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| #Die Funktion <math> g(x) </math> für die Variable <math> z </math> ersetzen: <math> \frac{1}{2} \left [ e^z\right ]^{g(b)}_{g(a)} = \frac{1}{2} \left [ e^{2x}\right ]^{g(b)}_{g(a)} </math> | | #Die Funktion <math> g(x) </math> für die Variable <math> z </math> ersetzen: <math> \frac{1}{2} \left [ e^z\right ]^{g(b)}_{g(a)} = \frac{1}{2} \left [ e^{2x}\right ]^{g(b)}_{g(a)} </math> |
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| Sie integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von <math> h(x)=e^{2x} </math> lautet: <math> H(x) = \frac{1}{2} * e^{2x} </math>|}}
| | Die integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von <math> h(x)=e^{2x} </math> lautet: <math> H(x) = \frac{1}{2} * e^{2x} </math>|}} |
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| {{Box|Rotationskörper und Raumintegrale| abc |}} | | {{Box|Rotationskörper und Raumintegrale| Lässt man den Graphen einer Funktion um die x-Achse rotieren, so entsteht ein sogenannter Rotationskörper. Für seinen Rauminhalt gilt <math>V_{rot} = \pi \int_{a}^{b} ( f(x) )^2 dx</math>. Als Beispiel betrachten wird das Volumen einer Kugel mit Radius <math>r</math>, die durch die Rotation des Graphen der Funktion <math>f</math> mit <math>f(x) = \sqrt{r^2-x^2}</math> im Intervall <math>[-r; r]</math> um die <math>x</math>-Achse entsteht. Mit der Formel für den Rotationskörper erhält man nun das Volumen der Kugel: <math>V = \pi\int_{-r}^{r}(r^2-x^2) dx = \left[\pi(r^2\cdot x - \frac{1}{3}x^3)\right]_{-r}^{r} = \frac{4}{3}\pi\cdot r^3</math>|}} |
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| ==Aufgaben== | | ==Aufgaben== |
Version vom 14. April 2020, 17:48 Uhr
Infoboxen
Was ist ein Integral?
Die Fläche unter einem Graphen kann durch den gemeinsamen Grenzwert von Ober- und Untersummenfolgen bestimmt werden. Dies nennt man das Integral von
![{\displaystyle f }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=ce40937fdfbd06b8a15244e102a09356&mode=mathml)
über das Intervall
![{\displaystyle [a; b]}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=69d12cbdcc79fbdd76faa1d1ba389e73&mode=mathml)
und schreibt dafür
![{\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=06c0956f16ecd5dad9684b47dee411e1&mode=mathml)
. Die Funktion
![{\displaystyle f}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7&mode=mathml)
heißt dann über
![{\displaystyle [a; b]}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=65c152d51ed08a1761f5a8cb653eafe5&mode=mathml)
integrierbar. Dabei ist
![{\displaystyle a}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661&mode=mathml)
die untere und
![{\displaystyle b}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f&mode=mathml)
die obere Integrationsgrenze und
![{\displaystyle f}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7&mode=mathml)
die Integrandfunktion. Betrachtet man die Werte von Integralen in Abhängigkeit von einer festen unteren Grenze
![{\displaystyle a}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=952988da97fbd8f2ea65990c03eac425&mode=mathml)
und einer variablen (anstelle einer festen) oberen Grenze
![{\displaystyle x}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6&mode=mathml)
und verwendet deshalb
![{\displaystyle t}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=e358efa489f58062f10dd7316b65649e&mode=mathml)
als Variable der Integrandfunktion
![{\displaystyle f}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7&mode=mathml)
, so erhält man eine Integralfunktion
![{\displaystyle F_a }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=180afee3f0919ae2c222bcb7ea9d07aa&mode=mathml)
ist also eine Funktion, die jedem
![{\displaystyle x \in [a; b]}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=32ca405cdb7f8458674875168e716afc&mode=mathml)
das Integral von
![{\displaystyle f}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7&mode=mathml)
über
![{\displaystyle [a; x]}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=a2acbc8bfd991e59e360a94ca353e319&mode=mathml)
zuordnet.
![{\displaystyle x}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6&mode=mathml)
ist dabei die Funktionsvariable, in sie darf eingesetzt werden, während
![{\displaystyle t}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=e358efa489f58062f10dd7316b65649e&mode=mathml)
eine gebundene Variable ist, in die nicht eingesetzt werden darf. Eine Funktion
![{\displaystyle F}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=800618943025315f869e4e1f09471012&mode=mathml)
heißt Stammfunktion zur Funktion
![{\displaystyle f}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7&mode=mathml)
, wenn gilt
![{\displaystyle F'(x) = f(x)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=a5d6f1a7618d3e88ed9c22a9ccaf6ba2&mode=mathml)
für alle
![{\displaystyle x \in (a; b)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=f0fb676b818a46531f1a933e21131561&mode=mathml)
.
Partielle Integration
Die partielle Integration ist eine Methode, die die Integration von Produkten zweier Funktionen ermöglicht. Sie beruht auf der Produktregel und wird daher auch Produktintegration genannt. Dabei ist es von Vorteil, wenn die eine Funktion leicht abzuleiten und die andere leicht zu integrieren ist.
Allgemein definiert man die Formel der partiellen Integration so:
Dabei ist
das ursprüngliche Integral.
ist die leicht zu integrierende Funktion.
