Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2) Lineare Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen
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==2.2) Zusammenhang zwischen Funktionsgleichung und Funktionsgraph== | ==2.2) Zusammenhang zwischen Funktionsgleichung und Funktionsgraph== | ||
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Damit du einen Eindruck von der Bedeutung der Parameter m (Steigung) und b (y-Achsenabschnitt) der Funktionsgleichung linearer Funktionen f(x) = mx + b erhältst, verändere in der folgenden Animation mithilfe der Schieberegler die Größe von m und b. Notiere deine Beobachtungen stichpunktartig.<ggb_applet id="gdvednbk" width="800"" height="500" /> | Damit du einen Eindruck von der Bedeutung der Parameter m (Steigung) und b (y-Achsenabschnitt) der Funktionsgleichung linearer Funktionen f(x) = mx + b erhältst, verändere in der folgenden Animation mithilfe der Schieberegler die Größe von m und b. Notiere deine Beobachtungen stichpunktartig.<ggb_applet id="gdvednbk" width="800"" height="500" /> | ||
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===Von der Funktionsgleichung zur Geraden=== | ===Von der Funktionsgleichung zur Geraden=== | ||
{{Box | {{Box|Und nun umgekehrt...|Zeichne zu einer Funktionsgleichung den Graphen.|Üben}} | ||
Dabei gehst du ähnlich vor, wie beim Bestimmen der Funktionsgleichung. | Dabei gehst du ähnlich vor, wie beim Bestimmen der Funktionsgleichung. | ||
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In der Zeichnung erkennen wir sofort, dass dies nicht der Fall ist. | In der Zeichnung erkennen wir sofort, dass dies nicht der Fall ist. | ||
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Können wir das auch rechnerisch prüfen? | Können wir das auch rechnerisch prüfen? | ||
Gegeben ist die Funktionsgleichung <span style="color:blue">y</span> = 2<span style="color:red">x</span> + 5. Liegt der Punkt A(<span style="color:red">3</span>|<span style="color:blue">10</span>) auf dem Graphen der Funktion? | Gegeben ist die Funktionsgleichung <span style="color:blue">y</span> = 2<span style="color:red">x</span> + 5. Liegt der Punkt A(<span style="color:red">3</span>|<span style="color:blue">10</span>) auf dem Graphen der Funktion? | ||
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<span style="color:blue">y</span>= 2<span style="color:red">x</span> + 5 A(<span style="color:red">3</span>|<span style="color:blue">10</span>) | <span style="color:blue">y</span>= 2<span style="color:red">x</span> + 5 A(<span style="color:red">3</span>|<span style="color:blue">10</span>) | ||
<span style="color:blue">10</span> = 2·<span style="color:red">3</span> + 5 | <span style="color:blue">10</span> = 2·<span style="color:red">3</span> + 5 | ||
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10 = 11 <b>(f)</b> | 10 = 11 <b>(f)</b> | ||
Es ergibt sich eine <b>falsche</b> Aussage, die Gleichung ist nicht erfüllt, also <b>liegt</b> der Punkt <b>nicht/b> auf dem Graphen. | Es ergibt sich eine <b>falsche</b> Aussage, die Gleichung ist nicht erfüllt, also <b>liegt</b> der Punkt<b>nicht</b> auf dem Graphen. | ||
Version vom 15. April 2020, 11:18 Uhr
2.1) Lineare Funktionen erkennen und darstellen
Im Aktiv-Urlaub warten verschiedene Aufgaben auf die Klassen.
Die folgenden Erklärungen zu den Aufgaben 1, 2 und 3 zeigen, dass alle Funktionsgleichungen die Form f(x) = mx + b haben und die Funktionsgraphe immer Geraden sind.
Lineare Funktionen erkennen wir also in den verschiedenen Darstellungsmöglichkeiten wie folgt:
Diese Eigenschaften werden in folgendem Lied besungen (hier heißt die Funktionsgleichung f(x) = mx + n (n statt b, du findest in verschiedenen Büchern verschiedene Bezeichnungen). Du musst noch nicht jeden Zusammenhang, der hier genannt wird, verstehen. Vieles davon erarbeitest du auf den nächsten Seiten.
