Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2) Lineare Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen
KKeine Bearbeitungszusammenfassung Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung |
(Änderung 36078 von HLR-TN8 (Diskussion) rückgängig gemacht.) Markierung: Rückgängigmachung |
||
(39 dazwischenliegende Versionen von 2 Benutzern werden nicht angezeigt) | |||
Zeile 143: | Zeile 143: | ||
{{Box|Und nun umgekehrt...|Zeichne zu einer Funktionsgleichung den Graphen.|Kurzinfo}} | {{Box|Und nun umgekehrt...|Zeichne zu einer Funktionsgleichung den Graphen.|Kurzinfo}} | ||
Dabei gehst du ähnlich vor, wie beim Bestimmen der Funktionsgleichung. | Dabei gehst du ähnlich vor, wie beim Bestimmen der Funktionsgleichung.<br>1. Schritt: Zeichne den y-Achsenabschnitt b ein: P(0|b)<br> | ||
1. Schritt: Zeichne den y-Achsenabschnitt b ein: P(0|b) | 2. Schritt: Zeichne das Steigungsdreieck ein. Starte im Punkt P. Der Nenner gibt an, wie viele Einheiten du nach rechts gehst, der Zähler, wie viele Einheiten nach oben (unten).<br> | ||
2. Schritt: Zeichne das Steigungsdreieck ein. Starte im Punkt P. Der Nenner gibt an, wie viele Einheiten du nach rechts gehst, der Zähler, wie viele Einheiten nach oben (unten). | |||
3. Schritt: Zeichne die Gerade durch die so erhaltenen Punkte. | 3. Schritt: Zeichne die Gerade durch die so erhaltenen Punkte. | ||
Zeile 154: | Zeile 153: | ||
<div class="width-1-3">Schritt 3[[Datei:Gerade zur Gleichung zeichnen Schritt 3.png]]</div> | <div class="width-1-3">Schritt 3[[Datei:Gerade zur Gleichung zeichnen Schritt 3.png]]</div> | ||
</div> | </div> | ||
Übertrage das Beispiel mit den Anmerkungen in dein Heft! | |||
Die Videos zeigen das Vorgehen noch einmal: | Die Videos zeigen das Vorgehen noch einmal: | ||
<div class="grid"> | <div class="grid"> | ||
Zeile 189: | Zeile 190: | ||
Um nun eine Wertetabelle zu erstellen, setze für x verschiedene Werte ein und berechne den zugehörigen y-Wert, den Funktionswert. Erinnerung: Werte von Termen berechnen (7. Klasse) | Um nun eine Wertetabelle zu erstellen, setze für x verschiedene Werte ein und berechne den zugehörigen y-Wert, den Funktionswert. Erinnerung: Werte von Termen berechnen (7. Klasse) | ||
[[Datei:Wertetabelle erstellen Beispiel 2x+5.png]] | [[Datei:Wertetabelle erstellen Beispiel 2x+5 berichtigt.png]] | ||
Das Video fasst das Vorgehen noch einmal zusammen: | Das Video fasst das Vorgehen noch einmal zusammen: | ||
{{#ev:youtube| EfPX2lmay0c}} | {{#ev:youtube| EfPX2lmay0c}} | ||
Zeile 203: | Zeile 205: | ||
Tom und Lisa leihen für 3 Stunden ein Tretboot. Der Bootsverleiher rechnet den Preis 10€ aus. Kann das sein? | Tom und Lisa leihen für 3 Stunden ein Tretboot. Der Bootsverleiher rechnet den Preis 10€ aus. Kann das sein? | ||
geg: Punkt A(3|10); Funktion f(x) = 2x + 5 | geg: Punkt A(3|10); Funktion f(x) = 2x + 5 | ||
ges: Liegt der Punkt A auf dem Graphen der Funktion? | ges: Liegt der Punkt A auf dem Graphen der Funktion? | ||
Zeile 227: | Zeile 231: | ||
10 = 11 <b>(f)</b> | 10 = 11 <b>(f)</b> | ||
Es ergibt sich eine <b>falsche</b> Aussage, die Gleichung ist nicht erfüllt, also <b>liegt</b> der Punkt<b>nicht</b> auf dem Graphen. | Es ergibt sich eine <b>falsche</b> Aussage, die Gleichung ist nicht erfüllt, also <b>liegt</b> der Punkt <b>nicht</b> auf dem Graphen. | ||
