Benutzer:Lena WWU-6/Testseite Optimierungsprobleme

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis

Globales Extremum und Randextremum

Merke

Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt globales Maximum. Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt globales Minimum.

Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt Randextremum.

Aufgabe

Gegeben ist der Graph einer Funktion f mit f(x)=(x-3)²+2,5 im Intervall [0,3]. Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.

Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?

Aufgabe

Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:

• Die Länge soll nicht größer als $200cm$ sein.
• Länge plus Umfang der quadratischen Seitenflächen soll $360cm$ groß sein.

a) Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.

b) Gebe das maximale Volumen an.

Aufgabe

Aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius $s=10cm$ soll eine kegelförmige Tüte mit maximalem Volumen geformt werden. Dazu wird der Kreis längs eines Radius eingeschnitten und zu einer Tüte geformt.

Beachte, dass der Radius des Stücks Papier $s=10cm$ der Mantellinie $s$ des Kegels entspricht.

Das Volumen eines Kegels errechnet man mit der Formel $V(r,h)={\frac {1}{3}}\pi *r^{2}*h$.

Überlege dir, wie du die Länge s ermitteln könntest. Denke dabei an den Satz des Pythagoras