Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Quadratische Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen
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Wir schauen uns die Funktion <math>g(x)=a*(x-d)^2+e</math> an. Funktionen dieser Art heißen '''qua''' '''dra''' '''tisch''' '''e''' Funktionen. Der Graph einer solchen Funktion ist eine '''Pa''' '''ra''' '''bel'''. Der höchste bzw. der tiefste Punkt eines solchen Funktionsgraphen heißt '''Schei''' '''tel''' '''punkt'''. Liegt die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform vor, wie es hier der Fall ist, dann kann der Scheitelpunkt S direkt aus der Funktionsgleichung abgelesen werden. Der Parameter d ist die '''x'''-Koordinate und der Parameter e ist die '''y'''-Koordinate des Scheitelpunkts. <math>\Rightarrow </math> S(d | Wir schauen uns die Funktion <math>g(x)=a*(x-d)^2+e</math> an. Funktionen dieser Art heißen '''qua''' '''dra''' '''tisch''' '''e''' Funktionen. Der Graph einer solchen Funktion ist eine '''Pa''' '''ra''' '''bel'''. Der höchste bzw. der tiefste Punkt eines solchen Funktionsgraphen heißt '''Schei''' '''tel''' '''punkt'''. Liegt die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform vor, wie es hier der Fall ist, dann kann der Scheitelpunkt S direkt aus der Funktionsgleichung abgelesen werden. Der Parameter d ist die '''x'''-Koordinate und der Parameter e ist die '''y'''-Koordinate des Scheitelpunkts. <math>\Rightarrow </math> S(d,e). <br> | ||
Ist der Parameter a kleiner als Null (a<0), dann ist der Graph der Funktion g nach '''un''' '''ten''' geöffnet. <br> | Ist der Parameter a kleiner als Null (a<0), dann ist der Graph der Funktion g nach '''un''' '''ten''' geöffnet. <br> | ||
Ist a größer als Null (a>0), dann ist der Graph von g nach '''o''' '''ben''' geöffnet. <br> | Ist a größer als Null (a>0), dann ist der Graph von g nach '''o''' '''ben''' geöffnet. <br> | ||
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|Arbeitsmethode}} | |Arbeitsmethode}} | ||
{{Box|7. Finde die Paare*|Wandle in deinem Heft die Funktionen f | {{Box|7. Finde die Paare*|Wandle in deinem Heft die Funktionen f und g in die Normalform um und die Funktionen i und j in die Scheitelpunktform. Ordne anschließend die gleichen Funktionen einander zu.<br> | ||
Hinweis: Es bleiben am Ende drei Funktionsgleichungen übrig. | Hinweis: Es bleiben am Ende drei Funktionsgleichungen übrig. | ||
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{{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir nicht mehr genau weißt, wie du von der Scheitelpunktform in die Normalform kommst oder umgekehrt, dann schau dir nochmal die Aufgaben 5 und 6 an. | {{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir nicht mehr genau weißt, wie du von der Scheitelpunktform in die Normalform kommst oder umgekehrt, dann schau dir nochmal die Aufgaben 5 und 6 an. | ||
| 2=Tipp | 3=schließen}} | | 2=Tipp | 3=schließen}} | ||
{{Lösung versteckt| | |||
{{Lösung versteckt mit Rand| | |||
<math> | |||
\begin{array}{rlll} | |||
f(x) &=& (x+3)²+4 &\mid 1. binomische Formel \\ | |||
&=& (x²+6x+9)+4 &\mid zusammenfassen \\ | |||
&=& x² +6x +13 | |||
\end{array} | |||
</math> | |||
}} | |||
{{Lösung versteckt mit Rand| | |||
<math> | |||
\begin{array}{rlll} | |||
g(x) &=& 2 \cdot (x-3)²+9 &\mid 2. binomische Formel \\ | |||
&=& 2 \cdot (x² -6x +9)+9 &\mid ausmultiplizieren \\ | |||
&=& 2x²-12x+18+9 &\mid zusammenfassen \\ | |||
&=& 2x²-12x+27 | |||
\end{array} | |||
</math>}} | |||
{{Lösung versteckt mit Rand| | |||
<math> | |||
\begin{array}{rlll} | |||
h(x) &=& x²-14x-4 &\mid quadratische Erg\ddot{a}nzung \\ | |||
&=& x²-14x +7²-7²-4 &\mid 2. binomische Formel rückwärts anwenden \\ | |||
&=& (x-7)²-7²-4 &\mid zusammenfassen \\ | |||
&=& (x-7)² -53 | |||
\end{array} | |||
</math> | |||
}} | |||
{{Lösung versteckt mit Rand| | |||
<math> | |||
\begin{array}{rlll} | |||
i(x) &=& -2 \cdot x² -12x -11 &\mid (-2) \, ausklammern \\ | |||
&=& -2 \cdot (x²+6x+\frac{11}{2}) &\mid quadratische Erg\ddot{a}nzung \\ | |||
&=& -2 \cdot (x²+6x+3²-3²+\frac{11}{2}) &\mid 1. binomische Formel rückwärts anwenden \\ | |||
&=& -2 \cdot ((x+3)²-9+\frac{11}{2}) &\mid zusammenfassen \\ | |||
&=& -2 \cdot ((x+3)²-\frac{7}{2}) &\mid ausmultiplizieren \\ | |||
&=& -2 \cdot (x+3)² +7 | |||
\end{array} | |||
</math> | |||
}} | |||
|Lösung |schließen}} | |||
|Arbeitsmethode}} | |Arbeitsmethode}} | ||
Zeile 240: | Zeile 288: | ||
{{Lösung versteckt| | {{Lösung versteckt| | ||
Umwandlung der | Umwandlung der Normalform in die Scheitelpunktform:<br /> | ||
<math> | <math> | ||
\begin{array}{rlll} | \begin{array}{rlll} |
Version vom 13. Mai 2019, 11:37 Uhr
Scheitelpunktform
Wir schauen uns die Funktion an. Funktionen dieser Art heißen qua dra tisch e Funktionen. Der Graph einer solchen Funktion ist eine Pa ra bel. Der höchste bzw. der tiefste Punkt eines solchen Funktionsgraphen heißt Schei tel punkt. Liegt die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform vor, wie es hier der Fall ist, dann kann der Scheitelpunkt S direkt aus der Funktionsgleichung abgelesen werden. Der Parameter d ist die x-Koordinate und der Parameter e ist die y-Koordinate des Scheitelpunkts. S(d,e).
Ist der Parameter a kleiner als Null (a<0), dann ist der Graph der Funktion g nach un ten geöffnet.
Ist a größer als Null (a>0), dann ist der Graph von g nach o ben geöffnet.
Ist a größer als Eins (a>1) oder kleiner als minus Eins (a<-1), dann sieht der Graph von g schma ler aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph ge streckt wird.
Liegt a zwischen minus Eins und Eins (-1<a<1), dann sieht der Graph von g brei ter aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph ge staucht wird.
Ist d größer als Null (d>0), dann wird der Graph von g nach rechts verschoben.
Ist d kleiner als Null (d<0), dann wird der Graph von g nach links verschoben.
Ist e kleiner als Null (e<0), dann wird der Graph von g nach un ten verschoben.
Ist e größer als Null (e>0), dann wird der Graph von g nach o ben verschoben.
Umwandlung Scheitelpunktform und Normalenform