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| |Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }} | | |Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }} |
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| [[Datei:Louvre-Bannenhaff-mat-Pyramid--w.jpg| rechts | rahmenlos | Glaspyramide des Louvre ]] | | [[Datei:Louvre-Bannenhaff-mat-Pyramid--w.jpg| rechts | rahmenlos | Glaspyramide des Louvre ]] |
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| '''a)''' Im Innenhof des Louvre-Museums in Paris befindet sich eine große Glaspyramide. Die quadratische Grundfläche liegt in einer Ebene, die durch die Ebenengleichung <math> E: 2x_1+x_2+2x_3=7 </math> beschrieben werden kann. Die Spitze liegt im Punkt <math> S(4,5|9|3,5) </math>. Eine Längeneinheit LE im Koordinatensystem entpricht <math> 4 </math>m.
| | Im Innenhof des Louvre-Museums in Paris befindet sich eine große Glaspyramide. Die quadratische Grundfläche liegt in einer Ebene, die durch die Ebenengleichung <math> E: 2x_1+x_2+2x_3=7 </math> beschrieben werden kann. Die Spitze liegt im Punkt <math> S(4,5|9|3,5) </math>. Eine Längeneinheit LE im Koordinatensystem entpricht <math> 4 </math>m. |
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| Welche Höhe hat die Pyramide in Metern? | | Welche Höhe hat die Pyramide in Metern? |
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| | Die Pyramide hat eine Höhe von <math> 24 </math>m. |
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| Die Höhe der Pyramide kann man bestimmen, indem man den Abstand zwischen der Spitze <math>S</math> und der Ebene <math>E</math> bestimmt. | | Die Höhe der Pyramide kann man bestimmen, indem man den Abstand zwischen der Spitze <math>S</math> und der Ebene <math>E</math> bestimmt. |
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| Wir bestimmen den Schnittpunkt von <math>g</math> mit <math>E</math>. Einsetzen von einem allgemeinen Punkt von <math>g</math> in <math>E</math> ergibt <math>(4,5+2t)+(9+t)+2(3,5+2t)=7</math>, also <math>t=-2</math>. Durch Einsetzen in die Geradengleichung <math> \begin{pmatrix} 4,5 \\ 9 \\ 3,5 \end{pmatrix}- 2 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,5 \\ 7 \\ -0,5 \end{pmatrix}</math> erhalten wir den Lotfußpunkt <math>L(0,5|7|-0,5)</math>. Dies ist gleichtzeitig der Mittelpunkt der Grundfläche der Glaspyramide. | | Wir bestimmen den Schnittpunkt von <math>g</math> mit <math>E</math>. Einsetzen von einem allgemeinen Punkt von <math>g</math> in <math>E</math> ergibt <math>(4,5+2t)+(9+t)+2(3,5+2t)=7</math>, also <math>t=-2</math>. Durch Einsetzen in die Geradengleichung <math> \begin{pmatrix} 4,5 \\ 9 \\ 3,5 \end{pmatrix}- 2 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,5 \\ 7 \\ -0,5 \end{pmatrix}</math> erhalten wir den Lotfußpunkt <math>L(0,5|7|-0,5)</math>. Dies ist gleichtzeitig der Mittelpunkt der Grundfläche der Glaspyramide. |
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| Der Abstand zwischen S und L beträgt <math>6LE</math> wegen <math>|\vec{SL}|=\sqrt{(4,5-0,5)^2+(9-7)^2+(3,5-(-0,5))^2}=6 </math>. Die Pyramide hat also eine Höhe von <math>24m</math>. | | Der Abstand zwischen <math>S</math> und <math>L</math> beträgt <math>6</math>LE wegen <math>|\vec{SL}|=\sqrt{(4,5-0,5)^2+(9-7)^2+(3,5-(-0,5))^2}=6 </math>. Die Pyramide hat also eine Höhe von <math>24m</math>. |
| |2=Lösungsweg anzeigen|3=Lösungsweg verbergen}}
| | |2=Lösung zu anzeigen|3=Lösung verbergen}} |
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| {{Lösung versteckt|1=Die Pyramide hat eine Höhe von <math> 24m </math>.|2=Lösung zu a) anzeigen|3=Lösung zu a) verbergen}}
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| |Arbeitsmethode}} | | |Arbeitsmethode}} |
