Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in allgemeinen Dreiecken: Unterschied zwischen den Versionen
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Aktuelle Version vom 3. April 2024, 10:26 Uhr
1) Sinus, Kosinus, Tangens
2) Strecken- und Winkelberechnungen in rechtwinkligen Dreiecken
3) Berechnungen in allgemeinen Dreiecken
4) Berechnungen in beliebigen Figuren
3 Strecken- und Winkelberechnungen in allgemeinen Dreiecken
Die Seitenverhältnisse Sinus, Kosinus und Tanges gelten nur für rechtwinklige Dreiecke.
Um in allgemeinen Dreiecken Strecken und Winkel berechnen zu können, zerlege das Dreieck mithilfe einer Höhe in zwei rechtwinklige Dreiecke.
3.1 Beispiel 1: Eine Seite und zwei Winkel sind gegeben
1. Möglichkeit: Zerlege das Dreieck durch die Höhe ha ein zwei rechtwinklige Dreiecke.
① Bestimme γ:
Winkelsummensatz
γ = 180° - α - β
= 180° - 42° - 62°
= 76°
② Berechne ha:
sin β = | ·c
c · sin β = ha
8,5 · sin(42°) = ha
5,7 (cm) ≈ ha
③ Berechne b:
sin γ = | ·b
b · sin γ = ha | : sin γ
b =
b =
b ≈ 5,9 (cm)
Berechne a:
④ Berechne a1:
cos β = | ·c
c · cos β = a1
8,5 · cos (42°) = a1
6,3 (cm) a1
⑤ Berechne a2:
cos γ = | ·b
b · cos γ = a2
5,9 · cos (76°) = a2
1,4 (cm) a2
⑥ Berechne a:
a = a1 + a2
= 6,3 + 1,4
= 7,7 (cm)
2. Möglichkeit: Zerlege das Dreieck durch die Höhe hb ein zwei rechtwinklige Dreiecke.
① Bestimme γ:
Winkelsummensatz
γ = 180° - α - β
= 180° - 42° - 62°
= 76°
② Berechne hb:
sin α = | ·c
c · sin α = hb
8,5 · sin(62°) = hb
7,5 (cm) hb
③ Berechne a:
sin γ = | ·a
a · sin γ = hb | : sin γ
a =
a =
a 7,7 (cm)
Berechne b:
④ Berechne b1:
cos α = | ·c
c · cos α = b1
8,5 · cos (62°) = b1
4,0 (cm) b1
⑤ Berechne b2:
cos γ = | ·a
a · cos γ = b2
7,7 · cos (76°) = b2
1,9 (cm) b2
⑥ Berechne b:
b = b1 + b2
= 4,0 + 1,9
= 5,9 (cm)
3.2 Beispiel 2: Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sind gegeben
1. Möglichkeit: Zerlege das Dreieck durch die Höhe ha ein zwei rechtwinklige Dreiecke.
① Bestimme ha:
sin γ = |·b
b · sin γ = ha
5,8 · sin(65°) = ha
5,3 (cm) ha
② Bestimme a2
cos γ = |·b
b · cos γ = a2
5,8 · cos(65°) = a2
2,5 (cm) a2
③ Bestimme a1
a – a2= a1
8,2 - 2,5 = a1
5,7 (cm) = a1
④ Bestimme β
tan β =
tan β = |tan-1
β 42,4°
⑤ Bestimme c
sin β = |·c
c · sin β = ha |: sin β
c =
c =
c 7,7 (cm)
ODER:
c² = |
c=
c =
c 7,7 (cm)
⑥ Bestimme den letzten Winkel α
Winkelsumme
α + β + γ = 180° |- β; -γ
α = 180° - β - γ
α = 180° - 42,4° - 65°
α = 72,6°
2. Möglichkeit: Zerlege das Dreieck durch die Höhe hb ein zwei rechtwinklige Dreiecke.
① Bestimme hb:
sin γ = |·a
a · sin γ = hb
8,2 · sin(65°) = hb
7,4 (cm) hb
② Bestimme b2
cos γ = |·a
a · cos γ = b2
8,2 · cos(65°) = b2
3,5 (cm) b2
③ Bestimme b1
b – b2= b1
5,8 - 3,5 = b1
2,3 (cm) = b1
④ Bestimme α
tan α =
tan α = |tan-1
α 72,7°
⑤ Bestimme c
sin α = |·c
c · sin α = hb |: sin α
c =
c =
c 7,8 (cm)
ODER:
c² = |
c=
c =
c 7,7 (cm)
⑥ Bestimme den letzten Winkel β
Winkelsumme
α + β + γ = 180° |- α; -γ
β = 180° - α - γ
β= 180° - 72,7° - 65°
Du merkst, es kommt zu Rundungsungenauigkeiten.
3.3 Beispiel 3: Zwei Seiten und ein anliegender Winkel sind gegeben
Erkläre, warum es hier nur eine Möglichkeit gibt, das Dreieck zu zerlegen: die Höhe hc .
① Bestimme hc:
sin α = |·b
b · sin α = hc
10,5 · sin(37°) = hc
6,3 (cm) hc
② Bestimme c1
cos α = |·b
b · cos α = c1
10,5 · cos(37°) = c1
8,4 (cm) c1
③ Bestimme c2
= a² |-
= a² - |
c2=
c2 =
c2 3,1 (cm)
④ Bestimme c:
c = c1 + c2
= 8,4 + 3,1
⑤ Bestimme β
sin β =
sin β = |sin-1
β 64,2°
Winkelsumme
α + β + γ = 180° |- α; -β
γ = 180° - β - α
γ= 180° - 37° - 64,2°
γ = 78,8°
Das Video fasst das Vorgehen noch einmal zusammen:
3.4 Anwendungsaufgaben
Zwischentest 4: Anwendung in einem beliebigen Dreieck
3.5 Erweiterung: Formel für den Flächeninhalt beliebiger Dreiecke (mit Sinus)
3.6 Erweiterung: Sinussatz
In allgemeinen Dreiecken gilt der Sinussatz. Kannst du ihn herleiten? Das nachfolgende Applet zeigt dies Schritt für Schritt:
Originallink https://www.geogebra.org/m/ynfadptm
Applet von Buß-Haskert
linkes Teildreieck:
sinα = |·b
b·sinα = hc
rechtes Teildreieck:
sinβ = |·b
a·sinβ = hc
Also gilt:
a·sinβ = b·sinα | : sinα; : sinβ
Ebenso kannst du dies für ha und hb herleiten und erhältst den Sinussatz:
3.7 Erweiterung: Kosinussatz
In allgemeinen Dreiecken gilt der Kosinussatz. Kannst du ihn herleiten? Das nachfolgende Applet zeigt dies Schritt für Schritt:
Originallink https://www.geogebra.org/m/zyafbyhq