Benutzer:Buss-Haskert/Mathe Q1 Integralrechnung

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Rekonstruktion einer Größe

Übungen zur Rekonstruktion einer Größe

Hier findest du Tipps zu den Aufgaben auf S. 50 im Buch.

Die Fläche unter den Kurven gibt jeweils die zurückgelegte Strecke s an. Berechne also die Flächen.
a) Zerlege die Flächen in 3 Teilflächen: A₁ = A_Dreick; A₂ = A_Rechteck und A₃ = A_Dreieck
A = $\tfrac{g·h}{2} + a·b + \tfrac{g·h}{2}$
= $\tfrac{2·2}{2} + 1·2 + \tfrac{1·2}{2}$
= 5 (m)
Alternativ kannst du den Flächeninhalt auch mit der Formel für das Trapez bestimmen:
A_Trapez = $\tfrac{(a+c)h}{2}$ = $\tfrac{(4+1)2}{2}$ = 5 (m).

Löse b) und c) ebenso.

Bestimme jeweils den Flächeninhalt unter der Kurve, oberhalb der x-Achse positiv und unterhalb der x-Achse negativ.

Lösung zur Testaufgabe 1:
a) Zerlege die Fläche in Teilflächen (waagerechte Linie ab 2), zu denen du einen Flächeninhaltsformel kennst, hier also ein Trapez und ein Dreieck.
A = A_Trapez + A_Dreieck
= $\tfrac{(8+6)2}{2}$ + $\tfrac{6·4}{2}$
= 14 + 12 = 26 (m³)
Da zu Beginn schon 10 m³ im Tank waren, sind es nun insgesamt 36 m². b) Pro Minute fließen 3 m³ aus dem Tank, bis 36 m³ herausgeflossen sind dauert es also:
36 : 3 = 12 (min).

Untersumme und Obersumme; Bestimmtes Integral

Integralschreibweise:

Übungen zur Integralschreibweise

Hier findest du Tipps zu den Aufgaben auf S. 54-56 im Buch.

1. Bestimme die Integrationsgrenzen: Von wo bis wo soll die Fläche berechnet werden?
2. Bestimme den Integrand: Von welcher Funktion soll die Flächen berechnet werden?
3. Bestimme das Differenzial
a) A = $\int\limits_{1}^{4} f(x) dx$
b) Um die Integrationsgrenzen zu bestimmen, berechne zunächst die Nullstellen der Funktion g(x).
g(x) ist eine nach unten geöffnete Normalparabel, die um 3 Einheiten entlang der y-Achse verschoben wurde, die Funktionsgleichung lautet also
g(x) = -x² + 3
Nullstellen: g(x) = 0
-x² + 3 = 0 |+x²
3 = x² | $\surd$
- $\sqrt{3}$ = x₁; $\sqrt{3}$ =x₂
A = $\int\limits_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} g(x) dx$
c) A = $\int\limits_{-4}^{-1} h(x) dx$

usw.

S. 54, Nr. 3 https://www.geogebra.org/classic/ccnzw5ng

S. 55, Nr. 4 https://www.geogebra.org/classic/nnrgeh2m

Interpretation: Die Pflanze ist nach 100 Tagen auf eine Größe von ca. 2,07 m gewachsen.

S. 55, Nr. 5a https://www.geogebra.org/m/rqhdk5nq

S. 55, Nr. 5b https://www.geogebra.org/m/awxfwjap

S. 55, Nr. 5c https://www.geogebra.org/m/rqmv8vhy

S. 56, Nr. 11a https://www.geogebra.org/m/tracazj8

S. 56, Nr. 11b https://www.geogebra.org/m/nmbnu9ms

S. 56, Nr. 11c https://www.geogebra.org/m/htxsyfwc

S. 56, Nr. 11d https://www.geogebra.org/m/xaemqdvt

S. 57, Nr. 21a https://www.geogebra.org/m/rtmspkuk

S. 57, Nr. 21b https://www.geogebra.org/m/xyheyy73

S. 57, Nr. 21c https://www.geogebra.org/m/jjs83ka6

Hauptsatz der Differenzial und Integralrechnung

Stammfunktion skizzieren

Tipp zu S. 60, Nr. 4a https://www.geogebra.org/m/yxmrxmqh

Tipp zu S. 60, Nr. 4b https://www.geogebra.org/m/zugc2bjm

Tipps zu den Aufgaben S. 60-61

Hier findest du Tipps zu den Aufgaben zur Stammfunktion.

