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| [[Buss-Haskert/Potenzen/Potenzgesetze|2) Potenzgesetze]]<br> | | [[Buss-Haskert/Potenzen/Potenzgesetze|2) Potenzgesetze]]<br> |
| [[Buss-Haskert/Potenzen/Wissenschaftliche Schreibweise|3) Sehr große und sehr kleine Zahlen: Wissenschaftliche Schreibweise]]<br> | | [[Buss-Haskert/Potenzen/Wissenschaftliche Schreibweise|3) Sehr große und sehr kleine Zahlen: Wissenschaftliche Schreibweise]]<br> |
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| {{Fortsetzung|weiter=5) Rechnen mit Quadratwurzeln|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Wurzeln/Rechnen mit Quadratwurzeln}} | | {{Fortsetzung|weiter=5) Rechnen mit Quadratwurzeln|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Wurzeln/Rechnen mit Quadratwurzeln}} |
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| ===5.1 Multiplikation und Division===
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| '''Multiplikation und Division von Quadratwurzeln - Herleitung'''<br>
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| Berechne die Terme und vergleiche. Was fällt dir auf?<br>
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| <div class="grid">
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| <div class="width-1-2"><math>\sqrt{4}\cdot\sqrt{9}=</math>...<math>\cdot</math>... = <br>
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| <math>\tfrac{\sqrt{144}}{\sqrt{16}}=\tfrac{...}{...}=</math></div>
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| <div class="width-1-2"><math>\sqrt{4\cdot9}=\sqrt{...}=</math><br>
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| <math>\sqrt{\tfrac{144}{16}}=\sqrt{...}=</math></div>
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| </div><br>
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| {{Box|1=Multiplikation und Division von Wurzeln|2=
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| Für das Produkt von Quadratwurzeln gilt:
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| <math> \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} </math> für <math> a, b \ge 0 </math>
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| Für die Division von Quadratwurzeln gilt:
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| <math>\frac {\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} </math> für <math> a \ge 0 \quad und \quad b>0 </math>|3=Arbeitsmethode}}<br>
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| Schau die Beispielrechnungen im nachfolgenden Video an und bearbeite dann die Übungen.<br>
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| {{#ev:youtube|dNp3ls4cETM|800|center}}<br>
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| {{LearningApp|app=p0uhw9drn19|width=100%|height=600px}}
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| {{Box|Übung 1 (*)|Schreibe die Aufgaben aus dem Buch in dein Heft und löse. Notiere deine Rechnung wie folgt:<br>
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| 2a) <math>\sqrt{0,49\cdot100}=\sqrt{0,49}\cdot\sqrt{100}=0,7\cdot10=7</math> <br>
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| 2b) <math>\sqrt{10}\cdot\sqrt{3,6}=\sqrt{10\cdot3,6}=\sqrt{36}=6</math>
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| ...
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| * S. 81 Nr. 2
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| * S. 81 Nr. 3
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| * S. 81 Nr. 4
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| * S. 81 Nr. 5|Üben}}
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| {{Lösung versteckt|1=Ziehe die Wurzel jeweils aus den einzelnen Faktoren, wenn die Faktoren Quadratzahlen sind. <br>
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| Wenn die einzelnen Faktoren keine Quadratzahlen sind, schreibe das Produkt unter ein Wurzelzeichen und berechne zunächst das Produkt. Dieses Produkt ist dann in der Regel eine Quadratzahl. <br>
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| Beispiel:<br>
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| 2d) <math>\sqrt{400\cdot0,64}</math> Hier sind beide Faktoren jeweils Quadratzahlen, ziehe also die Wurzel und multipliziere dann die Ergebnisse.<br>
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| 2c) <math>= \sqrt{400}\cdot\sqrt{0,64}
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| = 20 \cdot0,8
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| =16</math><br><math>\sqrt{2,5}\cdot\sqrt{0,9}</math> Hier sind die Zahlen unter der Wurzel (Radikanden) KEINE Quadratzahlen, schreibe also zunächst das Produkt unter eine Wurzel:<br>
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| <math>= \sqrt{2,5\cdot0,9}
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| = \sqrt{2,25}
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| </math> Das Produkt 2,25 ist eine Quadratzahl, hier kannst du wieder im Kopf die Wurzel berechnen.<br>
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| = 1,5
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| <br>|2=Entscheidungshilfe: Zuerst Wurzel ziehen oder unter ein Wurzelzeichen schreiben?|3=Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|1=4a)<br>
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| <math>\sqrt{...} \cdot \sqrt{289}</math> = 34 |Hier siehst du, dass 289 eine Quadratzahl ist, also <br>
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| <math>\sqrt{...} \cdot</math> 17 = 34 <br>
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| Welche Zahl musst du mit 17 multiplizieren, damit das Produkt 34 beträgt? 2! <br>
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| Überlege, welche Zahl unter der Wurzel stehen muss, damit die Wurzel 2 beträgt? 2² = 4! Also:<br>
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| <math>\sqrt{4} \cdot \sqrt{289}</math> = 34<br>
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| 4b)<br>