Wir prüfen ebenso, ob der Punkt B(<span style="color:red">4</span>|<span style="color:blue">13</span>) auf der Geraden liegt: | Wir prüfen ebenso, ob der Punkt B(<span style="color:red">4</span>|<span style="color:blue">13</span>) auf der Geraden liegt: | ||
Zeile 244: | Zeile 248: | ||
Das folgende Video fasst noch einmal zusammen: | Das folgende Video fasst noch einmal zusammen: | ||
<div class="grid"> | <div class="grid"> | ||
<div class="width-1-2"> Zusammenfassung: {{#ev:youtube|iV-ysofefkg|460|center}}</div> | <div class="width-1-2"> Zusammenfassung: {{#ev:youtube|iV-ysofefkg|460|center|||start=0&end=180}}</div> | ||
<div class="width-1-2"> noch mehr Beispiele: {{#ev:youtube|Gi1Dj4kzL20|460|center}}</div> | <div class="width-1-2"> noch mehr Beispiele: {{#ev:youtube|Gi1Dj4kzL20|460|center|||start=0&end=135}}</div> | ||
</div> | </div> | ||
{{Box|1=Punktprobe|2=Wir können rechnerisch prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt. Dazu setzen wir die Koordinaten des Punktes P(<span style="color:red">x</span>I<span style="color:blue">y</span>) in die Funktionsgleichung <span style="color:blue">f(x)</span> = m<span style="color:red">x</span> + b ein. Der Punkt liegt auf dem Graphen, wenn sich eine wahre Aussage ergibt, die Gleichung also erfüllt ist.|3=Merksatz}} | |||
{{Box|Übung 7: Punktprobe|Prüfe in der folgenden App rechnerisch, ob der Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt.|Üben}} | |||
{{LearningApp|app= ppkr9n4sj20|width=100%|height=400px}} | |||
<br> | |||
<br> | |||
===Fehlende Koordinate eines Punktes der Funktion berechnen=== | ===Fehlende Koordinate eines Punktes der Funktion berechnen=== | ||
Du kannst mithilfe der Funktionsgleichung fehlende Koordinaten berechnen. | Du kannst mithilfe der Funktionsgleichung fehlende Koordinaten berechnen. | ||
1. Möglichkeit: x-Koordinate ist gegeben | '''1. Möglichkeit: <span style="color:red">x</span>-Koordinate ist gegeben'''<br> | ||
Tom und Lisa leihen ein Tretboot für 1,5 Stunden. Wie viel müssen sie bezahlen? | Tom und Lisa leihen ein Tretboot für 1,5 Stunden. Wie viel müssen sie bezahlen? | ||
geg: x = 1,5 und f(x) = 2x+5 | geg: <span style="color:red">x = 1,5</span> und f(x) = 2x+5 | ||
ges: zugehöriger y-Wert | ges: zugehöriger y-Wert | ||
Zeile 272: | Zeile 283: | ||
2. Möglichkeit: y-Koordinate ist gegeben: | '''2. Möglichkeit: <span style="color:blue">y</span>-Koordinate ist gegeben:''' | ||
Tom und Lisa bezahlen 10 €. Wie lange haben sie das Tretboot ausgeliehen? | Tom und Lisa bezahlen 10 €. Wie lange haben sie das Tretboot ausgeliehen?<br> | ||
geg: y = 10 und f(x) = 2x+5 | geg: <span style="color:blue">y = 10</span> und f(x) = 2x+5<br> | ||
ges: zugehörige x-Koordinate | ges: zugehörige x-Koordinate<br> | ||
Setze die <span style="color:blue">y</span>-Koordinate in die Funktionsgleichung ein und löse nach x auf: | Setze die <span style="color:blue">y</span>-Koordinate in die Funktionsgleichung ein und löse nach x auf:<br> | ||
f(x) = 2x + 5 | f(x) = 2x + 5 | ||
Zeile 285: | Zeile 296: | ||
5 = 2<span style="color:red">x</span> |:2 | 5 = 2<span style="color:red">x</span> |:2 | ||
