Benutzer:Lena F. WWU-5/LGS
Lineare Gleichungssysteme
Für das Lösen von Gleichungssystemen gibt es mehrere Verfahren. Grundsätzlich sind alle Verfahren zielführend.
Beim Additionsverfahren überlegst du dir, welche Variable du eliminieren bzw. auf Null bringen kannst. Dann entscheidest du, was du tun musst, damit die Variable wegfällt.
Ein Beispiel:
Hier bietet es sich an, die Gleichung I) mit der Gleichung II) zu addieren, damit die Variable y wegfällt:
Nun kannst du die Gleichung I) berechnen.
Den errechneten x-Wert kannst du nun in die Gleichung II) einsetzen.
Beim Einsetzungsverfahren löst du eine Gleichung nach einer Variablen auf und setzt diesen Term in die andere Geichung ein.
Ein Beispiel:
Hier bietet es sich an die Gleichung I) nach der Variablen y aufzulösen.
Nun setzt du diesen Term für y in Gleichung II) ein.
Beim Gleichsetzungsverfahren löst du beide Gleichungen nach der gleichen Variablen auf und stellst diese gleich.
Ein Beispiel:
Löse beide Gleichungen nach x auf.
Nun kannst du die Gleichungen gleichsetzten.
Den errechneten y-Wert kannst du nun in eine Gleichung deiner Wahl einsetzen und die Gleichung lösen.
Überlege, welches Verfahren zum Lösen der Gleichungssysteme am sinnvollsten wäre. Denke daran, dass grundsätzlich alle Verfahren zielführend sind.
a) | b) | c) |
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Addiere Gleichung I) zur Gleichung II).
Berechne die Lösung für Gleichung II).
Setze den x-Wert in Gleichung I) ein.
Lösung:
Multipliziere Gleichung II) mit 2.
Addiere die Gleichung I) zu Gleichung II).
Berechne die Lösung für Gleichung II).
Setze den x-Wert in Gleichung I) ein.
Lösung:
Addiere die Gleichung I) und II) und die Gleichung I) und III).
Berechne die Lösung für Gleichung II) und III).
Setze den x-Wert und den y-Wert in Gleichung I) ein.
Lösung:
Anna und Max sind im Freibad und kaufen sich etwas zu essen. Anna bestellt einen Burger und zwei Portionen Pommes. Dafür zahlt sie 5,10 €. Max bestellt zwei Burger und zwei Portionen Pommes und zahlt 7,60 € .
Wie viel kostet ein Burger? Wie viel kostet eine Portion Pommes?Die Variable x steht für die Burger. Die Variable y steht für die Portion Pommes. Das zu lösende Gleichungssystem ist:
Subtrahiere die Gleichung I) von der Gleichung II).
Setze nun den x-Wert in die Gleichung I) ein.
Die Variable x steht für die Anzahl der Vierbettzimmer und die Variable y steht für die Anzahl der Sechsbettzimmer. Dann ist das zu lösende Gleichungssystem:
Du kannst dir aussuchen, welches Verfahren du anwenden möchtest.
Mit dem Additionsverfahren löst du das Gleichungssystem wie folgt:
Addiere das (-4)-fache von Gleichung I) zu Gleichung II).
Löse nun die Gleichung II).
Setze den y-Wert in Gleichung I) ein.
Mit dem Einsetzungsverfahren löst du das Gleichungssystem wie folgt:
Löse Gleichung I) nach x auf.
Setze nun die Gleichung für x in II) ein und löse nach y auf.
Person A besitzt das Vermögen a, Person B besitzt das Vermögen b und Person C besitzt das Vermögen c. Wenn Person A und Person B zusammen 30 EURO mehr besitzen als Person C, so gilt
Die Variable x steht für das Vermögen der Person 1. Die Variable y steht für das Vermögen der Person 2 und die Variable z steht für das Vermögen der Person 3. Dann ist das zu lösende Gleichungssystem
Du kannst zum Beispiel das Additionsverfahren verwenden, um das Gleichungssystem zu lösen. Addiere dazu die Gleichungen I) zur Gleichung II) und die Gleichung I) zur Gleichung III).
Löse nun die Gleichungen I) und II).
Setze nun den x-Wert und den y-Wert in die Gleichung I) ein.