Benutzer:Buss-Haskert/Ideen Oberstufe

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2. Kurvendisussion

Kurvendiskussion - Wie verläuft der Graph der Funktion

Beschreibe den Verlauf des Graphen der Funktion
f(x) = x³ - 3x² - 13x + 15. Bestimme dazu

  • Verhalten gegen +∞ und -∞
  • die Extrempunkte (Hochpunkt/Tiefpunkt)
  • Wendepunkte
  • Monotonieintervalle
  • Krümmungsintervalle

2.1 Verhalten gegen Verhalten gegen +∞ und -∞

Für das Verhalten der Funktion gegen Unendlich ist nur der Ausdruck mit dem höchsten Exponenten von Bedeutung! Hier also x³.
Du überlegst also, von wo der Graph der Funktion für sehr kleine x kommt (umgangssprachlich: von oben, +∞ oder von unten,-∞) und wohin er für sehr große x geht (ebenfalls von oben, +∞ oder von unten,-∞)
So kannst du diese Teile des Graphen schon einmal skizzieren.

Für das Verhalten der Funktion gegen ∞ ist nur der Ausdruck mit dem höchsten Exponenten von Bedeutung! Hier also x³.
Setzt du für x sehr große positive Werte ein, so ist x³ auch sehr groß, also gilt f(x) = +∞.
Setzt du für x sehr kleine Zahlen ein (also z.B. -1000000), so ist x³ auch sehr klein, also gilt f(x) = -∞
.

Der Graph der Funktion kommt also aus dem negativen Unendelichen und geht ins positive Unendliche

2.2 Extrempunkte (Hochpunkt/Tiefpunkt)

Die Extrempunkte sind die Hoch- und Tiefpunkte des Graphen. Um diese zu berechnen, schau, welche Steigung der Graph an diesen Stellen annimmt. Lass dir dazu im Applet die Steigung im Punkt A anzeigen.
Originallink: https://www.geogebra.org/m/jmrbypju

GeoGebra

(Applet von C. Buß-Haskert)

Die Steigung am Hochpunkt und am Tiefpunkt ist jeweils 0!
Lass dir die Steigung zum Punkt jeweils einzeichnen. Es ergibt sich eine Parabel, an der du jeweils die Steigung im entsprechenden Punkt des Graphen ablesen könntest. Diese Parabel ist die 1. Ableitung! Lass dir diese ebenfalls im Applet oben anzeigen.
Um die Extremstellen zu berechnen, musst du also herausfinden, für welche Werte von x die Ableitung den Wert 0 annimmt:
Notwendige Bedingung: f'(x) = 0!
Berechne!

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Funktionsgleichung: f(x) = x³ - 3x² - 13x + 15
Zeichne den Graphen der Funktion mit GeoGebra und lass dir die Extrema (im Unterpunkt PUNKTE) anzeigen (Kontrolle).
1. Ableitung: f'(x) = 3x² - 6x - 13
f'(x) = 0
3x² - 6x - 13 = 0  |:3 (normieren)
x² - 2x - 4 = 0   |pq-Formel mit p=-2 und q=-4
x1/2 = 1 ±
x1 ≈ -1,31 und x2 ≈ 3,31

Nun fehlt noch die y-Koordinate des Punktes. Setze dazu die x-Werte jeweils in die Funktionsgleichung von f(x) ein, denn du suchst ja den passenden Punkt auf dem Graphen.
f(-1,31) = (-1,31)³ - 3·(-1,31)² - 13·(-1,31) + 15 ≈ 24,63

f(3,31) = 3,31³ - 3·3,31² - 13·3,31 + 15 ≈ -24,63

Um zu entscheiden, ob es sich um einen Hochpunkt oder um einen Tiefpunkt handelt, musst du die 2. Ableitung bentuzen:
Es gilt:
f"(xE)>0 , dann handelt es sich um einen Tiefpunkt
f"(xE)<0 , dann handelt es sich um einen Hochpunkt

Begründung: Schau den Verlauf der Ableitungsfunktion im Applet oben an. Die Ableitungsfunktion fällt bei einem Hochpunkt, also ist ihre Steigung (f") dort negativ.

