Julius-Echter-Gymnasium/Mathematik/Schrägbilder: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Box|Schrägbilder|Um sich Körper räumlich vorstellen zu können, zeichnet man Schrägbilder. <br />
<colorize>Schrägbilder</colorize>
Nicht sichtbare Kanten werden dabei '''gestrichelt '''gezeichnet, damit der räumliche Eindruck verstärkt wird.|Kurzinfo}}
<br />


Um sich Körper räumlich vorstellen zu können, zeichnet man Schrägbilder. Nicht sichtbare Kanten werden gestrichelt gezeichnet, damit der räumliche Eindruck verstärkt wird.
[[Datei:Cuboid 0.svg|300px|Schrägbild eines Quaders]]


Schrägbilder können zum Beispiel so aussehen:
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{{Box|Beachte:|Kanten, die in Wirklichkeit '''parallel''' zueinander sind, musst du auch im Schrägbild '''parallel''' zueinander zeichnen!<br />
ABER Kanten, die in Wirklichkeit ''senkrecht'' aufeinander stehen, müssen im Schrägbild ''nicht'' zwangsläufig auch senkrecht aufeinander stehen.|Hervorhebung2}}


<br />


[[Datei:Pyramid altitude.JPG|miniatur|File:Pyramid altitude.JPG]]
{{Box|Beim Zeichnen von Schrägbildern gibt es einen Trick:|Zeichne zuerst das Schrägbild eines Quaders mit gleicher Grundfläche.<br />
In diesen kannst du anschließend die eigentliche Figur hinein setzen und dich an den Kanten des Quaders orientieren. |Unterrichtsidee}}


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'''Hier siehst du verschiedene Schrägbilder:'''




'''<span style="color: #00EE00">1. Prisma</span>'''
[[Datei:Right and not-right prism.svg|300px|rechts|gerades und schräges Prisma]]
<br />


Ein Prisma hat immer <span style="color: #00EE00">'''zwei Grundflächen'''</span> die <span style="color: #00EE00">parallel</span> zueinander stehen und <span style="color: #00EE00">kongruent</span> (also deckungsgleich, d.h. gleich groß und gleich geformt) sind. <br />
Die anderen Flächen heißen <span style="color: #00EE00">'''Seitenflächen'''. Sie ergeben zusammen den <span style="color: #00EE00">Mantel</span> des Prismas. <br />


Alle Seitenkanten eines Prismas sind gleich lang und zueinander parallel. <br />
Der Abstand zwischen den beiden zueinander parallelen Grundflächen ist die <span style="color: #00EE00">Höhe</span> des Prismas.
<br />


Das Prisma '''A''' ist ein sechsseitiges gerades Prisma, während Prisma '''B''' fünfseitig und schräg ist.<br />
Bei einem schrägen Prisma liegen die beiden Grundflächen nicht direkt übereinander!<br />
<br />
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<span style="color: #0000CD">'''2. Pyramide'''</span>
[[Datei:Schrägbild einer Pyramide.svg|270px|rechts|vierseitige Pyramide]]


<br />


Eine Pyramide hat ein <span style="color: #0000CD">Vieleck als Grundfläche</span>. <br />
Das kann z.B. ein Dreieck, Viereck, Fünfeck, ... sein.<br /><br />


Im Gegensatz zum Prisma gibt es keine dazu parallele Grundfläche, sondern immer eine <span style="color: #0000CD">'''Spitze'''</span>.<br />


Deshalb besteht die <span style="color: #0000CD">Mantelfläche</span> einer Pyramide immer aus <span style="color: #0000CD">Dreiecken</span>.<br />
<br />


Ist die Grundfläche ein Dreieck, dann hat man eine '''dreiseitige''' Pyramide, weil von allen '''drei''' Dreiecksseiten aus ein Dreieck an die Pyramidenspitze geht.<br />
Ist die Grundfläche ein Viereck, dann hat man eine '''vierseitige''' Pyramide, weil von allen '''vier''' Vierecksseiten aus ein Dreieck an die Pyramidenspitze geht.<br />
<br />
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[[Datei:120px-Tetrahedron-slowturn.gif|250px|rechts|regelmäßiger Tetraeder]]


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<span style="color: #0000CD">Spezialfall: '''Tetraeder'''</span>
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Ein Tetraeder besteht aus vier gleichseitigen Dreiecken.<br />
Diese sind kongruent zueinander.<br />
<br />
Bei einem Tetraeder sind demnach alle Kanten gleich lang.