2,5 = <span style="color:red">x</span> | 2,5 = <span style="color:red">x</span> P(<span style="color:red">2,5</span>|<span style="color:blue">10</span>) | ||
Sie haben das Boot für 2,5 Stunden geliehen. | Sie haben das Boot für 2,5 Stunden geliehen.<br> | ||
<br> | |||
<div class="grid"> | |||
<div class="width-1-2"> Zusammenfassung: {{#ev:youtube|iV-ysofefkg|460|center|||start=185&end=409}}</div> | |||
<div class="width-1-2"> noch mehr Beispiele: {{#ev:youtube|Gi1Dj4kzL20|460|center|||start=135&end=302}}</div> | |||
{{Box|Übung | </div> | ||
{{Box|Übung 8: Fehlende Koordinate bestimmen|Bestimme in der folgenden App jeweils die fehlende Koordinate.|Üben}} | |||
{{LearningApp|app=pz6auqgia20|width=100%|heitht=600px}} | |||
{{Box|Übung 9: Fehlende Koordinaten bestimmen und Punktprobe|Löse nun S. 137 Nr. 8 und 9.|Üben}} | |||
{{Box|Übung | |||
<br /> | <br /> | ||
<br> | |||
<br> | |||
===Aufstellen der Funktionsgleichung durch den Punkt P mit m oder b gegeben=== | ===Aufstellen der Funktionsgleichung durch den Punkt P mit m oder b gegeben=== | ||
<br> | |||
{{Box| Übung | {{Box| Übung 10: Aufstellen der Funktionsgleichung | Löse S. 130 Nr. 9 (zeichnerisch UND rechnerisch) und S. 131 Nr. 13. Gegeben ist ein Punkt und die Steigung bzw. der y-Achsenabschnitt b. Wie kannst du vorgehen?|Üben}} | ||
{{Lösung versteckt|1= Die vorangegangenen Übungen zur "Punktprobe" können dir helfen: | {{Lösung versteckt|1= Die vorangegangenen Übungen zur "Punktprobe" können dir helfen: | ||
Zeile 311: | Zeile 322: | ||
Setze die gegebenen Größen ein und löse nach b auf.|2=Tipp zu Nr. 9|3=Verbergen}} | Setze die gegebenen Größen ein und löse nach b auf.|2=Tipp zu Nr. 9|3=Verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|Hilfen bietet das nachfolgende Video:{{#ev:youtube|KnOdPP4gqmc}}|Video mit Beispielaufgaben|Verbergen}} | {{Lösung versteckt|Hilfen bietet das nachfolgende Video:{{#ev:youtube|KnOdPP4gqmc}}|Video mit Beispielaufgaben|Verbergen}} | ||
<br> | |||
<br> | |||
===Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bestimmen=== | ===Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bestimmen=== | ||
Zeile 326: | Zeile 338: | ||
[[Datei:Übersicht Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.png|Übersicht Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen]] | [[Datei:Übersicht Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.png|Übersicht Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen]] | ||
{{Box|Übung | {{LearningApp|app=pu8028csj20|width=100%|height=400px}} | ||
{{Box|Übung 11: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen|Löse S. 137 Nr. 7|Üben}} | |||
{{Lösung versteckt| | {{Lösung versteckt| | ||
{{Lösung versteckt|1=Nullstelle (Schnittpunkt mit der x-Achse): f(x) = 0, also -x+4 = 0 | {{Lösung versteckt|1=Nullstelle (Schnittpunkt mit der x-Achse): f(x) = 0, also -x+4 = 0 | ||
Zeile 371: | Zeile 385: | ||
{{Box|Anwendungsaufgabe 1: Fahrradverleih|[[Datei:Fahrradverleih.png|mini]] | {{Box|Anwendungsaufgabe 1: Fahrradverleih|[[Datei:Fahrradverleih.png|mini]] | ||
Du möchtest im Aktiv-Urlaub ein Fahrrad leihen. | Du möchtest im Aktiv-Urlaub ein Fahrrad leihen. | ||