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| {{Box | Aufgabe 4: Glaspyramide | | | {{Box | Aufgabe 5: Glaspyramide - Teil 2 | |
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| [[Datei:Louvre Museum Inverted pyramid 01.JPG| rechts | rahmenlos | ''Spitze der invertierten Glaspyramide'' ]] | | [[Datei:Louvre Museum Inverted pyramid 01.JPG| rechts | rahmenlos | ''Spitze der invertierten Glaspyramide'' ]] |
| '''b)''' An einer anderen Stelle im Innenhof des Louvre befindet sich eine invertierte Glaspyramide. Das bedeutet, ihre quadratische Grundfläche liegt in der gleichen Ebene wie die Grundfläche der großen Glaspyramide, ihre Spitze ist aber unterhalb des Innenhofs. Man kann sie in einem Raum unterhalb des Innenhofs besichtigen. Die Länge der Kante von der Spitze bis zu einer Ecken der Grundfläche beträgt jeweils <math> 10m </math>. Die Grundfläche hat <math> 12m </math> lange Diagonalen, die sich im Punkt <math> (38 | 1 | -35) </math> schneiden. In welchem Punkt <math>S_2</math> liegt die Spitze der umgedrehten Pyramide?
| | An einer anderen Stelle im Innenhof des Louvre befindet sich eine invertierte Glaspyramide. Das bedeutet, ihre quadratische Grundfläche liegt ebenfalls in der Ebene <math> E: 2x_1+x_2+2x_3=7 </math>, ihre Spitze ist aber unterhalb des Innenhofs. Man kann sie in einem Raum unterhalb des Innenhofs besichtigen. Die Länge der vier Kanten von der Spitze bis zur jeweiligen Ecke der Grundfläche beträgt jeweils <math> 10 </math>m. Die Grundfläche hat <math> 12 </math>m lange Diagonalen, die sich im Punkt <math> (38 | 1 | -35) </math> schneiden. In welchem Punkt <math>S_2</math> liegt die Spitze der umgedrehten Pyramide? |
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Info
In diesem Lernpfadkapitel kannst du das Thema "Abstände von Objekten im Raum" wiederholen und vertiefen.
Wie du im Inhaltsverzeichnis siehst, gibt es drei Abschnitte: einen zum Abstand zwischen einer Ebene und einem Punkt, einen zum Abstand zwischen einer Geraden und einem Punkt und einen dritten zum Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden. Suche dir einfach aus, was du üben möchtest. Bei jedem Abschnitt werden erst die jeweiligen Verfahren wiederholt und anschließend gibt es ein paar Aufgaben dazu, darunter sind auch Knobelaufgaben.
Vorher kannst du noch die Einstiegsaufgabe machen, um deine generelle inhaltliche Vorstellung zu testen.
Dieses Thema ist nur für den LK gedacht, daher sind alle Aufgaben auch automatisch LK-Aufgaben und nicht noch jeweils mit einem ⭐ gekennzeichnet.
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
- In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
- Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
- Und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.
Viel Erfolg und Spaß!
Einstieg
Aufgabe 1: Sachsituationen und Rechenschritte zuordnen
Je nachdem, bei welchem Abstandsproblem du hier noch Schwierigkeiten hattest oder was du einfach noch üben willst, kannst du dir den jeweiligen Abschnitt dieses Lernpfadkapitels anschauen.
Abstand eines Punktes von einer Ebene
Im Folgenden werden nun die beiden Verfahren zur Abstandsbestimmung eines Punktes von einer Ebene einzeln wiederholt.
Das Lotfußpunktverfahren
Aufgabe 2: Überblick: Abstand Punkt Ebene
Bei dieser Aufgabe kannst du einen Überblick über die Bestimmung des Abstandes zwischen einem Punkt und einer Ebene mit dem Lotfußpunktverfahren bekommen. Es geht auch um wichtige Begriffe in diesem Zusammenhang.
Fülle die Lücken mit den richtigen Wörtern. Sie werden dir angezeigt, sobald du auf eine Lücke klickst.
Wenn du fertig bist, klicke auf den Haken unten rechts.
