Julius-Echter-Gymnasium/Mathematik/Rechnen mit rationalen Zahlen: Unterschied zwischen den Versionen

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<u></u><div style="padding:1px;background: #FF0000;border:0px groove;">
{{Box|Was sind rationale Zahlen?|Unter rationalen Zahlen versteht man alle dir bereits bekannten "ganzen Zahlen" (Z).


Zu den rationalen Zahlen (Q) gehören jetzt aber außerdem noch alle Brüche und Dezimalzahlen.|Unterrichtsidee }}


<div style="margin:0; margin-right:50px; margin-left:50px; border:5px solid #FFFFFF; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFFFF; align:left;">
<big><span style="color:#C00000">&nbsp;


<span style="color: #FF0000">Bsp. zu Brüchen: </span> &nbsp;&nbsp;<math>\frac{1}{2}</math>&nbsp;&nbsp; oder  <math>3</math>&nbsp;&nbsp;<math>\frac{3}{6}</math>&nbsp;&nbsp; oder &nbsp;&nbsp;- <math>\frac{3}{4}</math>&nbsp;&nbsp;


== <colorize>Was sind rationale Zahlen?</colorize> ==
<span style="color: #FF0000">Bsp. zu Dezimalzahlen:</span> &nbsp;&nbsp;<math>2,5</math> oder (<math>-9,1</math>)
 
Unter rationalen Zahlen versteht man alle dir bereits bekannten "ganzen Zahlen" (Z)
 
Zu den rationalen Zahlen (Q) gehören jetzt aber außerdem noch Brüche und Dezimalzahlen.
 
<span style="color: #FF0000">Bsp. zu Brüchen: </span> &nbsp;&nbsp;<math>\frac{1}{2}</math>&nbsp;&nbsp; oder   <math>3</math>&nbsp;&nbsp;<math>\frac{3}{6}</math>&nbsp;&nbsp;


<span style="color: #FF0000">Bsp. zu Dezimalzahlen:</span> &nbsp;&nbsp;<math>2,5</math> oder (<math>-9,1</math>)


'''<u>1. Die Menge der rationalen Zahlen</u>'''


<small><colorize>1. Die Menge der rationalen Zahlen</colorize></small>


[[Datei:Rationale Zahlen.png|600px|Darstellung der Menge der rationale Zahlen, die die ganzen und natürlichen Zahlen enthält]]


[[Datei:Snipping tool.PNG|Rationale Zahlen, Grafik|]]
{{Box|Beachte|Die Division mit rationalen Zahlen ist nun auch möglich, wenn der Dividend kein ganzzahliges Vielfaches des Divisors ist. <br />
Durch die Zahl 0 darf niemals dividiert werden!|Hervorhebung2}}


Beachte: Die Division mit rationalen Zahlen ist nun auch möglich, wenn der Dividend kein ganzzahliges Vielfaches des Divisors ist. Durch die Zahl 0 darf jedoch immer noch nicht dividiert werden!
<br />


Verschiedene Schreibweisen: &nbsp;&nbsp;<math>\frac{1}{4}</math>&nbsp;&nbsp; = <math>0,25</math> =  <math>25%</math>
Diese verschiedene Schreibweisen repräsentieren alle die gleiche Zahl:<br />
&nbsp;&nbsp;<math>\frac{1}{4}</math>&nbsp;&nbsp; = <math>0,25</math> =  <math>25%</math>
<br />


Alle Darstellungsformen sind mathematisch korrekt und bedeuten das Gleiche. Je nach Aufgabenstellung könnt ihr die Zahlen nach Belieben umformen.
Alle Darstellungsformen sind mathematisch korrekt und bedeuten das Gleiche. <br />
Je nach Aufgabenstellung könnt ihr die Zahlen nach Belieben umformen.


Verstanden? Dann ordne doch die unten stehen Zahlen passend zu den bereits vorgegeben Zahlen der jeweils anderen Schreibweisen zu.
Verstanden? <br />
Dann ordne doch die unten stehenden grünen Zahlen passend den bereits vorgegeben Zahlen zu.




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{|  
{|  
| 0,2 || 20% ||<math>\frac{1}{5}</math>
| 0,4 || 40% || <math>\frac{2}{5}</math>
|-
| 37,5% || 0,375 || <math>\frac{3}{8}</math> 
|-
| <math>\frac{9}{20}</math> || 45%|| 0,45
|-
| 1,1 || 110% || <math>\frac{11}{10}</math>
|-
|-
| 80% || 0,8 ||<math>\frac{4}{5}</math>   
| 80% || 0,8 || <math>\frac{4}{5}</math>   
|-
|-
| <math>\frac{9}{20}</math> || 45%|| 0,45
| <math>\frac{9}{20}</math> || 45%|| 0,45
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<small><colorize>2. Rechnen mit rationalen Zahlen</colorize></small>
<u>'''2. Rechnen mit rationalen Zahlen'''</u>


Für das Rechnen mit rationalen Zahlen gelten die gleichen Regeln wie für das Rechnen mit ganzen Zahlen.
Für das Rechnen mit rationalen Zahlen gelten die gleichen Regeln wie für das Rechnen mit ganzen Zahlen.


