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Vorwissen

1) Pyramide
2) Kegel
3) Kugel
4) Zusammengesetzte Körper

5) Checkliste

3) Kugel

1) Volumen

Experimentelle Bestimmung der Volumenformel der Kugel

Experiment zur Volumenbestimmung

Vorne am Pult liegen ein offener Zylinder und eine Kugel. Die Höhe des Zylinders und der Durchmesser der Grundfläche stimmt mit dem Durchmesser der Kugel überein.
Durchführung des Experiments: (Für den Unterricht auf Distanz habe ich unten das Experiment für dich durchgeführt und gefilmt. Schau dir das Video an.)

• Fülle den Zylinder vollständig mit Wasser.
  
• Tauche die Kugel in den Zylinder.
  
• Schätze, welcher Bruchteil des Wassers durch die Kugel verdrängt wurde.

Was stellst du fest?

Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Volumina von Kugel und Zylinder?

Das Ergebnis dieses Tauchexperimentes ist natürlich nie 100% genau. Schätze.

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Welcher Bruchteil des Wassers im Zylinders wurde durch die Kugel verdrängt? _____

Also gilt: V_Kugel = ___∙ V_Zylinder   | Nun setzte die Volumenformel des Zylinders ein. Beachte, dass h_Zylinder = 2r.
Leite so die Formel für das Kugelvolumen her.

Welcher Bruchteil des Wassers wurde verdrängt?$\tfrac{2}{3}$

$\tfrac{2}{3}$ des Wassers wurden verdrängt. Also gilt V_Kugel = $\tfrac{2}{3}$∙ V_Zylinder

V_Kugel = $\tfrac{2}{3}$∙ V_Zylinder

        = $\tfrac{2}{3}$ ∙ G ∙ h mit h = 2r

 V_Kugel = $\tfrac{2}{3}$ ∙ G ∙h_K mit h = 2r
V_Kugel = $\tfrac{2}{3}$ ∙ $\pi$ r² ∙ h_K   |h = 2r
         = $\tfrac{2}{3}$ ∙ 𝞹 r² ∙ 2r

          = $\tfrac{4}{3}$ ∙ 𝞹 ∙ r³

Du hast nun auf der Grundlage experimenteller Ergebnisse eine Formel für das Volumen einer Kugel aufgestellt.

Volumen einer Kugel

Das Volumen einer Kugel mit dem Radius r wird berechnet mit

V = $\tfrac{4}{3}$ ∙𝞹 ∙ r³

Übung 1

Löse die nachfolgenden Aufgaben aus dem Buch. Achte auf eine vollständige und übersichtliche Darstellung. Notiere die Formel und stelle sie nach der gesuchten Größe um. Setze dann die gegebenen Werte ein und berechne die gesuchte Größe.

• S. 54 Nr. 1
• S. 54 Nr. 2

Umstellen der Volumenformel nach r:
V = $\tfrac{4}{3}$ ∙𝞹 ∙ r³   |:$\tfrac{4}{3}$ (mit dem Kehrbruch multiplizieren)
$\tfrac{3V}{4}$ = 𝞹 ∙ r³   |: 𝞹
$\tfrac{3V}{\text{4𝞹}}$ = r³   |$\sqrt[3]{}$

$\sqrt[3]{\tfrac{3V}{\text{4𝞹}}}$ = r    Setze die gegebenen Werte ein und berechne r.

2) Oberfläche

Kugeln haben eine gekrümmte Oberfläche, man kann sie nicht in der Ebene abwickeln. Daher leiten wir die Formel durch Annäherung her:

Das nachfolgende GeoGebra-Applet veranschaulicht die Herleitung der Formel für die Oberfläche einer Kugel. Erkläre!

Wir zerlegen die Kugel in viele kleine Pyramiden, deren Grundflächen die Oberfläche der Kugel bilden.