Die Abbildung kann dir helfen.
Merke: Abstand eines Punktes P zu einer Ebene E - Lotfußpunktverfahren
Aufgabe 3: Abstände von Punkt-Ebene zuordnen
Berechne die Abstände der verschiedenen Ebenen
zum Punkt
.
Ordne dann den Ebenen den jeweiligen Abstand
zu.
Ziehe dazu den passenden Abstand auf die jeweilige Ebene. Möchtest du eine Karte vergrößern, klicke auf die drauf.
Klicke am Ende auf den Haken unten rechts, um dich selbst zu überprüfen.
Du kannst auch immer die Hesse´sche Normalenform zur Berechnung benutzten. Im Folgenden wurden die Abstände mit dem Lotfußpunktverfahren berechnet.
Abstand von
und
:
Die Gleichung für die zu
orthogonale Gerade
(also die Lotgerade) durch
aufstellen:
.
Den Lotfußpunkt
bestimmen:
in
einsetzten:
Der Lotfußpunkt ist
.
Den Abstand zwischen den Punkten
und
bestimmen:
![{\displaystyle \Rightarrow d\approx 9,354}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=b13e8cb96dcf2f37773e448730eab445&mode=mathml)
Abstand von
und
:
in Koordinatenform umschreiben:
Wenn du hierbei noch Probleme hast, dann schau dir doch nochmal Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum an.
Zu
senkrechte Gerade
durch
aufstellen:
Koordinaten der Geradengleichung
in
einsetzten:
Der Lotfußpunkt ist
.
Den Abstand zwischen den Punkten
und
bestimmen:
![{\displaystyle \Rightarrow d\approx 2,858}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=05b06c93e7068cbc2c7dfaaad44c9030&mode=mathml)
Aufgabe 4: Glaspyramide - Teil 1
Im Innenhof des Louvre-Museums in Paris befindet sich eine große Glaspyramide. Die quadratische Grundfläche liegt in einer Ebene, die durch die Ebenengleichung
beschrieben werden kann. Die Spitze liegt im Punkt
. Eine Längeneinheit LE im Koordinatensystem entpricht
m.
Welche Höhe hat die Pyramide in Metern?
Mach dir eine Skizze. Welche Teilschritte brauchst du zur Bestimmung des Abstands? Wenn du dir unsicher bist, schau nochmal in die Merkbox oben.
Die Pyramide hat eine Höhe von
m.
Der Lösungsweg:
Die Höhe der Pyramide kann man bestimmen, indem man den Abstand zwischen der Spitze
und der Ebene
bestimmt.
Zuerst wird die Geradengleichung der Lotgeraden
zu
durch
aufgestellt. Wir nehmen den Ortsvektor von
als Stützvektor und den Normalenvektor von
als Richtungsvektor, also:
.
Wir bestimmen den Schnittpunkt von
mit
. Einsetzen von einem allgemeinen Punkt von
in
ergibt
, also
. Durch Einsetzen in die Geradengleichung
erhalten wir den Lotfußpunkt
. Dies ist gleichtzeitig der Mittelpunkt der Grundfläche der Glaspyramide.
Der Abstand zwischen
![{\displaystyle S}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e&mode=mathml)
und
![{\displaystyle L}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=d20caec3b48a1eef164cb4ca81ba2587&mode=mathml)
beträgt
![{\displaystyle 6}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=1679091c5a880faf6fb5e6087eb1b2dc&mode=mathml)
LE wegen
![{\displaystyle |\vec{SL}|=\sqrt{(4,5-0,5)^2+(9-7)^2+(3,5-(-0,5))^2}=6 }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=21b2aedbe90c8848f652490156909341&mode=mathml)
. Die Pyramide hat also eine Höhe von
![{\displaystyle 24m}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=8e0153c79d3e0f11e65d8e0ddaa03d65&mode=mathml)
.
Aufgabe 5: Glaspyramide - Teil 2
An einer anderen Stelle im Innenhof des Louvre befindet sich eine invertierte Glaspyramide. Das bedeutet, ihre quadratische Grundfläche liegt ebenfalls in der Ebene
, ihre Spitze ist aber unterhalb des Innenhofs. Man kann sie in einem Raum unterhalb des Innenhofs besichtigen. Die Länge der vier Kanten von der Spitze bis zur jeweiligen Ecke der Grundfläche beträgt jeweils
m. Die Grundfläche hat
m lange Diagonalen, die sich im Punkt
schneiden. In welchem Punkt
liegt die Spitze der umgedrehten Pyramide?