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| <math>\sqrt{14..} \cdot \sqrt{3}</math> = 21 |Hier siehst du, dass 3 KEINE Quadratzahl ist, also schreibe das Produkt unter ein Wurzelzeichen:<br>
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| <math>\sqrt{14..\cdot 3}</math> = <math>\sqrt{21^2}</math> |21² = 441<br>
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| Welche Zahl musst du mit 3 multiplizieren, damit das Produkt 441 beträgt? 147! Also:<br>
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| <math>\sqrt{147} \cdot \sqrt{3}</math> = 21|2=Tipp zu Nr. 4|3=Verbergen}}
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| <br>
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| ===5.2 Teilweises Wurzelziehen===
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| <br>
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| {{Box|1=Teilweises Wurzelziehen|2=
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| Durch Zerlegen des Radikanden in ein Produkt, bei dem ein Faktor eine Quadratzahl ist, kannst du teilweise die Wurzel ziehen:
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| <math>\sqrt{a^2\cdot b}=\sqrt{a^2}\cdot\sqrt{b}=a\cdot\sqrt{b}</math> für <math> a, b \ge 0 </math>
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| |3=Arbeitsmethode}}
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| {{#ev:youtube|wOleeZOyrfE|800|center}}
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| {{Box|Übung 2(**)|Löse die Aufgaben <br>
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| [http://www.zum.de/dwu/depothp/hp-math/hpmwu02.htm '''Übung a''']<br>
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| [http://www.zum.de/dwu/depothp/hp-math/hpmwu03.htm '''Übung b''']|Üben}}
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| <br>
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| {{Box|Übung 3(**)|Schreibe die Aufgaben aus dem Buch in dein Heft und löse.
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| * S. 81 Nr. 7
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| * S. 81 Nr. 9|Üben}}
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| {{Lösung versteckt|1=Beispielrechnung:<br>
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| <math>\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=\sqrt{25}\cdot\sqrt{2}=5\sqrt{2}</math><br>
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| Idee: Zerlege den Radikanden in ein Produkt, wobei ein Faktor eine QUADRATZAHL ist. Ziehe dann getrennt die Wurzel aus den beiden Faktoren|2=Beispielrechnung zu Nr. 7|3=Verbergen}}
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| {{Box|Übung 4(***)|Schreibe die Aufgaben aus dem Buch in dein Heft und löse.
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| * S. 81 Nr. 10
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| * S. 81 Nr. 11
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| * S. 81 Nr. 12|Üben}}
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| {{Lösung versteckt|1=Beispiel:<br>
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| 10a) <math>\sqrt{9x}=\sqrt{9}\cdot\sqrt{x}=3\sqrt{x}</math> 9 ist eine QUADRATZAHL, hier kannst du die Wurzel ziehen.<br>
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| b) <math>\sqrt{5a^2}=\sqrt{5}\cdot\sqrt{a^2}=\sqrt{5}\cdot a</math> a² ist eine QUADRATZAHL, hier kannst du die Wurzel ziehen.<br>|2=Beispiel zu Nr. 10|3=Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|1=und nun wird es schwieriger<br>
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| f)<math>\sqrt{27s^2t^3} = \sqrt{9\cdot3s^2t^2t} = 3st\sqrt{3t}</math><br>Zerlege die Faktoren in Quadratzahlen und ziehe dann die Wurzel aus den einzelnen Faktoren.|2=Tipp zu 10f|3=Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|1=
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| <math>\sqrt{\tfrac{x^3}{9y}} = \tfrac{\sqrt{x^2x}}{\sqrt{9}\sqrt{y}} = \tfrac{x\sqrt{x}}{3\sqrt{y}}</math><br>
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| Auch hier ist die Idee, die Zahlen unter der Wurzel in Produkte aus Quadratzahlen zu zerlegen und dann einzeln die Wurzel zu ziehen.|2=Tipp zu 10h|3=Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|1=Beispiel:<br>
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| 11a)<math>\sqrt{\tfrac{2y^2}{18}}=\sqrt{\tfrac{1y^2}{9}}=\tfrac{\sqrt{1}\cdot\sqrt{y^2}}{\sqrt{9}}=\tfrac{y}{3}</math> Kürze zuerst, dann ziehe so weit wie möglich die Wurzel.<br>
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| 11d) <math>\sqrt{\tfrac{24a}{8a^3}}=\sqrt{\tfrac{3}{a^2}}=\tfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{a^2}}=\tfrac{\sqrt{3}}{a}</math> Hier ist nur a² die Quadratzahl, du musst also teilweise die Wurzel ziehen.|2=Beispiele zu Nr. 11|3=Verbergen}}
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| <br>
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| <br>
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| ===5.3 Addition und Subtraktion (Vorsicht!)===
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| Berechne die Terme und vergleiche. Was fällt dir auf?<br>
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| <div class="grid">
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| <div class="width-1-2"><math>\sqrt{64} + \sqrt{36}=... + ... = ...</math>
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| </div>
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| <div class="width-1-2"><math>\sqrt{64 + 16}=\sqrt{...}= ...</math>
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| </div>
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| </div><br>
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| Bei der Addition und Subtraktion lassen sich die Radikanden '''NICHT!!!''' unter einer Wurzel zusammenfassen!
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| __INHALTSVERZEICHNIS_ERZWINGEN__
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