<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:3px; border:5px solid #FF0000; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFFF; align:left;">
<table border="0" width="600px" cellpadding=5 cellspacing=15>
<tr><td  width="100px" valign="top">
<big>'''<span style="color: #FF0000">Zur Erinnerung </span>'''</big>




{{Box|1. Addition|Gleiche Vorzeichen:      Addiere die Summanden und übernimm das gemeinsame Vorzeichen in die Summe.


'''1. Addition'''
Verschiedene Vorzeichen: Subtrahiere die kleinere Zahl von der größeren. Übernimm das Vorzeichen der größeren Zahl.
|Merksatz}}


Gleiche Vorzeichen:      addieren und Vorzeichen in die Summe übernehmen


Verschiedene Vorzeichen: Vorzeichen des größeren Betrags in die Summe übernehmen


{{Box|2. Subtraktion|
Subtrahierst du eine kleinere Zahl von einer größeren, dann ist dein Ergebnis positiv.


'''2. Subtraktion'''
Subtrahierst du eine größere Zahl von einer kleineren, dann ist dein Ergebnis negativ.


kleineren Betrag vom größeren subtrahieren
Subtrahierst du zwei negative Beträge subtrahieren, dann ist dein Ergebnis negativ.
|Merksatz}}'''


falls andersrum, dann hat das Ergebnis ein -




3.'''Multiplikation'''
[[Datei:Multiplikation bsp.png|210px|rechts|Regelung zum Vorzeichen bei der Multiplikation in Q.]]
{{Box|3. Multiplikation|Multipliziere die beiden Faktoren miteinander.|Merksatz}}


multipliziere die Faktoren
:-> Bei <span style="color: #76EE00">gleichen</span> Vorzeichen ist dein Ergebnis'''<span style="color: #76EE00"> positiv </span>'''.


:-> bei gleichen Vorzeichen:'''<span style="color: #EE1289"> + </span>'''
:-> Bei <span style="color: #FF0000">ungleichen</span> Vorzeichen ist dein Ergebnis '''<span style="color: #FF0000"> negativ </span>'''.


:-> bei ungleichen Vorzeichen: '''<span style="color: #EE1289">- </span>'''




[[Datei:Multipl..PNG|Multiplizieren + Bsp]]
[[Datei:Vorzeichen bei der Division.jpg|150px|rechts|Vorzeichen bei der Division in Q]]
{{Box|4. Divison|Dividiere den Dividend durch den Divisor.|Merksatz}}


:-> Bei <span style="color: #76EE00">gleichen</span> Vorzeichen ist dein Ergebnis'''<span style="color: #76EE00"> positiv </span>'''.


4.'''Divison:'''
:-> Bei <span style="color: #FF0000">ungleichen</span> Vorzeichen ist dein Ergebnis '''<span style="color: #FF0000"> negativ </span>'''.


dividiere die Faktoren


:-> bei gleichen Vorzeichen:'''<span style="color: #EE1289"> + </span>'''
<br />
<br />


:-> bei ungleichen Vorzeichen: '''<span style="color: #EE1289">- </span>'''
Mit den folgenden Aufgaben kannst du das Gelernte anwenden. Viel Spaß:)




[[Datei:Div.PNG|div plus bsp]]


 
{{Box|1=Aufgabe 1: Berechne und ordne die Lösungen richtig zu.
 
|2=
</td></tr></table>
</div>
 
 
Hier hast du noch Aufgaben um das Gelernte anzuwenden. Viel Spaß:)
 
 
 
<popup name= Aufgaben>
 
Aufgabe 1


<div class="lueckentext-quiz">
<div class="lueckentext-quiz">


Welche Zahl muss man zu (-3,4) addieren um 5 zu erhalten? '''8,4'''
Welche Zahl muss man zu (−3,4) addieren um 5 zu erhalten? '''8,4'''


Welche Zahl muss man von 2,7 subtrahieren um (-1) zu erhalten?'''-3,7'''
Welche Zahl muss man von 2,7 subtrahieren um (−1) zu erhalten?'''3,7'''


Welche Zahl muss man zu <math>\frac{4} {8}</math> addieren um 1 zu erhalten? '''<math>\frac{2}{4}</math>'''
Welche Zahl muss man zu <math>\frac{4}{8}</math> addieren um 1 zu erhalten? '''<math>\frac{1}{2}</math>'''


Welche Zahl muss man zu <math>-2\frac{2} {4}</math> addieren um (-1) zu erhalten? '''<math>\frac{7} {2}</math>'''
Welche Zahl muss man zu -2<math>\frac{2}{4}</math> addieren um (−1) zu erhalten? '''<math>\frac{3}{2}</math>'''