Zeichne eine Skizze, in der du alle bekannten Längenangaben und Punkte einträgst. Was musst du wissen, um die Position der Spitze herauszufinden?
Berechnung der Höhe der Pyramide
Weiter unten findest du eine Skizze der Pyramide, die du mit deiner Maus drehen und vergrößern kannst.
Wenn du die Höhe der Pyramide kennst, weißt du, welchen Abstand die Spitze von der Grundfläche hat. Du kennst auch schon den Mittelpunkt der Pyramiden und kannst entlang des Normalenvektors von
zur Spitze gelangen.
Du kannst die Höhe der Pyramide mithilfe des Satzes von Pythagoras und der Längenangaben berechnen.
Unten siehst du eine Skizze zum Lösungsweg.
Die Höhe der Pyramide kann man mit dem Satz des Pythagoras und den Längenangaben für die Diagonale der Grundfläche und die Kanten berechnen: (siehe Zeichnung zu Tipp 2 zu b))
Es ist
, also beträgt die Höhe der invertierten Pyramide
, was
im Koordinatensystem entspricht.
Die Spitze der umgedrehten Pyramide liegt also in einem Punkt, der einen Abstand von
zur Pyramidengrundfläche hat. Es gibt genau zwei solche Punkte, die Spitze einer "normalen" Pyramide und die Spitze der invertierten Pyramide.
Damit man die Spitze der invertierten Pyramide erhält, geht man vom Mittelpunkt
der Grundfläche aus
entlang der Geraden, die orthogonal zu
ist, und zwar in die andere Richtung als in Aufgabenteil a). Das heißt, man geht
in die entgegengesetzte Richung des Normalenvekotrs von
.
Es ist
, also ist
.
Nun können wir bestimmen, in welchem Punkt
die Spitze liegt:
Es ist
![{\displaystyle \begin{pmatrix} 38 \\ 1 \\ -35 \end{pmatrix}\cdot \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 36 \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \\ -36 \frac{1}{3} \end{pmatrix}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=cd4a327f3f0ee9b7212dd40774ccde65&mode=mathml)
, also erhält man
![{\displaystyle S_2=(36 \frac{2}{3}|\frac{1}{3}|-36 \frac{1}{3})}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=7f4b04b3b77d78ca9f9553ae4ef649f6&mode=mathml)
Die Spitze der invertierten Pyramide liegt im Punkt
![{\displaystyle S_2=(36 \frac{2}{3}|\frac{1}{3}|-36 \frac{1}{3})}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=7f4b04b3b77d78ca9f9553ae4ef649f6&mode=mathml)
.
Die Hesse´sche Normalenform
Um den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene zu bestimmen, gibt es neben dem Lotfußpunktverfahren auch die Möglichkeit, dies mit der Hesse´schen Normalenform zu berechnen. In diesem Abschnitt lernst du, wie du die Normalenform aufstellst und sie zur Abstandsberechnung anwendest.
Merke: Die Hesse´sche Normalenform (HNF)
Aufgabe 5:
Über dem Schuldach schwebt eine Drohne an der Stelle
und ein Falke fliegt auf der Stelle
. Finde heraus, wer den geringeren Abstand zum Schuldach hat. Das Schuldach lässt sich durch folgende Gleichung beschreiben:
. Du darfst hier die HNF benutzen.
![Drone with GoPro digital camera mounted underneath - 22 April 2013.jpg](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/Drone_with_GoPro_digital_camera_mounted_underneath_-_22_April_2013.jpg/300px-Drone_with_GoPro_digital_camera_mounted_underneath_-_22_April_2013.jpg)
Der Normalenvektor der Ebene ist:
Länge des Normalenvektors
bestimmen:
Es folgt:
.
Nun werden die Koordinaten von
eingesetzt:
Die Koordinaten von
können in die selbe HNF eingesetzt werden:
.
