Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2026/11aMathe

Wie lassen sich die mathematischen Unendlichkeiten, abzählbar oder überabzählbar definieren, und wie hat Georg Cantor das Problem der Mächtigkeit verschiedener Mengen in der Mathematik revolutioniert? '

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Die Unendlichkeit beschreibt im Grunde die Aufhebung von endlichen, sie ist das direkte Gegenteil von den Grenzen, und galt lange als unbegreiflich. Doch durch einige Mathematiker revolutionierten sich die Methoden, wodurch man die Unendlichkeit besser nachvollziehen konnte.

1. Unendlichkeit in der Philosophie

In der Philosophie beschreibt man das Unendliche, als das unbestimmbare, undefinierbare, allumfassende und das transzendente. Vor 1870 galt das Unendliche wirklich als unbeschreibbar, und bereits in der Antike, haben sich Menschen wie Aristoteles den Kopf darüber zerbrochen, was die Unendlichkeit in der Tatsache bedeutet. Der Philosoph Aristoteles teilte das Unendliche vorerst, in für ihn zwei Teile, um die Materie dahinter besser zu Verstehen. Auf der einen Seite sah er die Art, welche vom Menschen verstanden werden kann, nämlich die des unendlichen Wachstums, also ohne Grenzen. Die andere mögliche Vorstellung war für ihn, eine Unendlichkeit, die bereits vorhanden ist (Das Aktual Unendliche).

2.Das Problem der Unendlichkeit in der Mathematik

Viele Mathematiker stellten Theorien auf, um die Unendlichkeit zu beweisen. Allerdings gab es einige Fehler, bei der Suche nach der Erkenntnis. Der Mathematiker Martin Gardner, hat in seinem Buch „Mathematischer Karneval“ in dem Kapitel „Aleph-Null und Aleph-Eins“, die Problematik geschildert. Die Grundlage seiner Theorie war, dass wenn es unendlich viele Zahlen, auf einer endlichen Strecke gibt, dass ab irgendeinem Wert der Platz für die Punkte der natürlichen Zahlen nicht mehr ausreichend ist.

2.1 Georg Cantor

Georg Cantor (03.03.1845 - 06.01.1918), war ein Mathematiker, der sich viel mit der Mengenlehre auseinandersetzte. Geboren ist er in St. Petersburg. Cantor besuchte eine Elementarschule bis er 1856 nach Frankfurt umzog. Sein Mathematikstudium machte er von 1862-1867 in den Städten Berlin, Göttingen und Zürich. 1868 belegte er die Staatsprüfung für das höhere Lehramt. Die Habilitation an der Universität Halle vollbrachte er 1869. Den Beweis einer eindeutigen Zuordnung zwischen den natürlichen und positiv rationalen Zahlen gelang ihm 1873. Georg Cantor gilt als der Begründer der Mengenlehre. Er kämpfte für ihre Anerkennung, doch konnte aufgrund seiner Depressionen ab 1884 dieses Werk nicht mehr mit vollem Elan durchsetzen.

Wichtige Werke:

• 1872: Hauptarbeit über trigonometrische Reihen in Halle
• 1873: Beweis einer eineindeutigen Zuordnung zwischen den natürlichen und positiv rationalen Zahlen
• 1874: Beweis der Abzählbarkeit der algebraischen Zahlen wurde im Crelleschen Journal veröffentlicht.
• 1877: Beweis einer eineindeutigen Zuordnung zwischen den Punkten eines Einheitsquadrates und den irrationalen Zahlen
• 1879-1883: Arbeit mit dem Titel “Über lineare unendliche Punktmanigfaltigkeiten”, die in sechs Teile gegliedert war

2.2 Die Unendlichkeit zählen

Cantor löste das Problem, indem er die Zahlen aus einem anderen Blickwinkel sah. Für ihn gab es die Zahlen nur als Menge; er hat zum Beispiel von einer Menge N gesprochen, welche als N ={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7;…} definiert wird. Diese Menge teilte er auch noch in zwei Gruppen auf, einmal die Menge U ={1; 3; 5; 7; …} für die ungeraden Zahlen und die Menge G ={2; 4; 6; 8; …} für die geraden Zahlen. Daraufhin stellte er sich die Frage, ob es gleich viele gerade wie ungerade Zahlen gibt, der gesunde Menschenverstand hätte die Frage auf jeden Fall bejaht, wie auch Cantor selbst. Das Problem trat erst auf, als er sich Gedanken darüber machte, ob die geraden Zahlen so oft vorkommen, wie alle Zahlen der Menge N, hier würde der normale Mensch sicherlich zweifeln und der Meinung sein, dass es doppelt so viele Zahlen der Menge der natürlichen Zahlen, wie die der Menge G gibt. Cantor zeigte jedoch auf, dass alle Zahlen in einer Beziehung zu einander stehen. In folgender Grafik lässt sich das ungefähr so verbildlichen:

Überraschender Weise stellt man fest, dass genau so viele unendliche Zahlen wie gerade Zahlen gibt.

