Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Modellieren

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Quadratische Funktionen - Startseite

1 Quadratische Funktionen entdecken
2 Die Normalparabel f(x) = x²
3 Die gestreckte und gestauchte Parabel: Bedeutung des Parameters a in f(x) = ax²
4 Die verschobene Parabel: Bedeutung des Parameters c in f(x) = ax² + c
5 Die Scheitelpunktform quadratischer Funktionen f(x) = a(x+d)² + e
6 Die Normalform f(x) = x² + px + q und die allgemeine Form quadratischer Funktionen f(x) = ax² + bx + c
7 Nullstellen quadratischer Funktionen

8 Modellieren (Anwendungsaufgaben)

8 Modellieren - Anwendungsaufgaben

In unserer Umgebung gibt es viele Beispiele für Parabeln. Besonders häufig sind sie z.B. beim Brückenbau und bei Wurf- bzw. Flugbahnen zu sehen.
Es gibt besondere Punkte, die in Anwendungen immer wieder von Bedeutung sind:

• Scheitelpunkt
• Nullstellen
• Schnittpunkt mit der y-Achse
• Koordinaten eines beliebigen Punktes

Wenn in Anwendungsaufgaben die Funktionsgleichung gegeben ist, schau, welche Form sie hat, zeichne eine passende Skizze, beschrifte die Achsen und trage gegebene Punkte ein.

f(x) = ax²

f(x) = ax² + c

f(x) = a(x + d)² + e mit S(-d|e)

Fragen zu eigenen Parabeln stellen

Du hast während der Klassenfahrt Fotos von Parabeln gemacht. Zeichne in das Foto ein Koordinatenkreuz und stelle Fragen an dieses Bild, so dass der Scheitelpunkt, die Nullstellen, der Schnittpunkt mit der y-Achse oder ein beliebiger Punkt diese Frage beantworten.

Beispiel 1:

(Autor:Roulex 45; https://de.wikipedia.org/wiki/Golden_Gate_Bridge#/media/Datei:Golden-Gate-Bridge.svg)

Mögliche Fragen sind:

• Wie hoch verläuft die Fahrbahn über dem Meeresspielgel? (Scheitelpunkt, y-Koordinate)
• Wie lang sind die Hängeseile? (Koordinaten bestimmter Punkte auf der Parabel)

Beispiel 2:

Mögliche Fragen sind:

• Wie weit springt die Person? (2. Nullstelle)
• Wann hat sie die größte Sprunghöhe erreicht? (x-Koordinate des Scheitelpunktes)
• Wie hoch ist die größte Höhe des Körperschwerpunktes? (y-Koordinate des Scheitelpunktes)
• Wie hoch liegt der Körperschwerpunkt beim Absprung über dem Boden? (Schnittpunkt mit der y-Achse)

Übung 1: Modellieren mit quadratischen Funktionen

Datei:Modellieren.png

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Erstelle eine Skizze und notiere deine Lösungen ausführlich und übersichtlich.

• S. 24 Nr. 1
• S. 24 Nr. 2
• S. 24 Nr. 3

Quelle: wikipedia.org

Tipp: Skizze!

Zeichne das Koordinatensystem so ein, dass der Scheitelpunkt S im Ursprung liegt. Dann kannst du die Funktionsgleichung der Form f(x) = ax² nutzen.
Beschrifte die Skizze mit den gegebenen Größen.

Kennst du einen Punkt auf der Parabel? Setze ein und löse nach a auf.

Koordinatenkreuz passend eingetragen:

Die Spannweite w=486m und die Höhe h=88m führt zu den Punkten P(243|88) und Q(-243|88). Setze die Koordinaten passend in die Funktionsgleichung f(x) = ax² ein und löse nach a auf.

Lösung: a=$\tfrac{88}{243^2}$ ≈ 0,0015.

{{{1}}}

Es können die Punkte P(-23,5|-6,6), Q(-17|-6,5), R(-10,5|-1,3) und S(0|0) abgelesen werden. Die Koordinaten von P eingesetzt in die Funktionsgleichung f(x) = ax² ergeben für a den Wert a=$\tfrac{(-6,5)}{(-23,5)^2}$≈-0,012.
Bestimme a mithilfe des Punktes Q: a=$\tfrac{(-3,5)}{(-17)^2}$≈-0,012.
Bestimme a mithilfe des Punktes R: a=$\tfrac{(-10,5)}{(-1,3)^2}$≈-0,012.

Die Werte von a stimmen (annähernd) überein, daher passt der Brückenbogen zur Funktiongsgleichung f(x) = -0,012x².

Zeichne eine Skizze passend zur Aufgabe. Wie ist die Form der Parabel? Kennst du schon einen Punkt auf der Parabel?

Die Spannweite beträgt w=158m, die Höhe h=69m. Daher kennst du die Punkte P(-79|-69) und Q(79|-69)
Setze die Koordianten in die Funktionsgleichung ein und prüfe, ob du a=-$\tfrac{1}{90}$ erhältst.
ODER
Setze die x-Koordiante eines Punktes in die Funktionsgleichung ein und prüfe, ob die berechnete y-Koordinate passt.

Lösung: Die Daten passen zusammen.

Übung 2 - online

Schau die Aufgaben zum Basketball auf der Seite realmath.de an und vollziehe die Lösungsschritte nach.

• Aufgabe Basektball (mit Lösungsschritten)

Übung 3

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Erstelle eine Skizze und notiere deine Lösungen ausführlich und übersichtlich.

• S. 25 Nr. 5
• S. 25 Nr. 6
• S. 25 Nr. 7
• S. 25 Nr. 8
• S. 25 Nr. 9

Skizze: Die Funktionsgleichung hat die Form f(x) = ax² + c, verläuft also symmetrisch zur y-Achse.

Welche mathematische Bedeutung hat der Durchmesser? Gesucht ist der Abstand zwischen den Nullstellen.

Bestimme die Nullstellen: f(x) = 0

Lösung: Der Durchmesser beträgt ca. 62m.

Die Funktionsgleichung hat die Form f(x) = a(x + d)² + e, mit a=-0,05, also nach unten geöffnet und gestaucht und S(3|1,8). Skizze:

{{{1}}}

Übung 4 - online

Bearbeite auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgabe

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