1 F(x) = $\tfrac{1}{2}$ x³
F'(x) = 3· $\tfrac{1}{2}$ x² = $\tfrac{3}{2}$ x³ , also Buchstabe E

Gehe bei den Ziffern 2-5 ebenso vor.

f(x) = 6x²
F(x) = 2x³ ist Stammfunktion von f(x), denn
F'(x) = 3·2x² = 6x² = f(x).
Hauptsatz der Integralrechung: $\int_a^b f(x) \, dx = \left[ F(x) \right]_a^b = F(b) - F(a)$
$\int\limits_{1}^{2} f(x) dx = \left[ F(x) \right]_1^2$ = F(2) - F(1) = 2·2³ - 2·1³ = 16 - 2 = 14 (Flächeneinheiten).

b) Dieses Ergebnis bestätigt GeoGebra.

a) f(x) = 3x²; F(x) = $x^a$
F'(x) = a·x^a-1; a=3
b) f(x) = 2x; F(x) = x² - a
F'(x) = 2·x also darf a alle Werte annehmen, a ∈ ℝ

...

Tipp zu S. 60, Nr. 4a https://www.geogebra.org/m/yxmrxmqh

Tipp zu S. 60, Nr. 4b https://www.geogebra.org/m/zugc2bjm

Idee: Da F'(x) = f(X) gilt, beschreibt f(x) die jeweilige Steigung von F(x) an der Stelle x, also das Monotonieverhalten von F(x).
a) Der Graph von f schneidet die x-Achse zweimal. Das Monotonieverhalten von F(x) ändert sich also zweimal. An den Stellen, an denen F'(x) = f(x) das Vorzeichen wechselt.
F hat dort also zwei Extremstellen.
Bei x=0 wechselt F' vom negativen Bereich in den positiven, F fällt also zunächst und steigt dann, dort hat F also einen Tiefpunkt.
Bei x=5 wechselt F' vom positiven in den negativen Bereich, F steigt also zunächst und fällt dann, dort hat F also einen Hochpunkt.
b) Zerlege die Fläche unter dem Graphen in zwei Dreiecke (von x=0 bis x=1 und von x=4 bis x=5), in ein Rechteck von x=1 bis x=4 mit der Höhe 1 und ein Trapez von x=1 bis x=4 mit der Höhe 0,5.
A = $\tfrac{1}{2}$ ·1·1 + 3·1 + $\tfrac{1}{2}$ ·(3+1)·0,5 + $\tfrac{1}{2}$ ·1·1
A = 0,5 + 3 + 1 + 0,5
A = 5 (FE)

c)

Tipp zu S. 61, Nr. 6 I https://www.geogebra.org/m/c9anmg5a

Tipp zu S. 61, Nr. 6 II https://www.geogebra.org/m/fdqkpzuy

Tipp zu S. 61, Nr. 9 https://www.geogebra.org/m/kymjwc79

Stammfunktion bilden

Stammfunktion bestimmen

Lies auf S. 63 den blauen Kasten mit den Regeln zur Bildung einer Stammfunktion.

Übungen zur Stammfunktion

Bearbeite die nachfolgenden LearningApp.

Tipps zu den Aufgaben S. 65-66

Hier findest du Tipps zu den Aufgaben zur Bestimmung der Stammfunktion.

S. 65, Nr. 1
a) f(x) = x; Potenzregel: F₁(x) = $\tfrac{1}{2}x^2$ ; F₂(x) = $\tfrac{1}{2}x^2$ + 3 (+c, irgendeine Zahl)
b) f(x) = 2x; Faktorregel (2) und Potenzregel (x): F₁(x) = 2· $\tfrac{1}{2}x^2$ = x²; F₂(x) = 2· $\tfrac{1}{2}x^2$ = x² + 2
c) f(x) = x²; Potenzregel: F₁(x) = $\tfrac{1}{3}x^3$ ; F₂(x) = $\tfrac{1}{3}x^3$ +6
d) f(x) = 3x²; Faktorregel (3) und Potenzregel (x²): F(x) = 3· $\tfrac{1}{3}x^3$ = x³
e) Potenzregel
f) Potenzregel
g) f(x) = 7; f(x) = 7 $x^0$ ; also F₁(x) = 7· $\tfrac{1}{1}x^1$ = 7x; ...
h) f(x) = 0; F(x) = 3 (allgemein c, irgendeine Zahl)
i) f(X) = x² + x; Summenregel und Potenzregel: F₁(x) = $\tfrac{1}{3}x^3$ + $\tfrac{1}{2}x^2$
j) Summenregel und Potenzregel
k) f(x) = 0,5x + 1; Summenregel, Faktorregel und Potenzregel: F₁(x) = 0,5· $\tfrac{1}{2}x^2$ + 1x; f₂(x) = ...

