welche Bedeutung Zinseszinsen für Kapitalanlage haben,
welcher Unterschied zwischen der Geldanlage mit und ohne Zinseszinsen besteht.
Vorwissen
Vorwissen: Zinsrechnung: Jahres-,Monats- und Tageszinsen
Wiederhole dein Wissen zur Zinsrechnung mithilfe der Aufgaben in der ANTON App. Klasse 10c: Das hast du ja schon in der Wochenaufgabe der letzten Woche erledigt!
1) Einstieg: Sparschwein
Sparschwein
Schreibe die Aufgabe und beide Möglichkeiten in dein Heft. Fülle die Tabelle aus.
Deine Oma schenkt dir zu deiner Geburt 1000€. Nun muss sie entscheiden, wie sie das Geld für dich angelegt. Die Bank bietet ihr einen Zinssatz von 5% an. Berechne, wie viel Geld du mit 18 Jahren bekämst. Übertrage die beiden Möglichkeiten in dein Heft und fülle die Tabelle aus.
1. Möglichkeit: Sie lässt sich die Zinsen jedes Jahr auszahlen und spart sie in einem Sparschwein.
K = 1000€; p% = 5% = 0,05
Jahre
Guthaben(€)
0
1000
1
1050
2
1100
3
1150
...
...
18
...
2. Möglichkeit: Sie lässt die Zinsen auf dem Sparbuch und fügt sie so jährlich dem Kapital zu.
Kannst du eine Formel angeben, mit der du den Endbetrag berechnen kannst?
Kapital nach 18 Jahren:
K18 = ...
Kapital nach 18 Jahren:
K18 = ...
Unterschiede zwischen einfacher Verzinsung und Zinseszins
Notiere Stichpunkte in deinem Heft, wie sich die einfache Verzinsung in der ersten Möglichkeit vom Zinsenzins der zweiten Möglichkeit unterscheidet. Nutze dazu auch nachfolgende Applet.
Stelle einen Wert für den Zinssatz p% mit dem Schieberegler ein. Dann ziehe den Schieberegler für die Zeit t und beobachte den Verlauf des Kapitals.
blau: einfache Verzinsung
rot: Zinseszins
Was fällt dir auf?
nach Pöchtrager
Hefteintrag: Zinseszins
Zinseszins bedeutet, dass ein Startkapital Zinsen erwirtschaftet und diese Zinsen werden dem Vermögen am Jahresende gutgeschrieben. So werden in Zukunft diese Zinsen ebenfalls verzinst.
Das Kapital nach n Jahren wird mit der Formel Kn = K0 ∙ (1+p%)n
= K0 ∙ qn mit q = 1+p%
Beispiel:
geg: K0 = 1000€ (Startkapital, null Jahre); p% = 5% = 0,05; q = 1 + p% = 1 + 0,05 = 1,05; n = 18 Jahre
ges: Kn (Kapital nach n Jahren)
K18 = 1000 ∙ 1,0518
= 2406,62 (€)
Nach 18 Jahren ist das Kapital auf 2406,62 € angewachsen.
Du nutzt folgende Taste beim Taschenrechner, um Exponenten größer als 3 einzugeben (hier z.B. n = 18):
Das nachfolgende Video erklärt noch einmal den Zusammenhang zwischen p% und q.
Formel umstellen nach K0 ("Wie hoch war das Startkapital...?):
Kn = K0 ∙ qn |:qn = K0
Formel umstellen nach q ("Mit welchem Prozentsatz ...?):
Kn = K0 ∙ qn |:K0 = qn | = q
Bestimme dann p% mit q = 1+ p%, also q-1 = p%.
Die n-te Wurzel bestimmst du mit dem Taschenrechner mit der Tastenkombination im Bild
Formel umstellen nach n ("Nach wie vielen Jahren...?"):
Das Umstellen der Formel nach n erfordert die Anwendung des Logarithmus. Dies lernst du erst später.
Löse hier also durch Probieren!
Setze für n verschiedene Zahlen ein und teste, für welchen Wert von n die Gleichung erfüllt wird.
