Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Die biologische Aktivität in einem Teich kann man durch die Änderungsrate beschreiben, mit der CO₂ dem Wasser zugefügt oder entnommen wird. Pflanzen entnehmen tagsüber dem Wasser im Rahmen der Photosynthese CO₂ und geben Nachts O₂ ab. Tiere geben durch ihre Atmung CO₂ an das Wasser ab. Bei Tagesanbruch werden 2,6ME CO₂ im Teich festgestellt. (ME steht hier für eine nicht so ganz gebräuchliche Mengen-Einheit, in der die Stoffmenge von CO₂ gemessen werden kann.) Biologen haben die Zu- und Abnahmerate <math>z(t)</math> über einen ganzen Tag, beginnend mit dem Sonnenaufgang, gemessen. Die Werte werden in der Einheit ME pro Stunde angegeben. | Die biologische Aktivität in einem Teich kann man durch die Änderungsrate beschreiben, mit der CO₂ dem Wasser zugefügt oder entnommen wird. Pflanzen entnehmen tagsüber dem Wasser im Rahmen der Photosynthese CO₂ und geben Nachts O₂ ab. Tiere geben durch ihre Atmung CO₂ an das Wasser ab. Bei Tagesanbruch werden 2,6ME CO₂ im Teich festgestellt. (ME steht hier für eine nicht so ganz gebräuchliche Mengen-Einheit, in der die Stoffmenge von CO₂ gemessen werden kann.) Biologen haben die Zu- und Abnahmerate <math>z(t)</math> über einen ganzen Tag, beginnend mit dem Sonnenaufgang, gemessen. Die Werte werden in der Einheit ME pro Stunde angegeben. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe einen Zettel und Stift) | ||
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'''a)''' Begründe, dass der Teich Pflanzen enthält. | '''a)''' Begründe, dass der Teich Pflanzen enthält. | ||
{{Lösung versteckt|1= | |||
Die Tabelle zeigt die Änderungsrate des CO₂-Gehalts an. Welchen Einfluss könnten die Pflanzen auf die Änderungsrate haben? | |||
|2=Tipp|Tipp verbergen}} | |||
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|2= Lösung|3= Lösung verbergen}} | |2= Lösung|3= Lösung verbergen}} | ||
'''b)''' Berechne für | '''b)''' Berechne für die Zeiten <math>t = 0, 3, 6, 12, 24</math> die Gesamtmenge von CO₂ im Wasser und stelle die Ergebnisse tabellarisch dar. Runde jedes Ergebnis auf zwei Nachkommastellen. | ||
{{(!}} class=wikitable | |||
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{{!}} Zeit t in h | |||
{{!}} '''0''' | |||
{{!}} '''3''' | |||
{{!}} '''6''' | |||
{{!}} 9 | |||
{{!}} '''12''' | |||
{{!}} 15 | |||
{{!}} 18 | |||
{{!}} 21 | |||
{{!}} '''24''' | |||
{{!-}} | |||
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME | |||
{{!}} | |||
{{!}} | |||
{{!}} | |||
{{!}} 2,33 | |||
{{!}} | |||
{{!}} 2,33 | |||
{{!}} 2,45 | |||
{{!}} 2,53 | |||
{{!}} | |||
{{!)}} | |||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie. Zum Berechnen der Gesamtmengen brauchst du keine Stammfunktionen bilden. | Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie. Zum Berechnen der Gesamtmengen brauchst du keine Stammfunktionen bilden. | ||
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{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Berechne die Flächen unter den Intervallen <math>[0,3], [0,6 | Berechne die Flächen unter den Intervallen <math>[0,3], [0,6], [0,12], [0,24]</math>. | ||
|2=Tipp 2| 3= Tipp verbergen}} | |2=Tipp 2| 3= Tipp verbergen}} | ||
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# Für <math>t=3</math>: Wir betrachten die Fläche auf dem Intervall <math>[0.3]</math>. Die erste Seite des Dreiecks ist die Länge des Intervalls und beträgt 3. Die zweite Seite des Dreiecks ist der Punkt (3,-0,041) und damit -0,041. Daraus ergibt sich die folgende Gesamtmenge:<math>A_1 = \frac {3h \cdot (-0,041 \frac{ME}{h})}{2} + 2,6 ME</math> ≈ <math>2,54 ME</math> (aufgerundet) | # Für <math>t=3</math>: Wir betrachten die Fläche auf dem Intervall <math>[0.3]</math>. Die erste Seite des Dreiecks ist die Länge des Intervalls und beträgt 3. Die zweite Seite des Dreiecks ist der Punkt (3,-0,041) und damit -0,041. Daraus ergibt sich die folgende Gesamtmenge:<math>A_1 = \frac {3h \cdot (-0,041 \frac{ME}{h})}{2} + 2,6 ME</math> ≈ <math>2,54 ME</math> (aufgerundet) | ||