a) Begründe, dass es sich um eine lineare Funktion handelt. Gib die Funktionsgleichung an und zeichne den Graphen. | a) Begründe, dass es sich um eine lineare Funktion handelt. Gib die Funktionsgleichung an und zeichne den Graphen. | ||
Zeile 382: | Zeile 397: | ||
{{Lösung versteckt|1= Verbergen|2=Tipp zu c)}} | {{Lösung versteckt|1= Verbergen|2=Tipp zu c)}} | ||
{{Box|Anwendungsaufgabe 2: Tandemsprung|[[Datei:Skydiving-297103 1280.png|mini|<small>Bild von Clker-Free-Vector-Images auf Pixabay</small> ]] | {{Box|Anwendungsaufgabe 2: Fahrradtour| [[Datei:Fahrradtour Graph.png|mini]] | ||
Mit den geliehenen Rädern unternehmt zwei Freunde und du eine Fahrradtour. | |||
Um 9:00 Uhr geht es los. | |||
a) Berechne mithilfe des Graphen die durchschnittliche Geschwindigkeit, mit der ihr unterwegs seid. Gib damit die Funktionsgleichung des Graphen an. | |||
b) Um 9:30 Uhr ruft ein weiterer Freund an, ob er noch nachkommen kann. Schafft er es, euch bis 12:00 Uhr einzuholen, wenn er durchschnittlich 20 km/h fährt? Begründe anhand der Zeichnung und mit einer Rechnung. | |||
c) Um 12:00 Uhr macht ihr eine Mittagspause. Wie muss der Graph dann verlaufen?|Üben}} | |||
{{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt|Lies am Graphen ab, wie viele Kilometer nach 1 Stunde (also bis 10:00 Uhr) zurückgelegt wurden. Dies ist die Steigung.|Tipp 1 zu a)|Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Pro Stunde werden 15 km zurückgelegt. Die Funktionsgleichung lautet daher f(x) = 15x, wobei x die Anzahl der Stunden (nach 9:00 Uhr) angibt.|2=Tipp 2 zu a)|3=Verbergen}}|Tipps zu a)|Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt| Zeichne das Schaubild in dein Heft und zeichne einen zweiten Graphen für den Freund ein. Beginne bei 9:30 Uhr und lege in 1 Stunde 20km zurück.|Tipp 1 zu b)|Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= Du benötigst für die Funktionsgleichung die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b. | |||
Die Steigung der Funktion ist m = 20, denn in 1 Stunde werden 20 km zurückgelegt. | |||
Der y-Achsenabschnitt beträgt -10, da der Freund 0,5 Stunden später startet, in denen er 10 km zurückgelegt hätte. | |||
Die Funktionsgleichung lautet f(x) = 20x-10, wobei x die Anzahl der Stunden (nach 9:00 Uhr) angibt. |2=Tipp 2 zu b)|3=Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt| 1= Der Punkt, wann die Freunde sich treffen, ist der Schnittpunkt der beiden Geraden. Hier haben beide Gruppen dieselbe Strecke zurückgelegt, das heißt, sie sind gleich weit gefahren und müssen sich demnach treffen. | |||
Um zu berechnen, wann die Freunde sich treffen, berechne also den Schnittpunkt der Gerden. An dieser Stelle x haben sie dieselben y-Werte, sie sind gleich weit gefahren. Es gilt y = 15x und y=20x-10. | |||
Löse die Gleichung 15x = 20x-10 nach x auf.|2=Tipp 3 zu b)|3=Verbergen}}|Tipps zu b)|Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt| Wenn ihr eine Pause macht, vergeht Zeit, es wird aber keine Strecke zurückgelegt, also verläuft der Graph parallel zur x-Achse.|Tipp zu c)|Verbergen}} | |||
{{Box|Anwendungsaufgabe 3: Tandemsprung|[[Datei:Skydiving-297103 1280.png|mini|<small>Bild von Clker-Free-Vector-Images auf Pixabay</small> ]] | |||