Hefteintrag: Beispiele
Übertrage die Beispielaufgaben und die Lösungen aus dem Video in dein Heft. Starte das Video und stoppe es nach jedem Beispiel a), b) und c). Notiere vollständig und übersichtlich in deinem Heft.
Wähle aus den folgenden Aufgaben mindestens zwei Aufgaben aus und löse: Aufgaben auf der Seite Aufgabenfuchs
5
6
7
8
9
Übung 4
Löse die Aufgabe aus dem Buch. Notiere die gegebenen und gesuchten Größen, stelle die Formel für die Zinsrechnung nach der gesuchten Größe um und berechne.
Berechne Kn durch einsetzen der Werte in die Formel.
c) geg: ...
ges: K0; p%
Stelle die Formel nach K0 um und setze dann die gegebenen Werte ein.
d)geg: ...
ges: q und p%
Stelle die Formel nach q um und setzte die gegebene Größen ein. Bestimme so den Wert für q.
Berechne dann p% mit p% = q-1 (Wandel den Dezimalbruch in Prozent um.)
e) geg: ...
ges: q; n
q = 1 + p% = ...
Bestimme n durch Probieren.
Setze für n die Zahlen 1, 2, 3, ... ein und prüfe, für welchen Wert von n die Gleichung eine wahre Aussage ergibt.
Übung 5 - Anwendungsaufgaben
Löse die Aufgaben aus dem Buch. Notiere die gegebenen und gesuchten Größen, stelle die Formel für die Zinsrechnung nach der gesuchten Größe um und berechne.
S. 73 Nr. 5 (**)
S. 79 Nr. 1
S. 83 Nr. 10
S. 87 Nr. 6
S. 87 Nr. 7
Rechne zunächst mit einem Betrag von z.B. K0 = 1000€
geg: K0 = 1000€; Kn = 2 ∙ 1000€ = 2000€; p% = 1,8% = 0,0018, q = 1 + 0,018 = 1,018
Löse durch Probieren, für welchen Wert die Zinseszinsformel eine wahre Aussage ergibt oder Kn mehr als 2000€ beträgt.
Vergleiche die beiden Angebote:
Angebot A:
geg: K0 = 10000€; p% = 2,25% = 0,0225, also q = 1,0225; n = 7 Jahre
ges: Kn
Kn = K0 ∙ qn Setze ein und berechne.
Angebot B:
geg: K0 = 10000€; p% = 1,5% = 0,015, also q = 1,015; n = 7 Jahre; auf das Kapital nach 7 Jahren K7 gibt es zusätzlich 10%.
Kn = K0 ∙ qn Setze ein und berechne.
Berechne dann das Endkapital, indem du auf K7 noch einmal einen Aufschlag von 10% rechnest:
Endkapital KEnde = K7 ∙ 1,1 ...
denn p% = 10% = 0,1, also gilt q = 1,1.
a) geg: K0 = 2800€; n = 5; K5 = 3607,75€;
ges: Zinssatz p% (Berechne zunächst q und damit dann p%).
b) K0 = 5000€; p% = 4,5 = 0,045, also q = 1,045; Kn = 2 ∙ 5000€ = 10000€ ("verdoppelt")
ges: n
Löse durch Probieren!
c) geg: n = 8 Jahre; p% = 5,25% = 0,0525, also q = 1 + 0,0525 = 1,0525; K8 = 6776,25€
ges: K0
Stelle die Zinseszinsformel nach K0 um und setzte die gegebenen Werte ein.
Vergleiche deine Lösungen mit denen hinten im Buch. (Rückspiegelaufgaben)
3) Berechnung von Zinseszinsen mit einer Tabellenkalkulation
Du kannst auch eine Tabellenkalkulation für die Berechnung der Zinseszinsen nutzen. Das Video zeigt dir eine Möglichkeit. Kannst du eine weitere Möglichkeit angeben? Dann schicke die Datei als Mailanhang an deine Mathelehrerin/deinen Mathelehrer.
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![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/175894ebb479a591ab95c2418fa2a7bda8ff6708)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{\tfrac {K_{n}}{K_{0}}}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/376c48bc0171629101a350c97520dc15c16af790)
