Buss-Haskert/Gleichungen (mit Klammern)/Formeln

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1) Gleichungen mit Klammern
2) Anwendungsaufgaben
3) Formeln
4) Checkliste

Formeln

1) Formeln - Wo begegnen sie uns?

Sicherlich sind dir Formeln schon einmal begegnet:

Passend zu diese Übersicht ist ein Kahoot erstellt, hast du Lust, es zu versuchen?

2) Formeln umstellen

Formel umstellen

Bastle ein Kantenmodell für eine quadratische Säule aus Draht. Du hast 40 cm Draht zur Verfügung.

a) Welche Kantenlängen kannst du wählen? Gib mindestens zwei Beispiele an.
b) Wie hoch ist die Säule, wenn die Kanten a je 2 cm lang sind? Beschreibe dein Vorgehen!
c) Stelle eine Formel für die Kantenlänge k auf.

d) Forme diese Gleichung nach der Höhe h um und setze dann für die gesamte Kantenlänge k = 40cm und für die Kantenlänge von a 2cm ein. Du müsstest denselben Wert wie in Aufgabenteil b) erhalten.

Tipp zu a)

Wie oft kommt die Kantenlänge a vor, wie oft h?
Mögliche Beispiele:
Wenn die Kantenlänge a=1cm beträgt, sind schon 8cm insgesamt für die Kanten der Grund-und Deckfläche nötig. Den übrigen Draht kannst du nun auf die 4 Seitenkanten verteilen. Also gilt h=8cm.
Ist a=3cm, so sind schon 24cm von den 40cm insgesamt verbaut, die Höhe kann also nur noch h=4cm betragen. ...

Tipp zu c)

Wie oft kommt die Kantenlänge a vor, wie oft h?

k = 8∙a + 4∙h

Der Aufgabenteil d)ist neu für dich. Hier sollst du auf dieser Seite lernen, wie du Formeln umstellst.

Sicherlich kennst du noch die Vorrangregeln beim berechnen von Termen:

- Klammern zuerst
- Punktrechnung
- Strichrechnung

Möchtest du nun eine Formel nach einer bestimmten Größe auflösen, soll diese Größe "allein auf einer Seite" der Formel stehen. Du musst also "alles, was stört auf die andere Seite bringen".

Bei den Umformungen musst du diese Reihenfolge "rückwärts" beachten:

Bringe zunächst die Terme mit Strichrechnung auf die andere Seite, dann löse die Punktrechnung auf und zum Schluss die Klammern.
Beispiel:

Nun kannst du die gegebenen Werte k=40cm und a=2cm einsetzen und so h berechnen. Hier ist die ausführlichste Schreibweise genutzt, du darfst den Wert des Zählers natürlich auch im Kopf berechnen und so schneller zum Ergebnis gelangen:

2.1) Formel für Flächen und Körper

Übung 1

Nun hast du noch immer k=40cm Draht zur Verfügung und kennst du die Höhe h=3cm.
a) Stelle die Formel um nach der Kantenlänge a. Gehe dabei wie im Beispiel oben vor.
b) Berechne die Kantelänge a, indem du die gegebenen Größen in die Formel einsetzt.

c) Prüfe nun mit den Formeln für h und a deine Beispiele aus Aufgabenteil a).

Lösung zu a)

Lösung zu b)

Lösung zu c)

Übung 2

Löse S. 29 Nr. 1.

Aufgabe für Experten: Erstelle in eine Tabellenkalkulation für Nr. 1. Hier soll es möglich sein, die Werte für A, a und b einzugeben und den jeweils fehlenden Wert berechnen zu lassen.

Lösung zu Nr. 1a)

Tipp Expertenaufgabe

Mögliche Lösung:

2.2) Formeln der Prozentrechnung

Auch in der Prozentrechnung wird mit Formeln gerechnet. Erinnerst du die an die Grundformel für die Prozentrechnung?

Tipp Grundformel für die Prozentrechnung

Tipp: Wie geht Prozentrechnung?

Übung 3

Ein Fahrrad kostet 720€. Zum Sommerschlussverkauf sparst du 216€.
Wie viel Prozent sparst du?

Stelle dazu die Formel für den Prozentwert nach der gesuchten Größe um und berechne.

Übung 4

Löse Buch S. 30 Nr. 4.

Tipp zu Nr. 4a)

W = G∙p%
Um die Formel nach G umzustellen, rechne umgekehrt :p% und schreibe als Bruch.

Tipp zu 4b)

Schreibe zunächst die passende Formel auf und setze dann die Zahlen ein. Denke daran, den Prozentsatz p% als Dezimalbruch zu schreiben.
W=G∙p%
=350 ∙ 0,05 Nebenrechnung:...

=17,50 (€)

Lösungen zu 4b)

Lösungen (bunt gemischt) 7€; 17€; 250€; 1000€

2.3) Formel für die Geschwindigkeit

Die Geschwindigkeit (v - velocity) gibt an, welche Strecke in welcher Zeit zurückgelegt wird.
Die Formel lautet also:
v = $\frac{Weg}{Zeit}$ oder v = $\frac{s}{t}$
Auch hierzu kannst du ein Formeldreieck aufschreiben und die Formel nach der Strecke s und der Zeit t auflösen.

Übung 5

Schreibe die Formel für die Geschwindigkeit und das zugehörige Formeldreieck in dein Heft. Stelle die Formel nach s und t um.

Tipp Formel für die Geschwindigkeit und Formeldreieck

Übung 6

Löse dann S. 30 Nr. 3 und Nr. 6

Tipp zu Nr. 3a

geg: s = 24km; t = 1,5h
ges: v
Stelle die Formel auf und setze die Werte ein.

Tipp zu Nr. 3b

geg: t = 70 min; v = 12 km pro Stunde
ges: c
Vorsicht: Hier ist die Zeit in Minuten gegeben, du muss auf gleiche Einheiten achten. Wandel 70 min in Stunden um, da die Geschwindigkeit in km pro Stunde angegeben ist. Stelle die Formel auf, stelle sie nach s um und setze die Werte ein. (70 min = $\frac{70}{60}$ Stunden $\approx$ 1,17 h

Tipp zu 3c

geg: s = 15,5 km; v = 46,5 km/h
ges: t (Nach welcher Zeit kommt er ins Ziel?)
Stelle die Geschwindigkeitsformel nach t um und setze die Werte ein. (Lösung: t = $\frac{1}{3}$h). Wandle die Lösung in Minuten um.

Tipp 1 zu Nr. 6

Erinnerung:

Lösungen zu Nr. 6b)

Lösungen (bunt gemischt) 4,5; 7,5; 44; 66; 150; 200

4) Checkliste