Ein weiteres Angebot im Aktiv-Urlaub ist ein Tandem-Fallschirmsprung. Nach dem Öffnen des Fallschirms misst du mit einem Höhenmesser jede Sekunde deine Höhe über dem Erdboden. | Ein weiteres Angebot im Aktiv-Urlaub ist ein Tandem-Fallschirmsprung. Nach dem Öffnen des Fallschirms misst du mit einem Höhenmesser jede Sekunde deine Höhe über dem Erdboden. | ||
[[Datei:Skydiving Tabelle.png|center]] | [[Datei:Skydiving Tabelle.png|center]] | ||
Zeile 395: | Zeile 438: | ||
d) Denke dir selbst eine Aufgabe zum Fallschirmsprung aus.|Üben}} | d) Denke dir selbst eine Aufgabe zum Fallschirmsprung aus.|Üben}} | ||
{{Lösung versteckt|Beim Zeichnen des Graphen wähle für die x-Achse 1cm für 10 Sekunden und auf der y-Achse für 1cm für 100m.|Tipp zu a)|Verbergen}} | {{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt|Beim Zeichnen des Graphen wähle für die x-Achse 1cm für 10 Sekunden und auf der y-Achse für 1cm für 100m.|Tipp 1 zu a)|Verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Für die Funktionsgleichung benötigst du die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b. Wo findest du dies in der Wertetabelle? | |||
Den y-Achsenabschnitt liest du bei x=0 ab. | |||
Die Steigung m findest du so: Wenn du bei x eine Einheit nach rechts gehst, gehst du m Einheiten nach oben oder unten. Wie groß ist also die Steigung hier?|2=Tipp 2 zu a)|3=Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= f(x) = mx + b; hier ist m = -8 und b = 490, also f(x) = -8x + 490.|2=Tipp 3 zu a)|3=Verbergen}} | |||
|2=Tipps zu a)|3=Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
geg: x=6 Sekunden; f(x) = -8x+490 | geg: x=6 Sekunden; f(x) = -8x+490 | ||
Zeile 401: | Zeile 450: | ||
ges: f(6)|2=Tipp zu b)|3=Verbergen}} | ges: f(6)|2=Tipp zu b)|3=Verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Die Nullstelle ist der Schnittpunkt mit der x-Achse, also gilt f(x) = 0. | |||
[[Datei:Graph Fallschirmsprung.png|mini|center]]|2=Tipp zu c)|3=Verbergen}} | |||
{{Box|Anwendungsaufgabe 4| Löse Buch S.138 Nr. 14 "Tour der Leiden"|Üben}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Die Steigung berechnet sich immer mit m = [[Datei:Steigung m .png|center]] | |||
Berechne also den Höhenunterschied <math>\Delta </math>y und den Horizontalunterschied <math>\Delta </math>x und bestimme damit die Steigung.|2= Tipp 1 zu Nr. 14|3=Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Beispielrechnung: a)·Bourg-d’Oisans·nach·Pied·de·côte: | |||
Höhenunterschied <math>\Delta </math>y = 740m – 720m = 20m; | |||
Horizontalunterschied <math>\Delta </math>x = 1,5km = 1500m; | |||
also ist m = <math>\tfrac{20}{1500}</math> =0,013 = 1,3%|2= Tipp 2 zu Nr. 14|3=Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Berechne die Gesamtsteigung, indem du den gesamten Höhenunterschied <math>\Delta </math>y durch die gesamte Streckenlänge, also den gesamten Horizontalunterschied <math>\Delta </math>x dividierst.|2= Tipp zu Nr. 14 b)|3=Verbergen}} | |||
<br /> | <br /> | ||
{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Startseite|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub}} | {{Fortsetzung|vorher=zurück zur Startseite|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub}} |
Version vom 20. November 2020, 17:52 Uhr
2.1) Lineare Funktionen erkennen und darstellen
Im Aktiv-Urlaub warten verschiedene Aufgaben auf die Klassen.