Damit hat die Drohne einen Abstand von
![{\displaystyle \frac{2}{3} LE}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=76dfb57ff02ef3838db452bb9d9f384d&mode=mathml)
zum Schuldach und der Falke einen Abstand von
![{\displaystyle 5 LE}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=20595b10026fc4faddc3e610b97ce029&mode=mathml)
. Die Drohne ist also näher zum Dach als der Vogel.
Der Abstand der Drohne zum Dach beträgt
![{\displaystyle \frac{2}{3}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=6ca8c824c79dbb80005f071431350618&mode=mathml)
und der Abstand des Falken zum Dach beträgt
![{\displaystyle 5}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=e4da3b7fbbce2345d7772b0674a318d5&mode=mathml)
. Damit ist der Abstand der Drohne geriner.
Aufgabe 6: Abstand paralleler Ebenen
Gegeben ist die Ebene
. Bestimme zur Ebene
zwei parallele Ebenen, die von
den Abstand
haben.
Überlege dir, welchen Normalenvektor die Ebenen haben müssen, damit sie parallel zu
![{\displaystyle E}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da&mode=mathml)
sind
und
haben beide den Abstand
![{\displaystyle 5}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=e4da3b7fbbce2345d7772b0674a318d5&mode=mathml)
zu
![{\displaystyle E}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da&mode=mathml)
.
Wenn du willst, kannst du auch versuchen, die Aufgaben vom Lotfußpunktverfahren mit der Hesse´schen Normalenform zu lösen.
Abstand eines Punktes von einer Geraden
Aufgabe 7: Grafische Darstellung: Abstand eines Punktes von einer Geraden
Merke: Der Abstand eines Punktes zu einer Geraden
Aufgabe 8: Lichterkette
Für ein Stadtfest soll von der Dachspitze
eines Restaurants eine Lichterkette auf kürzestem Weg zur nahen Uferlinie des Kanals
eine Lichterkette gespannt werden. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht
.
Berechne die Mindestlänge der Lichterkette auf Meter gerundet.
Die Lichterkette muss mindestens
![{\displaystyle 5,48m}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=8fece0bec2b147a52e16891e5f16cb56&mode=mathml)
lang sein.
Aufgabe 9: Die richtige Reihenfolge
Im Folgenden wurde der Abstand von
und
bestimmt.
Bringe die einzelnen Schritte in die richtige Reihenfolge.
Aufgabe 10: Dreieck
Es sind die Punkte
und
gegeben, durch sie verläuft die Gerade
. Die Strecke
bildet die Grundseite eines Dreiecks mit dem dritten Punkt
.
liegt auf der zu
parallelen Geraden
.
a) Stimmt die Behauptung "Der Flächeninhalt des Dreiecks
ändert sich, je nachdem wo
auf der Geraden
liegt"? Wenn ja, warum? Wenn nein, warum nicht?
Du kannst mit der Maus den Punkt
verschieben.
Überlege dir, wie man den Flächinhalt eines Dreiecks allgemein berechnet. Wie ändert sich die Höhe des Dreiecks, wenn man
![{\displaystyle A}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29&mode=mathml)
verschiebt?
Die Behauptung stimmt nicht. Den Flächeninhalt
eines Dreiecks kann man bekanntermaßen mit der Formel
berechnen, wobei
die Länge der Grundseite ist.
In dieser Aufgabe bleibt der Abstand
![{\displaystyle d(A;g)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=de3ca7c358113c7a0aefb79c0bbdfcca&mode=mathml)
immer gleich, da sich
![{\displaystyle A}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29&mode=mathml)
auf einer zu
![{\displaystyle g}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=b2f5ff47436671b6e533d8dc3614845d&mode=mathml)
parallelen Geraden "bewegt". Also ist die Höhe
![{\displaystyle h}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=2510c39011c5be704182423e3a695e91&mode=mathml)
all dieser Dreiecke gleich. Deshalb ändert sich auch der Flächeninhalt
![{\displaystyle F=\frac{1}{2}\cdot G \cdot h}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=6ccb53a3d3b8bd33a665464f87b5299f&mode=mathml)
nicht.
b) Bestimme den Flächeninhalt des Dreicks
.
Überlege dir, welche Abstände du berechnen musst, um den Flächeninhalt bestimmen zu können.
