das große Rechteck aus den kleinen Flächen zusammengesetzt. Der Flächeninhalt kann auf zwei Arten angegeben werden:

als Produkt der Seitenlängen a ⋅ ⟨b+c⟩ und als Summe der einzelnen Flächen a⋅b + a⋅c

Es gilt also: a⋅(b+c) = a⋅b + a⋅c.

Übung 1: Verteilungsgesetz: Rechnen mit Rechtecken

Löse zur Übung die nachfolgenden LearningApps.

Übung 2

Bearbeite die Aufgabe aus dem Buch.

S. 11, Nr. 1

Um die Gesamtfläche als Summe auszudrücken, addiere die Flächeninhalte der einzelnen kleinen Rechtecke. Um die Gesamtfläche als Produkt auszudrücken, bestimme die gesamten Seitenlängen und berechne den Flächeninhalt mit "Länge ⋅ Breite".
Schreibweise:

Summe: Die Figur lässt sich in drei Teilrechtecke zerlegen, mit jeweils der Breite x und den verschiedenen Längen r, s und t.
Summe (der einzelnen Teilrechtecke): x⋅r + x⋅s + x⋅t.

Produkt: Die Figur ist ein Rechteck mit der Breite x und der Länge (r + s + t), die Gesamtflächen berechnen wir mit "Länge⋅Breite", also

(r + s + t)⋅x [oder x⋅(r + s + t)].

Übung 3

Löse die Aufgabe aus dem Buch, eine Skizze kann dir helfen. Info: Der Buchstabe M steht für "Mantelfläche". So wird die Summe der Seitenflächen eines Quaders bezeichnet.

S. 12, Nr. 13a,b und d.

Klappe im GeoGebra-Applet die Mantelfläche auseinander:

Skizze zu a)

Summe: M = x⋅(x+2) + x⋅(x+1) + x⋅(x+2) + x⋅(x+1)

Produkt: M = x⋅(4x+6)

Skizze zu b)

Skizze zu d)

Übung 4

Erstelle selbst eine LearningApp, in der die Gesamtfläche als Summe und als Produkt ausgedrückt werden kann.

1.1 Ausmultiplizieren

Durch Ausmultiplizieren wird ein Produkt in eine Summe umgewandelt, die Klammern werden also aufgelöst.

Hefteintrag: Ausmultiplizieren

Beim Ausmultiplizieren wird jeder Summand in der Klammer mit dem Faktor vor/nach der Klammer multipliziert.

Tipp: "Jedem die Hand geben"

Beispiele:

a)

Produkt Summe

2⋅(x + 5) = 2⋅x + 2⋅5

= 2x + 10

b)

Produkt Summe

(a + 3b)⋅2c = a⋅2c + 3b⋅2c

= 2ac + 6bc

Übung 5 Überflüssige Malpunkte

Um Produktterme so einfach wie möglich zu schreiben, dürfen überflüssige Malpunkte weggelassen werden. Dies sind Malpunkte zwischen einer Zahl und einer Variablen und zwischen einer Zahl oder Variablen und einer Klammer.Markiere die überflüssigen Malpunkte in den Termen.

Übung 6 Ausmultiplizieren

Löse die Klammern auf und vereinfache den Term so weit wie möglich.

Übung 7 Ausmultiplizieren

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Schreibe die Aufgabe in dein Heft ab, multipliziere aus und vereinfache den Term so weit wie möglich.

S. 11, Nr. 2
S. 11, Nr. 5
S. 12, Nr. 10
S. 12, Nr. 11

Die Malpunkte zwischen der Zahl bzw. der Variablen und der Klammer wurden teilweise weggelassen, du musst sie im Kopf ergänzen. Hier also: 5(x+ 2) ist dasselbe wie 5⋅(x+2)

Ausmultiplizieren: Jedem die Hand geben! Notiere als Hilfe Bögen über die Zahlen bzw. Variablen, die du multiplizierst.

Vorsicht mit den Vorzeichen und Rechenzeichen: Das Zeichen in der Klammer wird übernommen und mit der Zahl vor der Klammer multipliziert.

Vorsicht mit den Vorzeichen und Rechenzeichen: Hat der Term außerhalb der Klammer ein Minuszeichen, wird dies mit multipliziert.

Welcher Term muss jeweils ergänzt werden, damit beim Ausmultiplizieren die vorgegebene Lösung entsteht? In Aufgabe a) ist es die "4", denn 9x(4+3y) = 36x + 27xy

Das Distributivgesetz gilt auch für die Division (Nr. 10) und für mehrere Summanden (Nr. 11)

Zusätzliche Übungen zum Ausmultiplizieren (bei Bedarf)

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgaben

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1.2 Ausklammern

Beim Ausklammern wird eine Summe in ein Produkt umgewandelt, es werden also Klammern hinzugefügt. Dies ist nur dann möglich, wenn die Summanden gemeinsame Faktoren haben.