Die folgenden Erklärungen zu den Aufgaben 1, 2 und 3 zeigen, dass alle Funktionsgleichungen die Form f(x) = mx + b haben und die Funktionsgraphe immer Geraden sind.
Lineare Funktionen erkennen wir also in den verschiedenen Darstellungsmöglichkeiten wie folgt:
Diese Eigenschaften werden in folgendem Lied besungen (hier heißt die Funktionsgleichung f(x) = mx + n (n statt b, du findest in verschiedenen Büchern verschiedene Bezeichnungen). Du musst noch nicht jeden Zusammenhang, der hier genannt wird, verstehen. Vieles davon erarbeitest du auf den nächsten Seiten.
2.2) Zusammenhang zwischen Funktionsgleichung und Funktionsgraph
f(x) = mx + b Bedeutung von m und b für den Funktionsgraphen
Damit du einen Eindruck von der Bedeutung der Parameter m (Steigung) und b (y-Achsenabschnitt) der Funktionsgleichung linearer Funktionen f(x) = mx + b erhältst, verändere in der folgenden Animation mithilfe der Schieberegler die Größe von m und b. Notiere deine Beobachtungen stichpunktartig.
Übertrage die Merksätze in dein Heft:
Anschaulich vorstellen kannst du dir, dass die Funktion steigt, wenn der Wanderer den Berg hochsteigen muss.
Fällt die Funktion, "fällt" der Wanderer bergab.
Die Steigung m linearer Funktionen
Untersuche mithilfe der Animation in GeoGebra die Steigung von Geraden. Du kannst mit den Schiebereglern m verändern. Außerdem kannst du das Steigungsdreieck durch Verschieben der Punkte A und B verändern. Beobachte, was geschieht. Probiere aus.
Beobachtung: Die Steigung m einer linearen Funktion können wir mit einem Steigungsdreieck ermitteln und darstellen. Dazu zeichnen wir von einem beliebigen Punkt auf der Geraden ein Dreieck zu einem anderen Punkt auf der Geraden, bei dem die eine Seite parallel zur x-Achse liegt und die andere parallel zur y-Achse. Gehen wir dabei genau 1 Einheit in x-Richtung, steigt (oder fällt) der y-Wert immer um den Wert m, die Steigung.
Egal, wie das Steigungsdreieck gezeichnet wird, der Quotient aus bleibt immer gleich, dies ist die Steigung m.
Schau dazu das nachfolgende Video zu Steigungsdreiecken an:
Von der Geraden zu Funktionsgleichung
Und nun noch einmal übersichtlich als Bild:
Öffne das GeoGebra-Applet zu S. 129 Nr. 2 und verändere den Wert des Schiebereglers b.
Öffne das GeoGebra-Applet zu S. 129 Nr. 4 und verändere den Wert des Schiebereglers m. Stelle m so ein, dass der Graph g1, g2,... entspricht. Die Funktionsgleichung wird dir angezeigt.
https://www.geogebra.org/classic/qfasm3egNutze auch hier das GeoGebra-Applet, um die Graphen nachzustellen und die Funktionsgleichung abzulesen
https://www.geogebra.org/classic/w8n4uabh
Von der Funktionsgleichung zur Geraden
Dabei gehst du ähnlich vor, wie beim Bestimmen der Funktionsgleichung.
1. Schritt: Zeichne den y-Achsenabschnitt b ein: P(0|b)
2. Schritt: Zeichne das Steigungsdreieck ein. Starte im Punkt P. Der Nenner gibt an, wie viele Einheiten du nach rechts gehst, der Zähler, wie viele Einheiten nach oben (unten).
3. Schritt: Zeichne die Gerade durch die so erhaltenen Punkte.
Die Bilder zeigen das Vorgehen für die Funktionsgleichung f(x) = x - 1.