Damit lässt sich die Oberflächenformel herleiten:

Oberfläche einer Kugel

Die Formel für die Oberfläche einer Kugel lautet:

O = 4𝞹r²

Mit dem Lied lernst du die Formeln spielend leicht auswendig:

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Übung 2

Löse die nachfolgenden Aufgaben aus dem Buch. Achte auf eine vollständige und übersichtliche Darstellung. Notiere die Formel und stelle sie nach der gesuchten Größe um. Setze dann die gegebenen Werte ein und berechne die gesuchte Größe.

• S. 56 Nr. 1
• S. 56 Nr. 2
• S. 57 Nr. 3
• S. 57 Nr. 5
• S. 57 Nr. 6

Umstellen der Oberflächenformel nach r:
O = 4𝞹r²   |:(4𝞹)
$\tfrac{O}{\text{4𝞹}}$ = r²   |$\surd$

$\sqrt{\tfrac{O}{\text{4𝞹}}}$ = r    Setze die gegebenen Werte ein und berechne den Radius r.

3b) stelle zunächst die Oberflächenformel nach r um (s. Formel umstellen oben). Lösung: r=$\approx$2,4 cm. Berechne dann V mit dem berechneten Radius. Lösung: V$\approx$57,9 cm³.

3) Stelle die Volumenformel nach r um (s. oben) und berechne dann mit dem berechneten Radius die Oberfläche.

a) Bild 1: 1 Kugel mit r=8cm (da d=h=16cm) O = 4$\pi$r² $\approx$ 804,2 cm²
Bild 2: O_gesamt = 8 ∙ O_Kugel mit r=4cm.
Bild 3: O_gesamt = 64 ∙ O_Kugel mit r=2cm
...
b) Bild 1: V = $\tfrac{4}{3}\pi$r³ mit r=8cm; V $\approx$ 2144,7 cm³.
Gewicht: m = Dichte ∙ Volumen = 0,2 ∙ 2144,7 = 4289,9 (g)

Berechne ebenso das Volumen für die anderen Bilder. Fällt dir etwas auf?

Stelle dir die Aufgabe vor: Du hast einen Würfel aus Knete mit der Kantenlänge a=10cm. Nun formst du diese Knete zu einer Kugel. Was bleibt gleich?
Das Volumen!
Bestimme zunächst das Volumen des Würfels, dieses ist dann das Volumen der Kugel. Stelle dann die Volumenformel der Kugel nach r um (s. oben) und bestimme so r. (Lösung: r=6,2cm)
b) Berechne die Oberfläche des Würfels und der Kugel und vergleiche. Gib den Unterschied auch prozentual an:

p%=$\tfrac{W}{G}$$\tfrac{\text{Differenz der Oberflächen}}{\text{Oberfläche des Würfels}}$ = $\tfrac{\text{116,9}}{\text{600}}$$\approx$19,5%

Im folgenden GeoGebra-Applet kannst du mithilfe des Schiebereglers den Radius der Kugel verändern und schauen, wie groß dann jeweils das Volumen und die Oberfläche wird. Vergleiche dann V₂ = ___∙V₁ bzw. O₂ = ___∙O₂

a)V₁ = $\tfrac{4}{3}\pi$r³
V₂ = $\tfrac{4}{3}\pi$(2r)³ = $\tfrac{4}{3}\pi$8r³ = 8 ∙ $\tfrac{4}{3}\pi$r³ = 8 ∙ V₁
usw.

b) Berechne mit Beispielwerten jeweils den Radius.

Übung 3

Löse Buch

• S. 57 Nr. 4

Der Durchmesser der Kugel beträgt zu Beginn 16cm, also gilt r₁=8cm.
Der Radius halbiert sich von Stufe zu Stufe, also gilt r₂ = 4cm, r₃ = 2cm und r₄ = 1cm.
Die Anzahl der Kugeln beträgt im zweiten Bild 4 Kugeln, im dritten Bild 64 Kugeln und im letzten Gefäß 512 Kugeln.
Lösung: Die Oberfläche nimmt von Bild zu Bild zu, das Volumen bleibt gleich.

Da das Volumen gleich bleibt, bleibt auch das Gewicht gleich (s.nächster Tipp)

Dichte = $\tfrac{\text{Masse}}{\text{Volumen}}$
$\rho$ = $\tfrac{m}{V}$   |∙V
$\rho$∙ V = m

also gibt die Dichte an, wie schwer 1cm³ dieses Stoffes ist.