Um die Mächtigkeit der Mengen zu bestimmen, setzte Cantor die neue Schreibweise card{a, b, c, …}, wenn die Mengen in einer Eins-zu-Eins-Beziehung zu N stehen, schreibt man es mit dem Symbol א_0_0(ausgesprochen „Aleph“). In der mathematischen Schreibweise erhält man card(N)=card(G)=card(U)=א.

Die Schlussfolgerung aus den Zusammenhängen war für Cantor war, dass sobald eine Menge in einer Eins-zu-Eins-Beziehung zu N steht, die Zahlenfolge abzählbar ist, Beispiel:

Eine Liste besitzt die Zahlen 1; 3; 5 ;7; … , daraufhin weiß man, dass wenn man eine Zeile weiter geht immer eine nächsthöhere ungerade Zahl auftaucht und davon halt im Verlauf unendlich viele.

Anmerkung: Hilberts-Hotel

2.3 Gibt es abzählbar unendlich viele Brüche?

Cantor gab die Menge der Brüche mit Q an, welche größer ist als die Menge N scheint. Wenn man N als eine Teilmenge von Q ansieht, dann ist Q wirklich größer, doch kann man Q wirklich in eine Eins-zuEins-Beziehung stellen? Es ist auf jeden Fall möglich die beiden Mengen in eine Beziehung zu binden, aber nur wenn man zweidimensional denkt. Um das Verhältnis dahinter zu verstehen, erstellte Cantor sein Prinzip so:

Die Grafik zeigt, dass wenn man jede Zahl der Menge N mit einem Bruch aus der Menge Q zuordnet, dass es gleich viele Brüche sowie ganze Zahlen gibt und sie die gleiche Mächtigkeit haben. Um keinen Bruch zu vergessen hatte Cantor die Liste so erstellt.

2.4 Sind die reellen Zahlen abzählbar?

Die Liste der Brüche beinhaltet bereits einige der reellen Zahlen, jedoch gibt es auch Zahlen wie pi und Wurzel zwei, welche noch nicht in der Liste vorhanden sind. Die irrationalen Zahlen füllen die Lücken der reellen Zahlenachse R. Durch eine geniale Idee zeigte Cantor, dass alle reellen Zahlen zwischen 0 und 1 nicht mit einer Eins-zu-Eins-Beziehung verknüpft werden können. Dazu nahm er sich einen Stück der Zahlengerade vor, nämlich 0 und 1.

Cantor nahm an, dass man jede Zahl zwischen 0 und 1 als unendliche Dezimalzahl schreiben kann, zum Beispiel:

1/2 = 0,50000000…..

1/3 = 0,33333333….

1/pi = 0,318309886….

Nun schreibt man diese Zahlen in einer Liste und nimmt an, sie sei vollständig. Die Zahlen in der Liste nummerieren wir mit r1, r2, r3, … man kann sie also zählen.

Jedoch konnte Cantor zeigen, dass man immer eine Zahl findet, die nicht in der Liste vorkam. Das funktioniert so:

Man ändert in der neuen Zahl die n-te Ziffer ab, zum Beispiel wird aus a1 = 5; a1 = 7. b2 = 3; b2 =6. c3 = 8; c3 = 9. Man erhält also eine Zahl, die noch nicht in der Liste vorkommt. Damit veranschaulichte Cantor, dass die reellen Zahlen nicht abzählbar, sondern überabzählbar sind und somit nicht die gleiche Mächtigkeit besitzen, wie die natürlichen Zahlen. Er nannte diese Mächtigkeit Aleph-Eins

3. Trivia

Egal wie oft Sie bereits bis Unendlich gezählt haben, Chuck Norris hat bis zur Unendlichkeit gezählt ... 2-mal