Benutzer:Lara / Optimierungsprobleme - Funktionsscharen

Einführung: Optimierungsprobleme

Was sind Optimierungsprobleme?

Optimierungsprobleme , oder auch Extremwertprobleme, beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem optimalen Wert einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein Extremwert, also ein Maximum oder ein Minimum.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.

Optimierungsprobleme & Funktionenscharen

Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar

In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable x abhängt, sondern außerdem von einem Parameter a.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.

Aufgabe

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{t}(x)=x^{2}-4x-t^{2}-2t$.

Für welchen Wert von $t$ liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t:

Ableiten der Funktion ergibt:

$f'(x)=2x-4$ $f''(x)=2$

Für ein Minimum muss gelten: $f'(x)=0$ und $f''(x)>0$.

$f'(x)=0$

$<=>2x-4=0$

$<=>2x=4$

$<=>x=2$

$f''(2)=2>0=>$ Minimum

Setze nun $x=2$ in $f(x)$ ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

$f(2)=2^{2}-4*2-t^{2}-2t$

$<=>f(2)=4-8-t^{2}-2t$

$<=>f(2)=-4-t^{2}-2t$

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung $g$, so ergibt sich also:

$g(t)=-4-t^{2}-2t$.

Gesucht ist das $t$, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion $g(t)$.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen $g'(t)$ und $g''(t)$:

$g'(t)=-2t-2$

$g''(t)=-2$

Bei einem Maximum muss gelten: $g'(t)=0$ und $g''(t)<0$.

$g'(t)=0$

$<=>-2t-2=0$

$<=>-2t=2$

$<=>t=-1$

$g''(-1)=-2<0=>$ Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für $t=-1$ maximal.