l) Summenregel, Faktorregel und Potenzregel

S. 65, Nr. 3 (vergleiche mit Beispiel 2, S. 64)
a) f(x) = 5
Eine Stammfunktion von f(x) ist F(x) = 5x
A = $\int\limits_{10}^{20} f(x) dx$ = $\left[ F(x) \right]_{10}^{20}$ = $\left[ 5x \right]_{10}^{20}$
= F(20) - F(10) = 5·20 - 5·10 = 100 - 50 = 50 FE (Flächeneinheiten)
b) f(x) = 2x
Eine Stammfunktion von f(x) ist F(x) = 2· $\tfrac{1}{2}x^2$ = x²
A = $\int\limits_{0}^{3} f(x) dx$ = $\left[ F(x) \right]_{0}^{3}$ = $\left[ x² \right]_{0}^{3}$
= F(3) - F(0) = 3² - 0² = 9 FE (Flächeneinheiten)

Löse c-f ebenso.

S. 65, Nr. 4 (vergleiche mit Beispiel 2, S. 64)
a) h(x) = -x²+1
Eine Stammfunktion von h(x) ist H(x) = - $\tfrac{1}{3}x^3$ + x
$\int\limits_{-1}^{1} h(x) dx$
= $\left[ H(x) \right]_{-1}^{1}$
= $\left[-\tfrac{1}{3}x^3 + x \right]_{-1}^{1}$
= H(1) - H(-1)
= - $\tfrac{1}{3}·1^3$ + 1 - (- $\tfrac{1}{3}(-1)^3$ + (-1))
= $\tfrac{2}{3}$ - (- $\tfrac{2}{3}$ )
= $\tfrac{2}{3}$ + $\tfrac{2}{3}$
= $\tfrac{4}{3}$ FE (Flächeneinheiten)
b) k(x) = $\tfrac{3}{4}x^2$ - 3
Eine Stammfunktion von k(x) ist K(x) = $\tfrac{3}{4}·\tfrac{1}{3}x^3$ - 3x = $\tfrac{1}{4}x^3$ - 3x
$\int\limits_{-2}^{2} k(x) dx$
= $\left[ K(x) \right]_{-2}^{2}$
= $\left[ \tfrac{1}{4}x^3 - 3x \right]_{-2}^{2}$
= K(2) - K(-2)
= $\tfrac{1}{4}·2^3$ - 3·2 - ( $\tfrac{1}{4}·(-2)^3$ - 3·(-2))
= 2 - 6 - (-2 - (-6))
= -4 - 4
= -8 FE (Flächeneinheiten)
c) f(x) = $\tfrac{3}{2}x^3 - \tfrac{27}{8}x$
Eine Stammfunktion von f(x) ist F(x) = $\tfrac{3}{2}·\tfrac{1}{4}x^4 - \frac{27}{8}·\tfrac{1}{2}x^2 = \tfrac{3}{8}x^4 - \frac{27}{16}x^2$
$\int\limits_{-1,5}^{1,5} f(x) dx$
= $\left[ F(x) \right]_{-1,5}^{1,5}$
= $\left[ \tfrac{3}{8}x^4 - \frac{27}{16}x^2 \right]_{-1,5}^{1,5}$
= F(1,5) - F(-1,5)
= $\tfrac{3}{8}·1,5^4 - \frac{27}{16}·1,5^2 - (\tfrac{3}{8}·(-1,5)^4 - \frac{27}{16}·(-1,5)^2$ ) =
= $\tfrac{3}{8}·1,5^4 - \frac{27}{16}·1,5^2 - (\tfrac{3}{8}·1,5^4 - \frac{27}{16}·1,5^2$ )

= 0 FE (Flächeneinheiten)

S. 65, Nr. 5
a) f(x) = x²
Eine Stammfunktion von f(x) ist F(x) = $\tfrac{1}{3}x^3$
$\int\limits_{-2}^{5} f(x) dx$
= $\left[ F(x) \right]_{-2}^{5}$
= $\left[-\tfrac{1}{3}x^3 \right]_{-2}^{5}$
= F(5) - F(-2)
= $\tfrac{1}{3}·5^3$ - ( $\tfrac{1}{3}(-2)^3$ )
= $\tfrac{125}{3}$ - (- $\tfrac{8}{3}$ )
= $\tfrac{125}{3}$ + $\tfrac{8}{3}$
= $\tfrac{133}{3}$ = 44 $\tfrac{1}{3}$ FE (Flächeneinheiten)