Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Zinsrechnung/Zinseszins: Unterschied zwischen den Versionen
Aus ZUM Projektwiki
Keine Bearbeitungszusammenfassung Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung |
Keine Bearbeitungszusammenfassung Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung |
||
| Zeile 69: | Zeile 69: | ||
|1=Erweiterung der Zinsformel | |1=Erweiterung der Zinsformel | ||
|2=Die Zinsformel kann natürlich auch für die Berechnung des Zinseszins genutzt werden: | |2=Die Zinsformel kann natürlich auch für die Berechnung des Zinseszins genutzt werden: | ||
<math> K=100</math> € werden mit einem Zinssatz <math> Z=5</math> % vier Jahre lang gespart. <math>K_1</math> bezeichnet das Kapital nach einem Jahr, <math>K_2</math> nach zwei Jahren und so weiter. Damit ist <math>K_n</math> das Kapital nach <math>n</math> Jahren. | <math> K=100</math> € werden mit einem Zinssatz <math> Z=5</math> % vier Jahre lang gespart. | ||
<math>K_1</math> bezeichnet das Kapital nach einem Jahr, <math>K_2</math> nach zwei Jahren und so weiter. Damit ist <math>K_n</math> das Kapital nach <math>n</math> Jahren. | |||
Für das Erste Jahr gilt | Für das Erste Jahr gilt | ||
<math> K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100}) = K_1</math>. | <math> K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100}) = K_1</math>. | ||
<math> = 100</math>€<math>\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100}) = 105</math>€. | <math> = 100</math>€<math>\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100}) = 105</math>€. | ||
Für das zweite Jahr gilt dann | Für das zweite Jahr gilt dann | ||
<math> K_1\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100}) = K_2</math>. | <math> K_1\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100}) = K_2</math>. | ||
<math> = 105</math>€<math>\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100}) = 105</math>€. | <math> = 105</math>€<math>\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100}) = 105</math>€. | ||
Das kann auch in einem Rechenschritt vereinfacht werden: | Das kann auch in einem Rechenschritt vereinfacht werden: | ||
Jetz setzen wir für <math> K_1</math>. die Formel für das erste Jahr ein: <math> K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100}) = K_1</math>. | Jetz setzen wir für <math> K_1</math>. die Formel für das erste Jahr ein: <math> K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100}) = K_1</math>. | ||
<math> K_1\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100}) = K_2</math>. | <math> K_1\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100}) = K_2</math>. | ||
<math>= K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100})\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100}) = K_2</math>. | <math>= K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100})\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100}) = K_2</math>. | ||
Für das dritte Jahr ergibt sich dann | Für das dritte Jahr ergibt sich dann | ||
<math>= K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100})\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100})\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100}) = K_3</math>. | <math>= K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100})\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100})\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100}) = K_3</math>. | ||
Du kannst für jedes weitere Jahr einmal die Formel mit <math>\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100})</math> multiplizieren. | Du kannst für jedes weitere Jahr einmal die Formel mit <math>\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100})</math> multiplizieren. | ||
Noch kürzer lässt sich das als Potenz schreiben: | Noch kürzer lässt sich das als Potenz schreiben: | ||
<math>= K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100})\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100})= K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100})^2= K_2</math>. | <math>= K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100})\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100})= K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100})^2= K_2</math>. | ||
oder für das dritte Jahr | oder für das dritte Jahr | ||
<math>= K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100})\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100})\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100})= K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100})^3= K_3</math>. | <math>= K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100})\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100})\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100})= K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100})^3= K_3</math>. | ||
Version vom 15. November 2020, 15:04 Uhr
| Jahr | Startkapital | Endkapital | Zinsen |
|---|---|---|---|
| € | € | € | |
| € | € | € | |
| € | € | € | |
| € | € | € | |
| € | € | € | |
| € | € | € | |
| € | € | € | |
| € | € | € |
<div style="margin: 0 auto .5rem; overflow:hidden; border-left: 7px solid #F19D50
Wenn Maja das so macht dann würde sie jedes Jahr nur auf ihre € Zinsen bekommen und keine Zinseszinsen. Sie würde bei Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 6%}
dann € jedes Jahr bekommen. Nach vier Jahren hätte Maja dann €. Das würde nicht für den Führerschein reichen.
;">
Aufgabe 1: Rechnen mit und ohne Zinseszins
Maja hat inzwischen gespart. Sie ist 13 Jahre alt und möchte dieses Geld für ihren Führerschein anlegen. Sie bekommt von der Bank 6% Zinsen pro Jahr. Ein Führerschein kostet ungefähr €.
a) Hat Maja mit 17 Jahren genügend Geld auf ihrem Konto, um den Führerschein zu bezahlen?
Du kannst die Zinsen des ersten Jahres ausrechnen und dann das Geld, dass Maja jetzt hat als neues Startkapital nehmen und so die Zinsen für das zweite Jahr ausrechnen. Dann kannst du das Widerholen bis du in dem Jahr angekommen bist, wo du hin möchtest.
Maja hat mit 17 Jahren genügend Geld auf ihrem Konto für den Führerschein. Nach einem Jahr hat sie €, nach zwei Jahren €, nach drei Jahren€ und nach vier Jahren dann €.
b) Wieviel Geld hätte Maja mit 17 Jahren, wenn sie statt % nur % Zinsen bekommen würde?
Maja hätte nach einem Jahr €, nach zwei Jahren €, nach drei Jahren€ und nach vier Jahren dann € auf ihrem Konto.
c) Wie lange müsste Maja warten, bis sie ihren Führerschein bei % Zinsen bezahlen könnte?
Maja hätte mit Jahren erst € auf ihrem Konto. Mit Jahren hätte sie dann € und mit Jahren dann € auf ihrem Konto. Der Führerschein kostet ungefähr €, somit müsste Maja Jahre lang warten bis sie genügend Geld für den Führerschein beisammen hat.
d) Maja überlegt, ob sie das Geld, das sie jedes Jahr an Zinsen bekommt immer abheben soll und in ihre Spardose wirft. Was würdest du ihr raten?