Welche Zahl muss man durch <math>-\frac{4} {7}</math> dividieren um <math>\frac{1}{2}</math> zu erhalten?'''<math>\frac{8}{7}</math>'''
Welche Zahl muss man durch -<math>\frac{4}{7}</math> dividieren um <math>\frac{1}{2}</math> zu erhalten?'''-<math>\frac{2}{7}</math>'''
 
Welche Zahl muss man mit 0,5 multiplizieren um <math>-\frac{1}{2}</math> zu erhalten? '''-1'''


Welche Zahl muss man mit 0,5 multiplizieren um -<math>\frac{1}{2}</math> zu erhalten? '''−1'''


</div>
</div>
|3=Üben}}


Aufgabe 2
{{Box|Aufgabe 2|{{LearningApp|app=p7zc9uzxa17|width=100%|height=700px}}|Üben}}
 
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p7zc9uzxa17" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
 
Aufgabe 3
 
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=priq5y26317" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
</popup>


{{Box|Aufgabe 3|{{LearningApp|app=priq5y26317|width=100%|height=500px}}|Üben}}




Zeile 141: Zeile 127:




{{Fortsetzung|weiter=Rechenvorteile|weiterlink=Julius-Echter-Gymnasium/Mathematik/Rechenvorteile|vorher=Netze und Oberflächeninhalt|vorherlink=Julius-Echter-Gymnasium/Mathematik/Netze}}


{{Vorlage:Lesepfad Ende
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[[Kategorie:Julius-Echter-Gymnasium Mathematik]]
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}}

Aktuelle Version vom 24. Februar 2020, 14:01 Uhr

Was sind rationale Zahlen?

Unter rationalen Zahlen versteht man alle dir bereits bekannten "ganzen Zahlen" (Z).

Zu den rationalen Zahlen (Q) gehören jetzt aber außerdem noch alle Brüche und Dezimalzahlen.


Bsp. zu Brüchen:      oder      oder   -   

Bsp. zu Dezimalzahlen:    oder ()


1. Die Menge der rationalen Zahlen


Darstellung der Menge der rationale Zahlen, die die ganzen und natürlichen Zahlen enthält


Beachte

Die Division mit rationalen Zahlen ist nun auch möglich, wenn der Dividend kein ganzzahliges Vielfaches des Divisors ist.

Durch die Zahl 0 darf niemals dividiert werden!


Diese verschiedene Schreibweisen repräsentieren alle die gleiche Zahl:
     = = Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 25%}

Alle Darstellungsformen sind mathematisch korrekt und bedeuten das Gleiche.
Je nach Aufgabenstellung könnt ihr die Zahlen nach Belieben umformen.

Verstanden?
Dann ordne doch die unten stehenden grünen Zahlen passend den bereits vorgegeben Zahlen zu.


0,4 40%
37,5% 0,375
45% 0,45
1,1 110%
80% 0,8
45% 0,45



2. Rechnen mit rationalen Zahlen

Für das Rechnen mit rationalen Zahlen gelten die gleichen Regeln wie für das Rechnen mit ganzen Zahlen.



1. Addition

Gleiche Vorzeichen: Addiere die Summanden und übernimm das gemeinsame Vorzeichen in die Summe.

Verschiedene Vorzeichen: Subtrahiere die kleinere Zahl von der größeren. Übernimm das Vorzeichen der größeren Zahl.



2. Subtraktion

Subtrahierst du eine kleinere Zahl von einer größeren, dann ist dein Ergebnis positiv.

Subtrahierst du eine größere Zahl von einer kleineren, dann ist dein Ergebnis negativ.

Subtrahierst du zwei negative Beträge subtrahieren, dann ist dein Ergebnis negativ.


Regelung zum Vorzeichen bei der Multiplikation in Q.
3. Multiplikation
Multipliziere die beiden Faktoren miteinander.
-> Bei gleichen Vorzeichen ist dein Ergebnis positiv .
-> Bei ungleichen Vorzeichen ist dein Ergebnis negativ .


Vorzeichen bei der Division in Q
4. Divison
Dividiere den Dividend durch den Divisor.
-> Bei gleichen Vorzeichen ist dein Ergebnis positiv .
-> Bei ungleichen Vorzeichen ist dein Ergebnis negativ .




Mit den folgenden Aufgaben kannst du das Gelernte anwenden. Viel Spaß:)



Aufgabe 1: Berechne und ordne die Lösungen richtig zu.

Welche Zahl muss man zu (−3,4) addieren um 5 zu erhalten? 8,4

Welche Zahl muss man von 2,7 subtrahieren um (−1) zu erhalten?3,7

Welche Zahl muss man zu addieren um 1 zu erhalten?

Welche Zahl muss man zu -2 addieren um (−1) zu erhalten?

Welche Zahl muss man durch - dividieren um zu erhalten?-

Welche Zahl muss man mit 0,5 multiplizieren um - zu erhalten? −1


Aufgabe 2


Aufgabe 3



Netze und Oberflächeninhalt
Rechenvorteile
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