Kapitel-Informationskästchen
Info
In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.
Bei diesen Punkten handelt es sich um den Umkreismittelpunkt, den Inkreismittelpunkt und den Schwerpunkt. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir dieses Kapitel an (Link).
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
- In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
- Aufgaben in pinker Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
- Und Aufgaben mit lilanem Streifen sind Knobelaufgaben.
Viel Erfolg!
Einstieg
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er weiß wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Leider kommen dafür zwei Juweliere und eine Bank infrage.
Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?
Aufgabe 1
Aufgabe 1:
Experimentiere mit den Besonderen Punkten des Dreiecks herum und notiere dir die besonderen Eigenschaften auf dem Arbeitsblatt.
Der Umkreis berührt alle Eckpunkte eines Dreiecks. Der Umkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu zeichnen.
Der Inkreis berührt Seiten eines Dreiecks genau einmal. Der Inkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden des Dreiecks. Zur Konstruktion des Inkreises genügt es, zwei Winkelhalbierende zu zeichnen.
Der Schwerpunkt ist der Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden des Dreiecks. Diese teilt er immer im Verhältnis 2:1. Zur Konstruktion des Schwerpunkts genügt es, zwei Seitenhalbierende zu zeichnen.
Aufgabe 2
a) Ordne die Punkte den Geraden zu, deren Schnittpunkt sie bilden.
Mittelsenkrechte - Umkreismittelpunkt
Winkelhalbierende - Inkreismittelpunkt
Seitenhalbierende - Schwerpunkt
b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.
Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:
Schwerpunkt und Seitenhalbierende: Beides beginnt mit "S".
Inkreis und Winkelhalbierende: In beidem kommt "ink" vor.
Umkreis und Mittelsenkrechte: In beidem kommt "m" vor.
Wiederholung
Eigenschaften des Umkreismittelpunkt
Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch außerhalb des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen stumpfen Winkel hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Kasten kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den Umkreismittelpunkt beobachten.
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue hier.
Aufgabe 3
Aufgabe 3:
Benenne die Punkte M1 M2 und M3 der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.
Deine Lösung:
M1 - Umkreismittelpunkt, M2 - Schwerpunkt, M3 - Inkreismittelpunkt
Du kannst den Umkreismittelpunkt herausfinden in dem du einen stumpfen Winkel im Dreieck erzeugst. Dann liegt der Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks. Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue
hier .
Überlege dir, wo beispielsweise eine Winkelhalbierende entlangläuft und verschieben dann einen Eckpunkt. Der Inkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.
Schnappe die Diebe
Aufgabe 4: Entfernungsproblem
Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.
Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.
Zur Übersicht: Geometrie im Dreieck