Übertrage das Beispiel mit den Anmerkungen in dein Heft!
Die Videos zeigen das Vorgehen noch einmal:
Zeichne zuerst den y-Achsenabschnitt b ein, von hier aus zeichne das Steigungsdreieck. Prüfe deine Zeichnung mit GeoGebra.
https://www.geogebra.org/graphingStatt der Partnerarbeit erstelle eine Learningapp, in der den von dir gezeichneten Graphen die entsprechende Funktionsgleichung zugeordnet werden soll.
Wenn du für die Steigung einen Bruch wählst, kannst du ihn bei den LearningApps auch so schreiben, wie du es aus dem Unterricht kennst, indem du statt 2/3 folgendes schreibst: $$\frac{2}{3}$$
2.3) Zusammenhang zwischen Wertetabelle und Funktionsgleichung
Wiederholung: Erstellen einer Wertetabelle mithilfe der Funktionsgleichung
Du hast in den Einführungsbeispielen schon Wertetabellen erstellt. Schauen wir uns das Beispiel zum Bootsverleih noch einmal an. Die Funktionsgleichung lautet f(x) = 2x + 5
Um nun eine Wertetabelle zu erstellen, setze für x verschiedene Werte ein und berechne den zugehörigen y-Wert, den Funktionswert. Erinnerung: Werte von Termen berechnen (7. Klasse)
Das Video fasst das Vorgehen noch einmal zusammen:
Gib die Funktionsgleichungen bei GeoGebra ein und prüfe, ob die von dir errechneten Punkte auf dem Graphen der Funktion liegen.
https://www.geogebra.org/graphing
Punktprobe: Liegt der Punkt auf der Geraden?
Bei der Punktprobe entscheidest du rechnerisch, ob ein Punkt auf dem Funktionsgraphen liegt.
Tom und Lisa leihen für 3 Stunden ein Tretboot. Der Bootsverleiher rechnet den Preis 10€ aus. Kann das sein?
geg: Punkt A(3|10); Funktion f(x) = 2x + 5
ges: Liegt der Punkt A auf dem Graphen der Funktion?
In der Zeichnung erkennen wir sofort, dass dies nicht der Fall ist.
Gegeben ist die Funktionsgleichung y = 2x + 5. Liegt der Punkt A(3|10) auf dem Graphen der Funktion?
(Hier ist es leichter y statt f(x) zu schreiben, der Zusammenhang zu den Koordinaten des Punktes sind dann leichter zu erkennen.)
Idee: Setze die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung ein und prüfe, ob die Gleichung erfüllt wird.
y= 2x + 5 A(3|10)
10 = 2·3 + 5
10 = 6 + 5
10 = 11 (f)
Es ergibt sich eine falsche Aussage, die Gleichung ist nicht erfüllt, also liegt der Punkt nicht auf dem Graphen. Wir prüfen ebenso, ob der Punkt B(4|13) auf der Geraden liegt:
Punktprobe:
y = 2x + 5 B(4|13)
13 = 2·4 + 5
13 = 8 + 5
13 = 13 (w)
Es ergibt sich eine wahre Aussage, die Gleichung ist erfüllt, also liegt der Punkt auf dem Graphen.
Das folgende Video fasst noch einmal zusammen:
Fehlende Koordinate eines Punktes der Funktion berechnen
Du kannst mithilfe der Funktionsgleichung fehlende Koordinaten berechnen.
1. Möglichkeit: x-Koordinate ist gegeben
Tom und Lisa leihen ein Tretboot für 1,5 Stunden. Wie viel müssen sie bezahlen?
geg: x = 1,5 und f(x) = 2x+5
ges: zugehöriger y-Wert
Setze die x-Koordinate in die Funktionsgleichung ein und berechne: f(x) = 2x + 5
y = 2·1,5 + 5
= 3 + 5
= 8 P(1,5|8)
Sie müssen 8€ bezahlen.