Ausklammern

Gemeinsame Faktoren in einer Summe können ausgeklammert werden.
Beispiel:
8x + 12xy
= 4x⋅2 + 4x⋅3y

= 4x⋅(2 + 3y)

Übung 8 Ausklammern

Suche in den LearningApps nach gemeinsamen Faktoren der Summenden und klammere diese dann aus.

Übung 9 Ausklammern

Löse die Aufgabe aus dem Buch. Schreibe die Aufgabe ab, und klammere dann gemeinsame Faktoren aus.

S. 11, Nr. 6 im Heft.

Hier sind die Faktoren, die ausgeklammert werden müssen, angegeben. a) 8⋅(...)
b) 7x⋅(...)
c) 11y⋅(...)
d) 9b(-...+...)
e) 20s(...)

f) 15vw(...)

Zusätzliche Übungen zum Ausklammern (bei Bedarf)

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgaben

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51
52

weiter: 2. Summen multiplizieren

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
-{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}
+[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}
 <br>
 [[Datei:Clothespins-3687611 1920.jpg|rahmenlos|rechts|<small><small>Bild von analogicus auf Pixabay</small></small>]]
@@ Zeile 15: / Zeile 15: @@
 |+Beschriftung
-! style="width:30%;" |Du kannst
+! style="width:20%;" |Du kannst
 ! style="width:10%;" |Übungen im Buch
+! style="width:20%" |Erklärvideo
 !Übungen online
 |-
 |mit Fachbegriffen umgehen
 |S. 8 Nr. 1
+|{{#ev:youtube|nMm7WQDopLI|300|center}}
 |{{LearningApp|app=pr28y9kik19|width=100%|height=200px}}
 |-
 | -Terme aufstellen und benennen
 |S. 8 Nr. 2
+|{{#ev:youtube|_G0x_CLsVOM|300|center}}
 |{{LearningApp|app=prjmr922j19 |width=100%|height=200px}}
 |-
 | -Terme addieren und subtrahieren
 |S.8 Nr. 3
+|{{#ev:youtube|PKBC90ZwU8A|300|center}}
+{{#ev:youtube|Sy6TR-z7zuQ|300|center}}
 |{{LearningApp|app=5456353|width=100%|height=70px}}{{LearningApp|app=5456360 |width=100%|height=70px}} {{LearningApp|app=6914622|width=100%|height=70px}}
 |-
 | -Terme multiplizieren und dividieren
 |S.8 Nr. 4 (+Kahoot!)
+|{{#ev:youtube|hEp3-Yp9wQo|300|center}}
+{{#ev:youtube|gQC8FFmcFHo|300|center}}
 |{{LearningApp|app=p9m1cu74c01|width=100%|height=70px}}{{LearningApp|app=5561972|width=100%|height=70px}}{{LearningApp|app=6100782|width=100%|height=70px}}
 |-
@@ Zeile 38: / Zeile 45: @@
 (+ &#128578;und - <span style="color:red">'''&#8623;'''</span>)
 |S.8 Nr. 5
+|{{#ev:youtube|u9rkG1MPlvQ|300|center}}
 |{{LearningApp|app=2954738|width=100%|height=100px}}{{LearningApp|app=2956265|width=100%|height=100px}}
 |-
@@ Zeile 43: / Zeile 51: @@
 (Vorrangregeln)[[Datei:Vorfahrtschild.png |50px]]
 |S. 8 Nr. 7
+|{{#ev:youtube|zEvWRs6BWos|300|center}}
 |{{LearningApp|app=6196279|width=100%|height=100px}}{{LearningApp|app=2314464|width=100%|height=100px}}
 |-
@@ Zeile 80: / Zeile 89: @@
 Wie lautet der Name dieses Gesetzes? Notiere dies als Überschrift über die obige Zeichnung in dein Heft.
-{{Lösung versteckt|Das Gesetz heißt Verteilungsgesezt (Distributivgesetz). Wir haben dies umgangssprachlich auch "Jedem die Hand geben" genannt und die Hände als Tipp gezeichnet.[[Datei:Händedruck grau.png|rahmenlos|50x50px]]|rahmenlos|100x100px]]|Lösung|Verbergen}}
+{{Lösung versteckt|Das Gesetz heißt Verteilungsgesezt (Distributivgesetz). Wir haben dies umgangssprachlich auch "Jedem die Hand geben" genannt und die Hände als Tipp gezeichnet.[[Datei:Händedruck grau.png|rahmenlos|50x50px]]|Lösung|Verbergen}}