Wir bestimmen zunächst die Länge
der Grundseite:
Es
.
Nun bestimmen wir die Höhe
, also den Abstand der parallelen Geraden
und
mithilfe des Verbindungsvektors von
zur Geraden
.(Da die Geraden parallel sind, ist es natürlich egal, welche der Geraden und welchen Punkt auf der anderen Geraden man nimmt. Ihr könntet ebenso mit dem anderen Verfahren, also mit einer Hilfsebene arbeiten):
Der Punkt
ist ein allgemeiner Punkt auf
. Ein allgemeiner Verbindungsvektor zwischen
und
ist also gegeben durch
.
Damit
orthogonal zum Richtungsvektor von
ist, muss gelten:
bzw.
, also
. Für
ist der Verbindungsvektor also am kürzesten. Somit ist
.
Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt also
![{\displaystyle F=\frac{1}{2}\cdot G \cdot h=\frac{1}{2}\cdot \sqrt(58,5) \cdot 5\approx 19,12}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=c53f2e41568c585b0801406bd72cace6&mode=mathml)
Flächeneinheiten.
Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt also
![{\displaystyle 19,12}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=72a8af27aa8480111abef1ca9e84853d&mode=mathml)
Flächeneinheiten.
Abstand zweier windschiefer Geraden
Verschiebe die Punkte
und
so, dass
die kürzeste Verbindungsstrecke zwischen den windschiefen Geraden
und
ist.
Du kannst die Grafik mit deiner Maus drehen, um die Geraden aus anderen Perspektiven zu betrachten.
Merke: Der Abstand windschiefer Geraden
Aufgabe 11: Maulwurfstunnel
Zwei Maulwürfe graben Tunnel mit einem Durchmesser von jeweils
.
Der erste Maulwurf gräbt entlang der Geraden
und der zweite entlang der Geraden
wobei diese Geraden jeweils in der Mitte des Tunnels liegen.
Die Geraden schneiden sich nicht, aber ihre Tunnel sind nur stabil, wenn sie überall mindestens
Erde dazwischen sind. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht
. Wird das Tunnelsystem halten?
Wenn die kleinste Entfernung, also der Abstand zwischen den Geraden groß genug ist, ist auch an allen anderen Stellen genug Erde zwischen den Tunneln. Überlege dir, welchen Abstand die Geraden voneinander haben müssten, damit die Tunnel nicht einstürzen. Berechne dann den Abstand zwischen den Geraden mit einem Verfahren deiner Wahl.
Da die Tunnel einen Radius von
haben und die Geraden in dem Modell in der Mitte der jeweiligen Tunnel liegen, müssen die Geraden mindestens einen Abstand von
haben, damit die Tunnel nicht einstürzen.
Wir bestimmen den Abstand zwischen den Geraden mithilfe einer Hilfsebene
, die parallel zur Geraden
ist und in der die Gerade
liegt.
Für den Normalenvektor
muss gelten:
und
. Es folgt
und
. Also ist
ein Normalenvektor von
.
Die Normalenform von
lautet nun
.
Nenne
.
Da der Abstand zwischen den Geraden gleich dem Abstand zwischen der Ebene
und einem beliebigen Punkt auf der zu
parallelen Geraden
ist, erhält man nun mit der Hesse'schen Normalenform
Die Geraden haben also einen kleineren Abstand als
. Das heißt, die Tunnel sind nicht überall mindestens
voneinander entfernt und sie werden einstürzen.
Die einzige Lösung für die Maulwürfe ist es, an der kritischen Stelle eine gemeinsame Höhle zu bauen. :)
Die Geraden haben einen Abstand von
. Zwischen den Tunneln sind also an einer Stelle nur
Erde und sie werden einstürzen.
Dann bauen die beiden Maulwürfe an der kritischen Stelle einfach eine gemeinsame Höhle. :)
Aufgabe 12
Bei dieser Aufgabe gibt es drei Geradenpaare
und
, die jeweils windschief zueinander liegen. Schiebe zuerst die Geradenpaare auf das Feld mit der entsprechenden Nummer.
Ordne ihnen dann die jeweiligen Lotfußpunkte
und
sowie den entsprechenden Abstand zwischen den Geraden zu.