<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:3px; border:5px solid #FF0000; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFFF; align:left;">
<table border="0" width="600px" cellpadding=5 cellspacing=15>
<tr><td  width="100px" valign="top">
<big>'''<span style="color: #FF0000">Hinweis </span>'''</big>


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Man kann nicht nur Schrägbilder von Pyramiden machen, sondern auch von vielen anderen Figuren. Oft ist es hilfreich, zuerst das Schrägbild eines Quaders zu zeichnen und anschließend die Figur innen hinein zu setzen, wie es die folgende Animation darstellt.
[[Datei:Tetraeder animation with cube.gif|miniatur]]




</td></tr></table>
Später wirst du im Mathematikunterricht auch noch die beiden folgenden Körper kennen lernen, die einen '''Kreis als Grundfläche''' haben: <br />
</div>




<span style="color: #FF7F00">'''3. Zylinder'''</span>


[[Datei:Zylinder-senkr-kreis-hr-s.svg|160px|rechts|gerader Zylinder]]


Ein Zylinder wird aus drei Flächen zusammengesetzt: <br />


Ein Zylinder besteht immer aus <span style="color: #FF7F00">zwei identischen Kreisen</span>, die <span style="color: #FF7F00">parallel</span> zueinander liegen. <br />
Diese Kreise bilden die <span style="color: #FF7F00">'''Grund- und Deckfläche'''</span> des Zylinders.<br />
Die dritte Fläche hat die Form eines Rechtecks und wird <span style="color: #FF7F00">'''Mantel'''</span> genannt. <br />


'''Hier siehst du weitere Schrägbilder:'''
Die <span style="color: #FF7F00">Höhe</span> des Zylinders ist der Abstand zwischen der Grund- und Deckfläche.<br />
<br /><br />


'''1.'''Prisma
Wenn die Grund- und die Deckfläche nicht direkt übereinander liegen, spricht man von einem schrägen Zylinder.


Das Prisma '''A''' ist ein sechsseitiges gerades Prisma, während Prisma '''B''' fünf Seiten besitzt und schräg ist.
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<br />


Doch was ist ein Prisma jetzt genau?
Ein Prisma besteht aus zwei Grundflächen die kongruent (das heißt deckungsgleich) sind und den Seitenflächen, die zusammen den Mantel ergeben. Alle Seitenkanten eines Prismas sind zueinander gleich lang und parallel. Der Abstand zwischen den beiden Grundflächen ist die Höhe des Prismas.


[[Datei:Right and not-right prism.svg|miniatur|zentriert]]
<span style="color: #B23AEE">'''4. Kegel'''</span>
'''2.'''Tetraeder


Im Inneren dieses Dreiecks ist ein Tetraeder zu sehen.  
[[Datei:Schrägbild eines Kegels.svg|200px|rechts|Kegel]]


Aber was ist eigentlich ein typischer Tetraeder?
<br />
Ganz einfach: Bei einem Tetraeder sind alle Kanten gleich lang, die gleichseitigen Dreiecke aus denen ein Tetraeder besteht sind kongruent und in jedem Eckpunkt stoßen drei Kanten aneinander an.


[[Datei:Duality of tetrahedron.png|miniatur|zentriert]]
Die <span style="color: #B23AEE">Grundfläche</span> eines Kegels ist ein <span style="color: #B23AEE">Kreis</span>. <br />
'''3.'''Zylinder
Die spitze Form des Kegels entsteht dadurch, dass jeder Punkt der Grundfläche mit der <span style="color: #B23AEE">Spitze</span> des Kegels verbunden wird.


Ein Zylinder wird aus drei Flächen zusammengesetzt:
<br />
Eine Fläche hat die Form eines Rechtecks und wird Mantel genannt. Die zwei übrigen Formen sind identische Kreise, die parallel zueinander liegen. Diese Kreise bilden die '''Grund- und Deckfläche''' des Zylinders.
<br />


[[Datei:Zylinder-senkr-kreis-hr-s.svg|miniatur|zentriert]]
Teste nun dein Wissen über die verschiedenen mathematischen Körper:
'''4.'''Kegel


Die Grundfläche eines Kegels ist ein Kreis. Die spitze Form des Kegels entsteht dadurch, dass jeder Punkt des Mantels mit der spitze des Kegels verbunden wird.
Kannst du die Grundfläche eines Prismas erkennen? Teste dich selbst:


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[[Datei:Cone 3d.png|miniatur|zentriert]]
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[[Kategorie:Julius-Echter-Gymnasium Mathematik]]

Aktuelle Version vom 23. Februar 2020, 14:16 Uhr

Schrägbilder

Um sich Körper räumlich vorstellen zu können, zeichnet man Schrägbilder.

