Herta-Lebenstein-Realschule/Ähnlichkeit und Strahlensätze/1) Vergrößern und Verkleinern

1) Vergrößern und Verkleinern

2) Ähnlichkeit

3) Strahlensätze

1) Vergrößern und Verkleinern

Ein Zeichengerät zum Vergrößern bzw. Verkleinern von Figuren ist der Pantograph. Er wurde früher zum Verkleinern oder Vergrößern von Plänen oder Karten genutzt. Im nachfolgenden Applet kannst du dieses Gerät ausprobieren.
Bewege den blauen Punkt und beobachte, was geschieht.

Applet von G. Baustista

Das folgende Geogebra-Applet zeigt den Buchstaben T. Verändere die Größe des rechten Buchstaben mithilfe des Schiebereglers.

Applet von C. Buß-Haskert
Welche Bedeutung hat der Schieberegler?

Vergrößern und Verkleinern

Ziehe die richtigen Lösungen in die Lücken und schreibe dann den Merksatz in dein Heft ab.

Beim Vergrößern oder Verkleinern einer Figur werden alle Streckenlängen mit demselben Faktor k multipliziert. Dabei ist k immer eine positive Zahl.

Für k > 1 wird die Figur vergrößert.

Für k < 1 wird die Figur verkleinert.

Für die Streckenlängen gilt a' = k∙a, also gilt k = ${\operatorname{a'}\over\operatorname{a}\!}$.

Übung 1: Vergrößern und Verkleinern

Zeichne die Buchstaben H oder L in dein Heft, vergrößere und verkleinere das Original und gib den  Faktor k an.

Schau ins Buch S. 92 oben, dort findest du Beispiele für den Buchstaben L.

Übung 2: Rechtecke vergrößern und verkleinern

Lies im Buch S. 92 unten Beispiel a). Bearbeite danach S. 93 Nr. 1, 2, 3 und 4.

Link GeoGebra-Applet https://www.geogebra.org/classic/rhctngwz

Seitenlänge des Originals: a=7cm Seitenlänge des vergrößerten Bildes: a=10,5cm Erinnerung: k = ${\operatorname{a'}\over\operatorname{a}\!}$=..., denn a'=k∙a

Für die Breite des vergrößerten Bildes gilt: b'=k∙b=...

Erinnerung: k = ${\operatorname{a'}\over\operatorname{a}\!}$=${\operatorname{10}\over\operatorname{6}\!}$=... (Kürze!)

Für die Breite des vergrößerten Bildes gilt: b'=k∙b=...Setze k ein und berechne.

Übung 3: Vielecke vergrößern

Lies im Buch S. 93 oben Beispiel b). Bearbeite danach S. 94 Nr. 6 und 7

Übung 4: Wie ändert sich der Flächeninhalt beim Vergrößern und Verkleinern?

Bearbeite S. 94 Nr. 11. Das nachfolgende GeoGebra-Applet hilft dabei.

a) Vergrößere das Rechteck mit dem Faktor k (Schieberegler). Wie ändert sich der Flächeninhalt? Notiere in einer Tabelle, wie auf S.94 Nr. 11a) dargestellt. (Lies die Tabelle spaltenweise.)

Beim Vergrößer bzw. verkleinern eines Rechtecks ändert sich der Flächeninhalt mit dem Quadrat des Vergrößerunsfaktors k. Also A' = k²· A.

A = a · b , vergrößere/verkleinere das Rechteck mit dem Faktor k, also a'=k·a und b'=k·b, dann gilt

A’ = a’ · b’ = k·a · k·b = k² · a · b = k² · A

Übung 5: Der Kopierer

Wende dein Wissen aus Übung 4 an und löse S. 95 Nr. 18.

Nutze auch hier das GeoGebra-Applet. Stelle k=71%=0,71 und danach k=141%=1,41 ein. Wie ändert sich der Flächeninhalt?

Wenn k =71% ist, dann wird die Fläche halbiert: f = 0,5.

Wenn k=141% ist, dann wird die Fläche verdoppelt: f = 2.

Erklärung:

A'=k²∙A=0,71²∙A $\approx$0,5∙A, denn 0,71²=0,5041$\approx$0,5.

A'=k²∙A=1,41²∙A $\approx$2∙A, denn 1,41²=1,9881$\approx$2.

Tipp zu b): Bestimme zunächst den Vergrößerungsfaktor k für die Seitenlängen mit k=$\frac{a'}{a}$=a':a

29,7 : 25,8 = 1,15 = 115 %, 21 : 19 = 1,10 = 110 %.

Damit alles auf der Seite abgebildet wird, sollte der Kopierer also auf 110 % gestellt werden.

Übung 6: Wie verändert sich das Volumen beim Vergrößern und Verkleinern?

Bearbeite S.94 Nr.12. Das nachfolgende GeoGebra-Applet hilft dir dabei.

Das GeoGebra-Applet zeigt einen Quader mit a=3cm; b=2cm und c=1cm. Vergrößere die Seitenlängen mit dem Faktor k (Schieberegler). Wie verändert sich das Volumen des Quaders? Notiere V₁=6cm³; V₂ = 48cm³ = ____ ∙V₁; V₃ = ... = ____∙V₁; usw. Was fällt dir auf?

1=Vergrößert man die Kantenlängen des Quaders mit k, so vergrößert sich das Volumen des Quaders mit k³. Also V' = k³· V.

V = a · b · c , vergrößere/verkleinere die Kantenlängen mit dem Faktor k, also a'=k·a und b'=k·b, c=k·c' dann gilt

V’ = a’· b’· c’= k·a · k·b · k·c = k³ · a · b · c = k³ · V

2) Ähnlichkeit