![{\displaystyle g(x) }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=3d4d2beeebd5a49405ef67744141a746&mode=mathml)
ist die leicht abzuleitende Funktion.
Falls du eine ausführliche Erklärung mit einem Beispiel benötigst,klicke hier.
Beispiel zur partielle Integration
Integration durch Substitution
Beispiel für Integration durch Substituion
Rotationskörper und Raumintegrale
Lässt man den Graphen einer Funktion um die x-Achse rotieren, so entsteht ein sogenannter Rotationskörper. Für seinen Rauminhalt gilt
![{\displaystyle V_{rot} = \pi \int_{a}^{b} ( f(x) )^2 dx}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=201fb24be49cc73cb67c7cb77f6a0eee&mode=mathml)
. Als Beispiel betrachten wird das Volumen einer Kugel mit Radius
![{\displaystyle r}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231&mode=mathml)
, die durch die Rotation des Graphen der Funktion
![{\displaystyle f}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7&mode=mathml)
mit
![{\displaystyle f(x) = \sqrt{r^2-x^2}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=5785ffc84cc2e1054eeebb03bc380647&mode=mathml)
im Intervall
![{\displaystyle [-r; r]}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=c36f23f20e62292c45b4d605d6ea7009&mode=mathml)
um die
![{\displaystyle x}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6&mode=mathml)
-Achse entsteht. Mit der Formel für den Rotationskörper erhält man nun das Volumen der Kugel:
![{\displaystyle V = \pi\int_{-r}^{r}(r^2-x^2) dx = \left[\pi(r^2\cdot x - \frac{1}{3}x^3)\right]_{-r}^{r} = \frac{4}{3}\pi\cdot r^3}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=fd00de6dfdbf9c805f30ed5aa776da80&mode=mathml)
Aufgaben
Übung 1
Wie lautet die Stammfunktion dieser Funktionen?
a)
Nutze die partielle Integration
Setze die leicht abzuleitende Funktion
![{\displaystyle g(x)=x }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=627b722ce9cd582caead5048ac1e2279&mode=mathml)
und die leicht zu integrierende Funktion
![{\displaystyle f'(x)=sin(2x)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=9bad040eea7719027a43b3fd2ada43fd&mode=mathml)
![{\displaystyle F(x)= \frac{sin(2x)}{4} - \frac{x*cos(2x)}{2} + C }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=96652eab41261bb0c8d9c2a51bed7647&mode=mathml)
b)
Nutze die Integration durch Substitution
Setze die innerer Funktion
![{\displaystyle g(x)=x^2 = z }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=68bf11c270096f5ead849f29ae746310&mode=mathml)
und leite sie nach x ab
![{\displaystyle \int x*e^z\, \frac{dz}{2x} = \int \frac{e^z}{2}\, dz = \frac{1}{2} \int e^z\, dz }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=5c132327d8f36bf7530efac010864c91&mode=mathml)
![{\displaystyle F(x)= \frac{e^{x^2}}{2} + C }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=76b6fbda0c9bd1e26edcd482594f37d8&mode=mathml)
c)
Nutze die Integration durch Substitution
Setze die innerer Funktion
![{\displaystyle g(x)= a-e^x = z }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=e23083fe6071bde140703442a2b7055f&mode=mathml)
und leite sie nach x ab
![{\displaystyle F(x)= - ln(|a-e^x|) + C }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=c283afd70dd822ca8a6ad269066a98d7&mode=mathml)
Textaufgabe: Zahn-Logo für eine Praxis
In einer Zahnarztpraxis soll ein neues Logo entworfen werden. Dazu wurde die nebenstehende Zeichnung angefertigt, welche durch die Funktionen
![{\displaystyle f(x)=- \frac{x^2}{2} + 2 }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=bb26382b054ee2442e6f408f1c94b649&mode=mathml)
und
![{\displaystyle g(x)= x^4- \frac{15}{4} * x^2 - 1 }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=a1043653d192d38c4dea1364167aa96a&mode=mathml)
das Zahnlogo bildet. Dabei entspricht eine Längeneinheit in dem Graphen 1 cm. Nun soll dieses Logo mit einer Dicke von 1 mm aus Silber (
![{\displaystyle 1 cm^2 }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=caeebe96f36d81e411afa1e9ff57ac9d&mode=mathml)
Silber wiegt 10,5 g) produziert werden. Wie schwer wird das Logo dann werden?
Zuerst muss die Fläche des Logos berechnet werden. Dazu wird dieses Integral genötigt:
![{\displaystyle \int_{-2}^2 f(x) + g(x)\, dx }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=89385d2c57d6e878434d9b3a185a372b&mode=mathml)
Hast du daran gedacht, alle Einheiten einheitlich anzupassen? Die Dicke von 1 mm muss auf jeden Fall noch in cm umgerechnet werden.
Wenn du die Fläche des Logos
![{\displaystyle A_{Logo} }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=5b392d2229795086526dc7e984f1e51c&mode=mathml)
wie in Tipp 1 berechnet hast, kannst du das
![{\displaystyle V_{Logo}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=cc75779343f59dda7f7bec14c8004a6a&mode=mathml)
nun durch das Produkt von
![{\displaystyle A_{Logo} }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=5b392d2229795086526dc7e984f1e51c&mode=mathml)
und der Dicke (beachte Tipp 2!) berechnen
Das fertige Logo aus Silber wiegt 3,36 g.