# Für <math>t=6</math>: Wir betrachten die Fläche <math>A_2</math> auf dem Intervall <math>[0,6]</math>. Den Flächeninhalt auf dem Intervall <math> [0,3]</math> kennen wir bereits als <math>A_1</math>. Die Fläche unter dem Graphen auf dem Intervall <math>[3,6]</math> besteht aus einer Vierecks- und einer Dreiecksfläche und wird wie folgt berechnet: <math>A_2 = A_1 + 3h \cdot (-0,037 \frac{ME}{h}) + \frac {3h \cdot (-0,005 \frac{ME}{h})}{2}</math> ≈ <math>2,42 ME</math> (aufgerundet). | # Für <math>t=6</math>: Wir betrachten die Fläche <math>A_2</math> auf dem Intervall <math>[0,6]</math>. Den Flächeninhalt auf dem Intervall <math> [0,3]</math> kennen wir bereits als <math>A_1</math>. Die Fläche unter dem Graphen auf dem Intervall <math>[3,6]</math> besteht aus einer Vierecks- und einer Dreiecksfläche und wird wie folgt berechnet: <math>A_2 = A_1 + 3h \cdot (-0,037 \frac{ME}{h}) + \frac {3h \cdot (-0,005 \frac{ME}{h})}{2}</math> ≈ <math>2,42 ME</math> (aufgerundet). | ||
# Für <math>t= | # Für <math>t= 12, 24</math> mit dem gleichen Verfahren. | ||
{{(!}} class=wikitable | {{(!}} class=wikitable | ||
{{!-}} | {{!-}} | ||
{{!}} Zeit t in h | {{!}} Zeit t in h | ||
{{!}} 0 | {{!}} '''0''' | ||
{{!}} 3 | {{!}} '''3''' | ||
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{{!}} 18 | {{!}} 18 | ||
{{!}} 21 | {{!}} 21 | ||
{{!}} 24 | {{!}} '''24''' | ||
{{!-}} | {{!-}} | ||
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME | {{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME | ||
{{!}} 2,6 | {{!}} '''2,6''' | ||
{{!}} 2,54 | {{!}} '''2,54''' | ||
{{!}} 2,42 | {{!}} '''2,42''' | ||
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{{!}} 2,28 | {{!}} '''2,28''' | ||
{{!}} 2,33 | {{!}} 2,33 | ||
{{!}} 2,45 | {{!}} 2,45 | ||
{{!}} 2,53 | {{!}} 2,53 | ||
{{!}} 2,57 | {{!}} '''2,57''' | ||
{{!)}} | {{!)}} | ||
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}} | |2= Lösung|3= Lösung verbergen}} | ||
'''c)''' Wann war der CO₂-Gehalt am niedrigsten? Wie groß war er? | '''c)''' Wann war der CO₂-Gehalt am niedrigsten? Wie groß war er? | ||
{{Lösung versteckt|1= | |||
Überlege dir welche der beiden Tabellen (1 = Änderungsrate des CO₂-Gehalt, 2= Gesamtmenge des CO₂) du zur Erfassung des CO₂-Gehalts benötigst. Der Wert lässt sich aus der Tabelle ablesen. | |||
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Der CO2-Gehalt war nach ca. 12 h am geringsten (etwa 2,28 ME). | Der CO2-Gehalt war nach ca. 12 h am geringsten (etwa 2,28 ME). | ||
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# <math> \int_{0}^{24} z(t) dt </math> | # <math> \int_{0}^{24} z(t) dt </math> | ||
{{Lösung versteckt|1= | |||
Das Integral in dieser Aufgabe gibt den Bestand zu einem gegebenen Zeitintervall an. Falls dir die allgemeine Bedeutung nicht mehr präsent ist, schau dir die Beispiele und Definition zu Beginn des Lernpfadkapitels an. | |||
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 12 Stunden. Die Fläche liegt unterhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ entnommen als abgegeben, der Gesamtbestand ist gesunken. | # Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 12 Stunden. Die Fläche liegt unterhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ entnommen als abgegeben, der Gesamtbestand ist gesunken. |
Version vom 26. Mai 2020, 09:32 Uhr
Herleitung des Integrals
Konstante und lineare Funktionen
Allgemeine Herleitung und Definition
Stammfunktionen bilden
Gelerntes Wiederholen und Vertiefen
Aufgaben mittlerer Schwierigkeit
Knobelaufgaben