Bei einem Tiefpunkt steigt die Ableitungsfunktion, die Steigung (f") ist also positiv.

Hier: f"(x) = 6x - 6
f"(-1,31) = 6·(-1,31) - 6 = -13,86 < 0, also Hochpunkt

f"(3,31) = 6·3,31 - 6 = 13,86 > 0, also Tiefpunkt.


Extrempunkte bestimmen - Zusammenfassung
  • Bestimme die 1. und 2. Ableitung von f(x), also f'(x) und f"(x).
  • 1. Ableitung = 0, also f'(x) = 0, du erhältst xE
  • mit 2. Ableitung prüfen: f"(xE)>0 , dann handelt es sich um einen Tiefpunkt; f"(xE)<0 , dann handelt es sich um einen Hochpunkt
  • y-Koordinate bestimmen: f(xE) berechnen.

2.3 Wendepunkte

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Betrachte wieder die Funktion f(x) = x³ - 3x² - 13x + 15
Lass dir im Applet oben die 1. Ableitung anzeigen. Hier kannst du die Steigung der Funktion f(x) ablesen. Im Wendepunkt ist die Steigung am größten (bzw. am kleinsten), das bedeutet, dass die 1. Ableitung hier eine Extremstelle (Hoch- oder Tiefpunkt) hat. Du bestimmst die Wendestellen also, indem du die Extremstelle der 1. Ableitung, also die Nullstelle der 2. Ableitung bestimmst.
f(x) = x³ - 3x² - 13x + 15
f'(x) = 3x² - 6x - 13
f"(x) = 6x - 6

f"(x) = 0
6x - 6 = 0  |+6
6x = 6  | :6
x = 1
An der Stelle xW = 1 könnte die Funktion also ein Wendestelle haben. (Vergleiche dieses Ergebnis mit den Werten im GeoGebra-Applet oben.)
Prüfe mit der 3. Ableitung, ob es sich um eine Wendestelle handelt. (f"'(xW)≠ 0)
f"'(x) = 6 ≠ 0
also hat f(x) an der Stelle xW = 1 eine Wendestelle.
Berechne nun die y-Koordinate (des Wendepunktes):
f(1) = 1³ - 3·1² - 13·1 + 15 = 0
Der Wendepunkt lautet W(1|0).

Wendepunkte bestimmen - Zusammenfassung
  • Bestimme die 2. und 3. Ableitung von f(x), also f"(x) und f"'(x).
  • 2. Ableitung = 0, also f'(x) = 0, du erhältst xW
  • mit 3. Ableitung prüfen: f"'(xW)≠ 0 , dann handelt es sich um einen Wendepunkt
  • y-Koordinate bestimmen: f(xW) berechnen.

2.4 Monotonie

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Betrachte wieder die Funktion f(x) = x³ - 3x² - 13x + 15
Du hast schon herausgefunden, dass sie aus dem negativen Unendlichen kommt, bei xE1=-1,31 einen Hochpunkt, bei xE2 einen Tiefpunkt hat und für sehr große Zahlen ins positive Unendliche verläuft. Also ist sie bis zum Hochpunkt monoton steigend (Intervall ]-∞,-1,31])
vom Hochpunkt bis zum Tiefpunkt monoton fallend (Intervall [-1,31;3,31])und
ab dem Tiefpunkt wieder monoton steigend (Intervall [3,31; ∞[.

2.5 Krümmungsverhalten

Um zu entscheiden, ob es sich um einen Hochpunkt oder um einen Tiefpunkt handelt, betrachte das Krümmungsverhalten des Graphen. Steigt der Graph zunächst und fällt danach, handelt es sich um einen Hochpunkt, der Graph ist rechtsgekrümmt
Fällt der Graph zunächst und steigt danach, handelt es sich um einen Tiefpunkt, der Graph ist linksgekrümmt.
Das Video erklärt dies noch einmal:

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