Ein paar Zettel bleiben übrig, diese schiebst du auf das letzte Feld.
Du kannst die Zettel vergrößern, indem du sie anklickst.
Tipp: Durch genaue Überlegungen, Rückwärtsrechnen und mithilfe von Skizzen kann man manchmal schnell erkennen, was zusammengehört, ohne alle Schritte des Verfahrens durchzugehen!
Wenn du auf den Haken klickst, kannst du überprüfen, ob du richtig zugeordnet hast.
Du kannst natürlich auch mit dem Verfahren die beiden Lotfußpunkte bestimmen. Hier kannst du dir aber "rückwärts" schneller überlegen, was die Lotfußpunkte sind: Durch Einsetzen erkennt man, dass
![{\displaystyle G(0|2|0)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=567880695d27b679ad3d6805791c5c9a&mode=mathml)
und
![{\displaystyle H(-1|0|-2)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=7276ac15db0be07a1d9d3185622239a2&mode=mathml)
auf der jeweiligen Gerade liegen. Der Verbindungsvektor
![{\displaystyle \vec{GH}=\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=e84410a179cd773f54fd8b78b3ec0681&mode=mathml)
ist wegen
![{\displaystyle \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}=0}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=8e038901d036a3197194518c4c9b4c53&mode=mathml)
und
![{\displaystyle \begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{1}{2} \\ 0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}=0}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=f3184b7e8b1725a108d4a7ec7e82bdfe&mode=mathml)
orthogonal zu
![{\displaystyle g}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=b2f5ff47436671b6e533d8dc3614845d&mode=mathml)
und
![{\displaystyle h}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=2510c39011c5be704182423e3a695e91&mode=mathml)
. Also sind
![{\displaystyle G(0|2|0)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=567880695d27b679ad3d6805791c5c9a&mode=mathml)
und
![{\displaystyle H(-1|0|-2)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=7276ac15db0be07a1d9d3185622239a2&mode=mathml)
die Lotfußpunkte und es ist
![{\displaystyle d(g;h)=|\vec{GH}|=\sqrt{(-1)^2+(-2)^2+(-2)^2}=3}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=1130bad0978f7bb483523321ebbe0e70&mode=mathml)
.
Da der Richtungsvektor von
![{\displaystyle h}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=2510c39011c5be704182423e3a695e91&mode=mathml)
im Eintrag der
![{\displaystyle x_2}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=8732099f74d777a67257cb2f04ead3d8&mode=mathml)
-Koordinate
![{\displaystyle 0}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da&mode=mathml)
ist, ist
![{\displaystyle h}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=2510c39011c5be704182423e3a695e91&mode=mathml)
parallel zur
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-
![{\displaystyle x_3}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=28c5eac946471f68eefb01f7a53b1844&mode=mathml)
-Ebene.
![{\displaystyle g}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=b2f5ff47436671b6e533d8dc3614845d&mode=mathml)
liegt in der
![{\displaystyle x_1}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=aa687da0086c1ea060a8838e24611319&mode=mathml)
-
![{\displaystyle x_3}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=28c5eac946471f68eefb01f7a53b1844&mode=mathml)
-Ebene. (Da die Richtungsvektoren von
![{\displaystyle g}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=b2f5ff47436671b6e533d8dc3614845d&mode=mathml)
und
![{\displaystyle h}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=2510c39011c5be704182423e3a695e91&mode=mathml)
linear unabhängig sind, sind die Geraden nicht parallel zueinander, was aber ja auch schon in der Aufgabenstellung gesagt wurde.) Also kann man den Abstand der Geraden direkt am Unterschied der
![{\displaystyle x_2}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=8732099f74d777a67257cb2f04ead3d8&mode=mathml)
-Koordinaten der Stützvektoren der beiden Geraden ablesen:
![{\displaystyle d(g;h)=|2-0|=2}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=bfd983048612e87ecc2fca8d8f74442f&mode=mathml)
. Da man aber nicht genau weiß, wo
![{\displaystyle g}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=b2f5ff47436671b6e533d8dc3614845d&mode=mathml)
liegt (man kennt nur den Richtungsvektor), kann man auch nicht sagen, wo genau die Lotfußpunkte liegen.