Anwendungsaufgaben

Übung 4

Löse Buch

• S. 55 Nr. 3
• S. 55 Nr. 4
• S. 55 Nr. 5
• S. 55 Nr. 6
• S. 55 Nr. 7
• S. 55 Nr. 8
• S. 55 Nr. 9
• S. 55 Nr. 10
• S. 55 Nr. 11
• S. 57 Nr. 7
• S. 57 Nr. 9
• S. 57 Nr. 10
• S. 57 Nr. 11
• S. 57 Nr. 12 (schwer)

Dichte = $\tfrac{\text{Masse}}{\text{Volumen}}$
$\rho$ = $\tfrac{m}{V}$   |∙V
$\rho$∙ V = m

also gibt die Dichte an, wie schwer 1cm³ dieses Stoffes ist.

r_{kleine Murmel}= 8mm (denn d = 16mm); r_{große Murmel} = 14mm (denn d = 28mm)
V = 18∙V_{kleine Murmel} + V_{große Murmel} = ... $\approx$50097,9 mm³ $\approx$ 50,1 cm³

Gewicht = V ∙ 3,2 = ...

V = VQuader + V_Zylinder + V_Kugel mit a=5cm; h_Zylinder = 5cm, r_Zylinder = 2,5cm und r_Kugel = 2,5cm
Lösung V=288,6cm³

Gewicht m = V ∙ 0,68 = ...

Die Tür des Klassenzimmers ist 1m breit, also beträgt der Durchmesser der Kugel ebenfalls 1m. Also gilt r=0,5m = 50cm.
Bestimme V (in cm³) und multipliziere das Ergebnis mit 0,1g (pro cm³).

Lösung: Gewicht m = 52359,9g $\approx$ 52,4 kg.
Sie ist nur schwer anzuheben.

Der Tipp im Buch gibt vor, zunächst mit konkreten Zahlen zu rechnen und danach erst mit Variablen. Besonders leicht kannst du rechnen, wenn du h=1cm und d=2cm, also r=1cm wählst. Der Inhalt der Gläser bedeutet mathematisch das Volumen. Es handelt sich um eine halbe Kugel, einen Kegel und einen Zylinder.
V_Halbkugel = $\tfrac{1}{2}$ ∙ V_Kugel = $\tfrac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}\pi$r³ = $\tfrac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}\pi$1³ $\approx$ 2,09 (cm³)
V_Kegel = $\tfrac{1}{3}\pi$r²h = $\tfrac{1}{3}\pi$1²∙1 $\approx$ 1,05 (cm³)
V_Zylinder = $\pi$r²h = $\pi$1²∙1 $\approx$ 3,14(cm³)
Es gilt also V_Halbkugel + V_Kegel = V_Zylinder
Rechnen nun nur mit den Variablen (r und h bleiben also stehen):
V_Halbkugel + V_Kegel
= $\tfrac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}\pi$r³ + $\tfrac{1}{3}\pi$r²h mit r = h
= $\tfrac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}\pi$r³ + $\tfrac{1}{3}\pi$r³
= ($\tfrac{1}{2}\cdot\frac{4}{3} + \tfrac{1}{3}$)$\pi$r³
= 1$\pi$r³
Dies entspricht dem Volumen des Zylinders, wenn du auch hier r = h einsetzt:
V_Zylinder = V_Zylinder = $\pi$r²h mit r = h
= $\pi$r²∙r

= $\pi$r³

geg: Kugel mit V = 50 dm³
ges: d

Lösungsplan: Berechne zunächst r, indem du die Volumenformel der Kugel nach r umstellst (s.oben). Dann gilt d = 2r.

geg: Halbkugel, d=18cm, also r = d:2 = 9cm
ges: V; Ist V $\geq$ 1l; 1l = 1dm³

Falls du das Volumen in cm³ berechnet hast, musst du es noch in dm³ umwandeln, 1000cm³ = 1dm³

geg: kleine Kugeln mit r = 0,5cm
ges: Anzahl der kleinen Kugeln, deren Volumen genauso groß ist wie das Volumen einer Kugel mit r = 5cm.
Die kleinen Kugeln werden verschmolzen, daher musst du das Volumen betrachen.