2. Möglichkeit: y-Koordinate ist gegeben:
Tom und Lisa bezahlen 10 €. Wie lange haben sie das Tretboot ausgeliehen?
geg: y = 10 und f(x) = 2x+5
ges: zugehörige x-Koordinate
Setze die y-Koordinate in die Funktionsgleichung ein und löse nach x auf:
f(x) = 2x + 5
10 = 2x + 5 |-5
5 = 2x |:2
2,5 = x P(2,5|10)
Sie haben das Boot für 2,5 Stunden geliehen.
Aufstellen der Funktionsgleichung durch den Punkt P mit m oder b gegeben
Die vorangegangenen Übungen zur "Punktprobe" können dir helfen:
Sezte in die allgemeine Funktionsgleichung f(x) = mx + b die gegebenen Größen ein und löse nach der gesuchten Größe auf.Zu Nr. 9: Wenn die Gerade parallel zur Geraden von f(x)= 1,5x + 1 verläuft, haben die Geraden dieselbe Steigung! Also ist m = 1,5 gegeben. Außerdem hast du den Punkt P(2I6) gegeben. Gesucht ist b.
Setze die gegebenen Größen ein und löse nach b auf.
Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bestimmen
Nullstelle (Schnittpunkt mit der x-Achse): f(x) = 0, also -x+4 = 0
y-Achsenabschnitt (Schnittpunkt mit der y-Achse): x = 0, also f(0) = -0+4
Prüfe dein Ergebnis mithilfe von GeoGebra https://www.geogebra.org/graphing . Gib dort die Funktionsgleichung ein und vergleiche deine rechnerischen Lösungen mit dem Graphen. Wo schneidet der Graph die Koordinatenachsen?2.4) Lineare Funktionen im Aktivurlaub und andere Anwendungen
Es gibt Situationen in unserem Alltag, in denen sich Probleme oder Fragen mithilfe von linearen Funktionen beschreiben und lösen lassen. Solche Aufgaben nennen wir "Anwendungsaufgaben". Die Alltagssituation wird in ein mathematisches Modell übertragen, mit unserem Wissen zu den linearen Funktionen mathematisch gelöst und diese Lösung dann auf die Situation bezogen. Die nachfolgende Struktur hilft dir dabei:
Die Zuordnung lautet Zeit [Stunden] Kosten [€]
x gibt also die Zeit an, f(x) die Kosten.
Du benötigst für die Funktionsgleichung die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b.
Die Steigung der Funktion ist m = 20, denn in 1 Stunde werden 20 km zurückgelegt.
Der y-Achsenabschnitt beträgt -10, da der Freund 0,5 Stunden später startet, in denen er 10 km zurückgelegt hätte.
Die Funktionsgleichung lautet f(x) = 20x-10, wobei x die Anzahl der Stunden (nach 9:00 Uhr) angibt.Der Punkt, wann die Freunde sich treffen, ist der Schnittpunkt der beiden Geraden. Hier haben beide Gruppen dieselbe Strecke zurückgelegt, das heißt, sie sind gleich weit gefahren und müssen sich demnach treffen.
Um zu berechnen, wann die Freunde sich treffen, berechne also den Schnittpunkt der Gerden. An dieser Stelle x haben sie dieselben y-Werte, sie sind gleich weit gefahren. Es gilt y = 15x und y=20x-10.
Löse die Gleichung 15x = 20x-10 nach x auf.
Für die Funktionsgleichung benötigst du die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b. Wo findest du dies in der Wertetabelle? Den y-Achsenabschnitt liest du bei x=0 ab.
Die Steigung m findest du so: Wenn du bei x eine Einheit nach rechts gehst, gehst du m Einheiten nach oben oder unten. Wie groß ist also die Steigung hier?geg: x=6 Sekunden; f(x) = -8x+490
ges: f(6)
Beispielrechnung: a)·Bourg-d’Oisans·nach·Pied·de·côte:
Höhenunterschied y = 740m – 720m = 20m;
Horizontalunterschied x = 1,5km = 1500m;
also ist m = =0,013 = 1,3%