-Dieses Gesetz wird im folgenden GeoGebra-Applet noch einmal veranschaulicht. Du kannst die Zahlen durch Variablen ersetzen, indem du die Häkchen "Variable anzeigen" auswählst.
+Dieses Gesetz wird im folgenden GeoGebra-Applet noch einmal veranschaulicht. Du kannst die Zahlen durch Variablen ersetzen, indem du die Häkchen "Variable anzeigen" auswählst.<br>
+Originallink: https://www.geogebra.org/m/XcFmnc9X
 <ggb_applet id="XcFmnc9X" width="1072" height="600" border="888888" />
+<small>Applet von Birgit Lachner</small>
 Das Verteilungsgesetz lässt sich auf das Rechnen mit Variablen und Termen übertragen:
@@ Zeile 125: / Zeile 136: @@
 {{Box|Übung 3|Löse die Aufgabe aus dem Buch, eine Skizze kann dir helfen. Info: Der Buchstabe M steht für "Mantelfläche". So wird die Summe der Seitenflächen eines Quaders bezeichnet.
 * S. 12, Nr. 13a,b und d. |Üben}}
-{{Lösung versteckt|1=Skizze zu a)[[Datei:Mantel a.png|mini]]
+{{Lösung versteckt|1=Klappe im GeoGebra-Applet die Mantelfläche auseinander:<br>
+<ggb_applet id="nvf3qcaa" width="681" height="666" border="888888" />|2=Was ist die Mantelfläche?|3=Verbergen}}
+{{Lösung versteckt|1=Skizze zu a)<br>
+[[Datei:Mantel a.png|rahmenlos]]<br>
 Summe: M = x⋅(x+2) + x⋅(x+1) + x⋅(x+2) + x⋅(x+1)<br>
 Produkt: M = x⋅(4x+6)|2=Tipp zu Nr. 13a)|3=Verbergen}}
-{{Lösung versteckt|Skizze zu b) [[Datei:Mantel b.png|mini]]|Tipp zu Nr. 13b)|Verbergen}}
+{{Lösung versteckt|Skizze zu b)<br>
-{{Lösung versteckt|Skizze zu d) [[Datei:Mantel d.png|mini]]|Tipp zu Nr. 13d)|Verbergen}}
+[[Datei:Mantel b.png|rahmenlos]]|Tipp zu Nr. 13b)|Verbergen}}
+{{Lösung versteckt|Skizze zu d)<br>
+[[Datei:Mantel d.png|rahmenlos]]|Tipp zu Nr. 13d)|Verbergen}}
@@ Zeile 138: / Zeile 154: @@
 Durch Ausmultiplizieren wird ein Produkt in eine Summe umgewandelt, die Klammern werden also aufgelöst.
 {{Box|Hefteintrag: Ausmultiplizieren|Beim Ausmultiplizieren wird jeder Summand in der Klammer mit dem Faktor vor/nach der Klammer multipliziert.
-Tipp: "Jedem die Hand geben" [[Datei:Human-emblem-handshake-green-128.png|ohne|mini|36x36px]]|Arbeitsmethode}}
+Tipp: "Jedem die Hand geben" [[Datei:Händedruck grau.png|rahmenlos|50x50px]]|Arbeitsmethode}}
 Beispiele:
 <div class="grid">
@@ Zeile 144: / Zeile 160: @@
 a)
-[[Datei:Rechteck 4.png|mini|alternativtext=|ohne]]
+[[Datei:Rechteck 4.png|rahmenlos|alternativtext=|ohne]]
 Produkt      Summe
@@ Zeile 152: / Zeile 168: @@
   <div class="width-1-2">
-b) [[Datei:Rechteck 5.png|mini|alternativtext=|ohne]]
+b) [[Datei:Rechteck 5.png|rahmenlos|alternativtext=|ohne]]
 Produkt          Summe
@@ Zeile 159: / Zeile 175: @@
 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;= 2ac + 6bc </div>
 </div>
+{{#ev:youtube|bEeTAotb7hg|800|center}}
 {{Box|Übung 5 Überflüssige Malpunkte|Um Produktterme so einfach wie möglich zu schreiben, dürfen überflüssige Malpunkte weggelassen werden. Dies sind Malpunkte zwischen einer Zahl und einer Variablen und zwischen einer Zahl oder Variablen und einer Klammer.Markiere die überflüssigen Malpunkte in den Termen.|Üben}}
@@ Zeile 177: / Zeile 195: @@
