Benutzer:C.Schroer/Rekonstruktion von Größen
Gibt die Funktion eine Änderungsrate an, z. B. m³ / h bei einem Wasserzufluss oder km/ h bei einer Geschwindigkeit an, so kann man die Gesamtänderung innerhalb eines Zeitraumes rekonstruieren.
Um die Gesamtänderung einer Größe zu bestimmen, zerlegt man die Fläche zwischen Graph und x-Achse in Teilflächen und berechnet deren Flächeninhalt. Dabei beachtet man, dass die Teilflächen unter der x-Achse ein negatives Vorzeichen bekommen, also abgezogen werden.
(vgl. Schulbuch Seite 52)
Krumlinig berandete Flächen
Manchmal ist der Graph der Änderungsrate krumlinig, so dass sich das Problem ergibt: Wie berechne ich jetzt den Flächeninhalt?
Das Problem löst man, indem man die Fläche in rechteckige Streifen zerlegt und den Flächeninhalt aller Teilflächen addiert. Je nachdem wie man die Höhe des Rechtecks wählt, erhält man einmal die Obersumme, ein anderes Mal die Untersumme der zugehörigen Fläche als obere bzw. untere Grenzmarke. Die Idee ist nun, dass man die Rechteckstreifen immer schmaler macht, so dass die Annäherung durch die Streifen immer genauer wird. Die so errechneten Werte für Ober- und Untersumme nähern sich dadurch immer weiter an. Als Integral bezeichnet man dann den gemeinsamen Grenzwert von Ober- und Untersumme, falls dieser existiert.
Das folgende Applet verdeutlicht sehr gut, dass mit feinerer Einteilung der Rechtecke die Differenz zwischen Ober- und Untersumme immer kleiner wird, die Fläche unter dem Funktionsgraph so näherungsweise berechnet werden kann.
In den folgenden zwei Videos erklärt Daniel Jung sehr gut, wie man rechnerisch, ohne GTR, den Grenzwert von Ober-und Untersumme berechnet. Dies wird zwar im Grundkurs nicht verlangt, das Grundprinzip sollte man aber kennen.