2.2) Zusammenhang zwischen Funktionsgleichung und Funktionsgraph
f(x) = mx + b Bedeutung von m und b für den Funktionsgraphen
Damit du einen Eindruck von der Bedeutung der Parameter m (Steigung) und b (y-Achsenabschnitt) der Funktionsgleichung linearer Funktionen f(x) = mx + b erhältst, verändere in der folgenden Animation mithilfe der Schieberegler die Größe von m und b. Notiere deine Beobachtungen stichpunktartig.
Übertrage die Merksätze in dein Heft:
Anschaulich vorstellen kannst du dir, dass die Funktion steigt, wenn der Wanderer den Berg hochsteigen muss.
Fällt die Funktion, "fällt" der Wanderer bergab.
Die Steigung m linearer Funktionen
Untersuche mithilfe der Animation in GeoGebra die Steigung von Geraden. Du kannst mit den Schiebereglern m verändern. Beobachte, was geschieht. Welche Bedeutung haben die verschiedenen Dreiecke? Probiere aus.
Beobachtung: Die Steigung m einer linearen Funktion können wir mit einem Steigungsdreieck ermitteln und darstellen. Dazu zeichnen wir von einem beliebigen Punkt auf der Geraden ein Dreieck zu einem anderen Punkt auf der Geraden, bei dem die eine Seite parallel zur x-Achse liegt und die andere parallel zur y-Achse. Gehen wir dabei genau 1 Einheit in x-Richtung, steigt (oder fällt) der y-Wert immer um den Wert m, die Steigung.
Egal, wie das Steigungsdreieck gezeichnet wird, der Quotient aus 
bleibt immer gleich, dies ist die Steigung m.
Schau dazu das nachfolgende Video zu Steigungsdreiecken an:
Von der Geraden zu Funktionsgleichung
Und nun noch einmal übersichtlich als Bild:
schwer: m ist ein Bruch
Von der Funktionsgleichung zur Geraden
Dabei gehst du ähnlich vor, wie beim Bestimmen der Funktionsgleichung. 1. Schritt: Zeichne den y-Achsenabschnitt b ein: P(0|b) 2. Schritt: Zeichne das Steigungsdreieck ein. Starte im Punkt P. Der Nenner gibt an, wie viele Einheiten du nach rechts gehst, der Zähler, wie viele Einheiten nach oben (unten). 3. Schritt: Zeichne die Gerade durch die so erhaltenen Punkte.
Die Bilder zeigen das Vorgehen für die Funktionsgleichung f(x) = x - 1.
Die Videos zeigen das Vorgehen noch einmal:
2.3) Zusammenhang zwischen Wertetabelle und Funktionsgleichung
Wiederholung: Erstellen einer Wertetabelle mithilfe der Funktionsgleichung
Du hast in den Einführungsbeispielen schon Wertetabellen erstellt. Schauen wir uns das Beispiel zum Bootsverleih noch einmal an. Die Funktionsgleichung lautet f(x) = 2x + 5
Um nun eine Wertetabelle zu erstellen, setze für x verschiedene Werte ein und berechne den zugehörigen y-Wert, den Funktionswert. Erinnerung: Werte von Termen berechnen (7. Klasse)
Das Video fasst das Vorgehen noch einmal zusammen:
Punktprobe: Liegt der Punkt auf der Geraden?
Bei der Punktprobe entscheidest du rechnerisch, ob ein Punkt auf dem Funktionsgraphen liegt.
Tom und Lisa leihen für 3 Stunden ein Tretboot. Der Bootsverleiher rechnet den Preis 10€ aus. Kann das sein? geg: Punkt A(3|10); Funktion f(x) = 2x + 5 ges: Liegt der Punkt A auf dem Graphen der Funktion?
In der Zeichnung erkennen wir sofort, dass dies nicht der Fall ist.
_%3D_2x_%2B_5_Punkt_A_liegt_nicht_auf_dem_Graphen.png)
Können wir das auch rechnerisch prüfen?
Gegeben ist die Funktionsgleichung y = 2x + 5. Liegt der Punkt A(3|10) auf dem Graphen der Funktion?
(Hier ist es leichter y statt f(x) zu schreiben, der Zusammenhang zu den Koordinaten des Punktes sind dann leichter zu erkennen.)
Idee: Setze die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung ein und prüfe, ob die Gleichung erfüllt wird.
y= 2x + 5 A(3|10)
10 = 2·3 + 5
10 = 6 + 5
10 = 11 (f)
Es ergibt sich eine falsche Aussage, die Gleichung ist nicht erfüllt, also liegt der Punktnicht auf dem Graphen.