 {{Lösung versteckt|Die Malpunkte zwischen der Zahl bzw. der Variablen und der Klammer wurden teilweise weggelassen, du musst sie im Kopf ergänzen. Hier also: 5(x+ 2) ist dasselbe wie 5⋅(x+2)|Tipp 1 zu Nr. 2|Verbergen}}
-{{Lösung versteckt|Ausmultiplizieren: Jedem die Hand geben! Notiere als Hilfe Bögen über die Zahlen bzw. Variablen, die du multiplizierst.[[Datei:Ausmultiplizieren Bsp 1a.png|mini]]|Tipp 2 zu Nr. 2a|Verbergen}}
+{{Lösung versteckt|Ausmultiplizieren: Jedem die Hand geben! Notiere als Hilfe Bögen über die Zahlen bzw. Variablen, die du multiplizierst.
-{{Lösung versteckt|Vorsicht mit den Vorzeichen und Rechenzeichen: Das Zeichen in der Klammer wird übernommen und mit der Zahl vor der Klammer multipliziert[[Datei:Ausmultiplizieren Bsp 2.png|mini]]|Tipp 3 zu Nr. 2c|Verbergen}}
+<br>[[Datei:Ausmultiplizieren Bsp 1a.png|rahmenlos]]|Tipp 2 zu Nr. 2a|Verbergen}}
-{{Lösung versteckt|Vorsicht mit den Vorzeichen und Rechenzeichen: Hat der Term außerhalb der Klammer ein Minuszeichen, wird dies mit multipliziert[[Datei:Ausmultiplizieren Bsp 3a.png|mini]]|Tipp 4 zu Nr. 2d|Verbergen}}
+{{Lösung versteckt|Vorsicht mit den Vorzeichen und Rechenzeichen: Das Zeichen in der Klammer wird übernommen und mit der Zahl vor der Klammer multipliziert.<br>
-{{Lösung versteckt|1=Welcher Term muss jeweils ergänzt werden, damit beim Ausmultiplizieren die vorgegebene Lösung entsteht? In Aufgabe a) ist es die "4", denn 9x(4+3y) = 36x + 27xy[[Datei:Ausmultiplizieren Bsp 4.png|mini]]|2=Tipp zu Nr. 5|3=Verbergen}}
+[[Datei:Ausmultiplizieren Bsp 2.png|rahmenlos]]|Tipp 3 zu Nr. 2c|Verbergen}}
+{{Lösung versteckt|Vorsicht mit den Vorzeichen und Rechenzeichen: Hat der Term außerhalb der Klammer ein Minuszeichen, wird dies mit multipliziert.<br>
+[[Datei:Ausmultiplizieren Bsp 3a.png|rahmenlos]]|Tipp 4 zu Nr. 2d|Verbergen}}
+{{Lösung versteckt|1=Welcher Term muss jeweils ergänzt werden, damit beim Ausmultiplizieren die vorgegebene Lösung entsteht? In Aufgabe a) ist es die "4", denn 9x(4+3y) = 36x + 27xy<br>
+[[Datei:Ausmultiplizieren Bsp 4.png|rahmenlos]]|2=Tipp zu Nr. 5|3=Verbergen}}
 {{Lösung versteckt|Das Distributivgesetz gilt auch für die Division (Nr. 10) und für mehrere Summanden (Nr. 11)|Tipp zu Nr. 10 und 11|Verbergen}}
@@ Zeile 218: / Zeile 240: @@
 * S. 11, Nr. 6 im Heft. |Üben}}
 {{Lösung versteckt|1=Hier sind die Faktoren, die ausgeklammert werden müssen, angegeben.
-a) 8⋅(...) b) 7x⋅(...) c) 11y⋅(...)  d) 9b(-...+...) e) 20s(...) f) 15vw(...)|2=Tipp zu Nr. 6|3=Verbergen}}
+a) 8⋅(...)<br>
+b) 7x⋅(...)<br>
+c) 11y⋅(...) <br>
+d) 9b(-...+...) <br>
+e) 20s(...) <br>
+f) 15vw(...)|2=Tipp zu Nr. 6|3=Verbergen}}
 {{Box|Zusätzliche Übungen zum Ausklammern (bei Bedarf)|Löse auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/gleichung/terme-vereinfachen.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben
-* 43
+* 50
-* 44
+* 51
-* 45|Üben}}<br>
+* 52|Üben}}<br>
 {{Fortsetzung|weiter=weiter: 2. Summen multiplizieren|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Terme_(mit_Klammern)/Summen_multiplizieren}}

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Aktuelle Version vom 8. August 2024, 12:46 Uhr