Nicht sichtbare Kanten werden dabei gestrichelt gezeichnet, damit der räumliche Eindruck verstärkt wird.


Schrägbild eines Quaders



Beachte:

Kanten, die in Wirklichkeit parallel zueinander sind, musst du auch im Schrägbild parallel zueinander zeichnen!

ABER Kanten, die in Wirklichkeit senkrecht aufeinander stehen, müssen im Schrägbild nicht zwangsläufig auch senkrecht aufeinander stehen.



Beim Zeichnen von Schrägbildern gibt es einen Trick:

Zeichne zuerst das Schrägbild eines Quaders mit gleicher Grundfläche.

In diesen kannst du anschließend die eigentliche Figur hinein setzen und dich an den Kanten des Quaders orientieren.




Hier siehst du verschiedene Schrägbilder:


1. Prisma

gerades und schräges Prisma


Ein Prisma hat immer zwei Grundflächen die parallel zueinander stehen und kongruent (also deckungsgleich, d.h. gleich groß und gleich geformt) sind.
Die anderen Flächen heißen Seitenflächen. Sie ergeben zusammen den Mantel des Prismas.

Alle Seitenkanten eines Prismas sind gleich lang und zueinander parallel.
Der Abstand zwischen den beiden zueinander parallelen Grundflächen ist die Höhe des Prismas.

Das Prisma A ist ein sechsseitiges gerades Prisma, während Prisma B fünfseitig und schräg ist.
Bei einem schrägen Prisma liegen die beiden Grundflächen nicht direkt übereinander!



2. Pyramide

vierseitige Pyramide


Eine Pyramide hat ein Vieleck als Grundfläche.
Das kann z.B. ein Dreieck, Viereck, Fünfeck, ... sein.

Im Gegensatz zum Prisma gibt es keine dazu parallele Grundfläche, sondern immer eine Spitze.

Deshalb besteht die Mantelfläche einer Pyramide immer aus Dreiecken.

Ist die Grundfläche ein Dreieck, dann hat man eine dreiseitige Pyramide, weil von allen drei Dreiecksseiten aus ein Dreieck an die Pyramidenspitze geht.
Ist die Grundfläche ein Viereck, dann hat man eine vierseitige Pyramide, weil von allen vier Vierecksseiten aus ein Dreieck an die Pyramidenspitze geht.


regelmäßiger Tetraeder


Spezialfall: Tetraeder

Ein Tetraeder besteht aus vier gleichseitigen Dreiecken.
Diese sind kongruent zueinander.

Bei einem Tetraeder sind demnach alle Kanten gleich lang.








Später wirst du im Mathematikunterricht auch noch die beiden folgenden Körper kennen lernen, die einen Kreis als Grundfläche haben:


3. Zylinder

gerader Zylinder

Ein Zylinder wird aus drei Flächen zusammengesetzt:

Ein Zylinder besteht immer aus zwei identischen Kreisen, die parallel zueinander liegen.
Diese Kreise bilden die Grund- und Deckfläche des Zylinders.
Die dritte Fläche hat die Form eines Rechtecks und wird Mantel genannt.

Die Höhe des Zylinders ist der Abstand zwischen der Grund- und Deckfläche.


Wenn die Grund- und die Deckfläche nicht direkt übereinander liegen, spricht man von einem schrägen Zylinder.






4. Kegel

Kegel


Die Grundfläche eines Kegels ist ein Kreis.
Die spitze Form des Kegels entsteht dadurch, dass jeder Punkt der Grundfläche mit der Spitze des Kegels verbunden wird.



Teste nun dein Wissen über die verschiedenen mathematischen Körper:

Kannst du die Grundfläche eines Prismas erkennen? Teste dich selbst:


Aufgabe 1


Aufgabe 2


Aufgabe 3


Aufgabe 4


Aufgabe 5