Bestimme zunächst das Volumen einer kleinen Kugel und der großen Kugel. Dann kannst du berechnen, wie oft das Volumen der kleinen Kugel in das der großen passt. So viele Kugeln benötigst du.

a) Gehe davon aus, dass die Kugel maximal 1kg wiegen sollte.
b) Bestimme das Volumen und berechne dann das Gewicht mit m = V ∙ Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \roh} c) Wenn das Gewicht maximal m = 1kg = 1000 g betragen soll, bestimme zunächst das mögliche Volumen der Hohlkugel. V = Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle tfrac{m}{\roh}}
(Lösung V $\approx$51,8 cm³) Eine Hohlkugel kannst du dir vorstellen, wie zwei Kugeln, die ineinander liegen, wobei von der äußeren Kugel die innere abgezogen wird.
Der Radius der äußeren Kugel soll 3cm (d=6cm) betragen. Nun muss du also den Radius der inneren Kugel bestimmen, wobei du weißt dass V_Hohlkugel = V_{äußere Kugel} - V_{innere Kugel} = 51,8

(Lösung: r_{innere Kugel} = 0,1cm = 1mm

geg: 1 Mio Stahlkugeln; d=1mm, also r=0,5mm; Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \roh} = 7,8 g/cm³
ges: Gewicht aller Kugeln

Bestimme also zunächst das Volumen V einer Kugel und ihr Gewicht. Danach berechne das Gesamtgewicht und entscheide, welches Fahrzeug benötigt wird. (Lösung m $\approx$ 4,1kg)

geg: 400 000 000 Lungenbläschen; d=0,2mm, also r = 0,1mm
ges: gesamte Oberfläche; Vergleich mit Fußballfeld (A = 1ha)
Erinnerung 1km² = 100ha; 1ha = 100a; 1a = 100m²; 1m² = 100dm²; 1dm² = 100cm²; 1cm² = 100mm²

1ha ist ein Quadrat mit der Seitenlänge 100m)

geg: u₁ = 74,9cm; u₂ = 78,0cm
ges: Oberfläche von 1000 Bällen mindestens und höchstens mit 25% Verschnitt
Bestimme zunächst mit den Umfängen den kleinstmöglichen Radius r₁ und den größtmöglichen Radius r₂ eines Balls; Stelle dir dazu die Schnittfläche vor, wenn du den Ball halbierst, es ist ein Kreis.
Erinnerung: u = 2$\pi>$r
Bestimme danach die jeweilige Oberfläche und multipliziere das Ergebnis mit 1000.
Verschnitt: Du möchtest das Material nach Abzug des Verschnittes zur Verfügung haben, entspricht das Material dem verminderten Grundwert G^- mit p^-% = 1 - 0,25 = 0,75. Bestimme den Grundwert G mit G = $\tfrac{\text{G-}}{\text{p-$

(Die Berechnungen zum Verschnitt sind anders als die Musterlösungen im Buch)

geg: V_Kugel = 2000l = 2000 dm³
ges: O

Bestimme zunächst durch Umstellen der Volumenformel den Radius des Tanks und berechne damit die Oberfläche. Lösung:764,5 dm²

a) Berechne zunächst die Oberfläche des Ballons und multipliziere es dann mit 1,1g.

b) Bestimme zunächst das Volumen auf der Erde, danach das 500-fache davon. Nun kannst du den Radius des Ballons in der Höhe bestimmen und damit die neue Oberfläche.

Die "Wand" einer Seifenblase ist eine Hohlkugel, also musst du das Volumen der inneren Kugel von der äußeren abziehen. Der Durchmesser der äußeren Kugel beträgt 8cm, also gilt r_außen=4cm = 40mm; r_innen = 40-0,01 = 39,99 mm.

Umfangreiche Übungen findest du auf der Seite Aufgabenfuchs - Kugel.

4) Zusammengesetzte Körper