Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Sinus,Kosinus,Tangens: Unterschied zwischen den Versionen
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Wähle aus, welche Seite markiert werden soll. Präge dir die Namen und die besondere Lage der Seiten zum jeweiligen Winkel ein.<br> | |||
Originallink: https://www.geogebra.org/m/zrrpdt9b | |||
<ggb_applet id="arvwre7z" width="700" height="400" border="888888" /><small>Applet von T. Traub</small> | |||
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{{Box|1=Sinus, Kosinus, Tangens|2=In einem rechtwinkligen Dreieck (mit <math>\gamma</math>=90°) bezeichnet man die Seitenverhältnisse wie folgt: | {{Box|1=Sinus, Kosinus, Tangens|2=In einem rechtwinkligen Dreieck (mit <math>\gamma</math>=90°) bezeichnet man die Seitenverhältnisse wie folgt: | ||
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===1.3 Übungen: Sinus, Kosinus und Tangens - Streckenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken=== | ===1.3 Übungen: Sinus, Kosinus und Tangens - Streckenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken=== | ||
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* [https://dwu-unterrichtsmaterialien.de/depothp/hp-math/hpmwf12.htm '''Übung 7'''] | * [https://dwu-unterrichtsmaterialien.de/depothp/hp-math/hpmwf12.htm '''Übung 7'''] | ||
* [https://dwu-unterrichtsmaterialien.de/depothp/hp-math/hpmwf13.htm '''Übung 8'''] | * [https://dwu-unterrichtsmaterialien.de/depothp/hp-math/hpmwf13.htm '''Übung 8'''] | ||
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+ sinα = <math>\tfrac{a}{c}</math> | + sinα = <math>\tfrac{a}{c}</math> | ||
+ cosα = <math>\tfrac{b}{c}</math> | + cosα = <math>\tfrac{b}{c}</math> | ||
- b·tanα = | - b·tanα = i | ||
{ Ergänze zu einer wahren Aussage. | { Ergänze zu einer wahren Aussage. | ||
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Du hast also sin 38° <math>\approx</math> 0,62 berechnet. Dies kannst du mit der Simulation auf der Seite Aufgabenfuchs oben oder mit der nachfolgenden überprüfen. | Du hast also sin 38° <math>\approx</math> 0,62 berechnet. Dies kannst du mit der Simulation auf der Seite Aufgabenfuchs oben oder mit der nachfolgenden überprüfen.<br> | ||
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<ggb_applet id="whswnkvg" width="1532" height="909" border="888888" /> | <ggb_applet id="whswnkvg" width="1532" height="909" border="888888" /> | ||
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{{Box|Übung 6|Löse auf der Seite [https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/dreieck/trigonometrie.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben | Der Wert von Sinus, Kosinus und Tangens ist abhängig vom Winkel α. Jedem Sinuswert, Kosinuswert und Tangenswert ist ein Winkel zugeordnet. Den '''Winkel berechnest''' du mit der jeweiligen Umkehrfunktion '''sin<sup>-1</sup>, cos<sup>-1</sup>''' bzw. '''tan<sup>-1</sup>''' dem Taschenrechner, indem du die "SHIFT" Taste nutzt: <br> | ||
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<div class="width-1-5">[[Datei:Taschenrechner Bild shift markiert.png|rahmenlos|290x290px]]</div> | |||
<div class="width-1-5">[[Datei:Taschenrechner Bild sin markiert rot.png|rahmenlos|290x290px]]</div> | |||
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{{Box|Übung 6- Sinus-, Kosinus- und Tangenswerte berechnen|Löse auf der Seite [https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/dreieck/trigonometrie.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben | |||
* Sinus: 9 | |||
* Kosinus: 18 | |||
* Tangens: 26|Üben}} | |||
{{Box|Übung 7|Löse aus dem Buch | {{Box|Übung 7|Löse aus dem Buch | ||
* S. 91 Nr. 3 | * S. 91 Nr. 3 | ||
* S. 91 Nr. 4|Üben}} | * S. 91 Nr. 4 (hier mündlich mithilfe der Simulation unten)|Üben}} | ||
Originallink: https://www.geogebra.org/m/wqjqhqd7<br> | |||
{{Lösung versteckt|Prüfe deine Lösungen zu den Sinuswerten mithilfe der Simulation über Übung 5.|Tipp zu Nr. 3 | <ggb_applet id="wqjqhqd7" width="1050" height="439" border="888888" /> | ||
<small>Applet von Buß-Haskert</small> | |||
{{Lösung versteckt|1= Berechne β mithilfe der Winkelsumme im Dreieck. (β = 180° - 90° - 38° = ...)<br> | |||
Prüfe deine Lösungen zu den Sinuswerten mithilfe der Simulation über Übung 5.|2=Tipp zu Nr. 3|3=Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Die Sinuswerte und Kosinuswerte sind in umgekehrter Reihenfolge gleich. Es gilt sin α = cos (90° – α).<br> | {{Lösung versteckt|1=Die Sinuswerte und Kosinuswerte sind in umgekehrter Reihenfolge gleich. Es gilt sin α = cos (90° – α).<br> | ||
Die Werte für tan α werden immer größer, je näher α dem Wert 90° ist.|2=Beobachtung zu Nr. 4|3=Verbergen}} | Die Werte für tan α werden immer größer, je näher α dem Wert 90° ist.|2=Beobachtung zu Nr. 4|3=Verbergen}} | ||
Aktuelle Version vom 20. Februar 2024, 18:54 Uhr
1) Sinus, Kosinus, Tangens
2) Strecken- und Winkelberechnungen in rechtwinkligen Dreiecken
3) Berechnungen in allgemeinen Dreiecken
4) Berechnungen in beliebigen Figuren
1) Sinus, Kosinus, Tangens - Seitenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken
1.1 Entdecken: Steigung einer Straße
Der Einstieg ist angelehnt an das Material des Landesbildungsservers BW https://www.schule-bw.de/faecher-und-schularten/mathematisch-naturwissenschaftliche-faecher/mathematik/unterrichtsmaterialien/sekundarstufe1/geometrie/trig/trigors/lernumgebung/index.html Es wurde unter der Lizenz CC BY veröffentlicht.
Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Steigung einer Straße anzugeben:
1. Angabe in Prozent
Das Verkehrsschild gibt die Steigung einer Straße in Prozent an.
a) Was bedeutet die Angabe von 12% Steigung? Erkläre!
b) Gibt es eine Steigung, die größer als 100% ist?
2. Angabe mithilfe des Steigungsdreiecks und m
Die Steigung einer Geraden f(x) = mx + b gibt der Faktor m an. Dazu zeichnest du das Steigungsdreieck.
m = = 0,12
3. Angabe mithilfe des Steigungswinkels α
Das nachfolgende Applet zeigt diese drei Möglichkeiten noch einmal. Verändere die Steigung mithilfe des Schiebereglers und beobachte, was passiert.
Orinigallink: https://www.geogebra.org/m/mSrdeKv9
Applet von holo2012
Versuche herauszufinden, welcher Zusammenhang zwischen den verschiedenen Darstellungsmöglichkeiten besteht.
1. Verändere die Höhe und beobachte die anderen Angaben zur Steigung.
2. Aktiviere das Kontrollkästchen "Steigung eines beliebigen Punktes auf der Straße" und verschiebe den Punkt P entlang der Straße.
Ergebnis: In den ähnlichen (rechtwinkligen) Dreiecken gilt:
Das Seitenverhältnis hängt nicht von der Größe der Dreiecke ab, sondern nur vom Winkel α.
Originallink zum Applet: https://www.geogebra.org/m/nnmx7cpz
Applet von C. Buß-Haskert
Auch das folgende Applet zeigt die obigen Beobachtungen noch einmal.
Bewege die Punkte B1, B2 und C1 und beobachte die Seitenverhältnisse.
Originallink: https://www.geogebra.org/m/zanbxdhr
1.2 Definition: Sinus, Kosinus und Tangens: Streckenverhältinisse in rechwinkligen Dreiecken
In einem rechtwinkligen Dreieck bezeichnet man die Katheten bezogen auf den Winkel (z.B. ) mit besonderen Namen:
Wähle aus, welche Seite markiert werden soll. Präge dir die Namen und die besondere Lage der Seiten zum jeweiligen Winkel ein.
Originallink: https://www.geogebra.org/m/zrrpdt9b
Applet von T. Traub
Es gibt eine Eselsbrücke, mit der du dir die Streckenverhältnisse merken kannst:
Die GAGA- Hühnerhof AG:
G steht dabei für die Gegenkathete, A für die Ankathete und H für die Hypotenuse im Dreiecks.
1.3 Übungen: Sinus, Kosinus und Tangens - Streckenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken
Diese Figur besteht aus drei rechtwinkligen Dreiecken:
Dreieck ABC, Dreieck BCD und Dreieck ACD.
Diese Figur besteht aus drei rechtwinkligen Dreiecken:
Dreieck ABC, Dreieck ABD und Dreieck ADC.
Zwischentest 1: Streckenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken
1.4 Werte von sin, cos, tan berechnen
In den vorausgegangenen Übungen hast du jeweils die Seitenverhältnisse für Sinus, Kosinus und Tangens benannt.
Wenn du die Länge der Seiten kennst, kannst du den Wert dieser Seitenverhältnisse berechnen.
Dieser hängt ab vom Winkel, wie oben erarbeitet.
Schau dazu das folgende Video an:
sin = 0,47
cos = 0,88
usw.
Es fällt auf, dass der Sinuswert eines Winkels zwischen 0° und 90° immer kleiner als 1 ist, denn
Die Werte der Seitenverhältnisse hängen ab vom Winkel. Ist in einem rechtwinkligen Dreieck (mit =90°) der Winkel = 10°, so ist das Seitenverhältnis sin = immer gleich groß. Diesen Wert kannst du mit deinem Taschenrechner bestimmen. Die Bildreihenfolge zeigt dir, wie du z.B. den Sinuswert für den Winkel =38° mit bestimmst.
Du hast also sin 38° 0,62 berechnet. Dies kannst du mit der Simulation auf der Seite Aufgabenfuchs oben oder mit der nachfolgenden überprüfen.
Originallink: https://www.geogebra.org/m/whswnkvg
Ebenso berechnest du mit dem Taschenrechner die Werte für den Kosinus (mit der Taste "cos") und den Tangens (mit "tan").
Der Wert von Sinus, Kosinus und Tangens ist abhängig vom Winkel α. Jedem Sinuswert, Kosinuswert und Tangenswert ist ein Winkel zugeordnet. Den Winkel berechnest du mit der jeweiligen Umkehrfunktion sin-1, cos-1 bzw. tan-1 dem Taschenrechner, indem du die "SHIFT" Taste nutzt:
Originallink: https://www.geogebra.org/m/wqjqhqd7
Applet von Buß-Haskert
Berechne β mithilfe der Winkelsumme im Dreieck. (β = 180° - 90° - 38° = ...)
Die Sinuswerte und Kosinuswerte sind in umgekehrter Reihenfolge gleich. Es gilt sin α = cos (90° – α).