Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2) Lineare Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen
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Damit du einen Eindruck von der Bedeutung der Parameter m (Steigung) und b (y-Achsenabschnitt) der Funktionsgleichung linearer Funktionen f(x) = mx + b erhältst, verändere in der folgenden Animation mithilfe der Schieberegler die Größe von m und b. Notiere deine Beobachtungen stichpunktartig.<ggb_applet id="gdvednbk" width="800"" height="500" /> | |||
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{{Box| Die Bedeutung von m: Steigende und fallende Geraden|Wir unterscheiden steigende und fallende Geraden. Eine Gerade "steigt", wenn bei steigenden x-Werten auch die y-Werte steigen. Für die Steigung m gilt also: | {{Box| Die Bedeutung von m: Steigende und fallende Geraden|Wir unterscheiden steigende und fallende Geraden. Eine Gerade "steigt", wenn bei steigenden x-Werten auch die y-Werte steigen. Für die Steigung m gilt also: | ||
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Anschaulich vorstellen kannst du dir, dass die Funktion steigt, wenn der Wanderer den Berg hochsteigen muss. | Anschaulich vorstellen kannst du dir, dass die Funktion steigt, wenn der Wanderer den Berg hochsteigen muss. | ||
Fällt die Funktion, "fällt" der Wanderer bergab. | Fällt die Funktion, "fällt" der Wanderer bergab. | ||
{{Box|Die Bedeutung von b: y-Achsenabschnitt| Die Gerade zu f(x) = mx + b schneidet die y-Achse im Punkt P(0|b). b heißt y-Achsenabschnitt.|Merksatz}} | |||
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{{Box|Übung|Bearbeite die nachfolgenden Apps um dein Wissen über steigende und fallende Geraden und die Bedeutung von m in der Funktionsgleichung.|Üben}} | {{Box|Übung|Bearbeite die nachfolgenden Apps um dein Wissen über steigende und fallende Geraden und die Bedeutung von m in der Funktionsgleichung.|Üben}} | ||
Version vom 15. April 2020, 08:22 Uhr
2.1) Lineare Funktionen erkennen und darstellen
Im Aktiv-Urlaub warten verschiedene Aufgaben auf die Klassen.
Die folgenden Erklärungen zu den Aufgaben 1, 2 und 3 zeigen, dass alle Funktionsgleichungen die Form f(x) = mx + b haben und die Funktionsgraphe immer Geraden sind.
Lineare Funktionen erkennen wir also in den verschiedenen Darstellungsmöglichkeiten wie folgt:
Diese Eigenschaften werden in folgendem Lied besungen (hier heißt die Funktionsgleichung f(x) = mx + n (n statt b, du findest in verschiedenen Büchern verschiedene Bezeichnungen). Du musst noch nicht jeden Zusammenhang, der hier genannt wird, verstehen. Vieles davon erarbeitest du auf den nächsten Seiten.
2.2) Zusammenhang zwischen Funktionsgleichung und Funktionsgraph
f(x) = mx + b Bedeutung von m und b für den Funktionsgraphen
Damit du einen Eindruck von der Bedeutung der Parameter m (Steigung) und b (y-Achsenabschnitt) der Funktionsgleichung linearer Funktionen f(x) = mx + b erhältst, verändere in der folgenden Animation mithilfe der Schieberegler die Größe von m und b. Notiere deine Beobachtungen stichpunktartig.
Übertrage die Merksätze in dein Heft:
Anschaulich vorstellen kannst du dir, dass die Funktion steigt, wenn der Wanderer den Berg hochsteigen muss. Fällt die Funktion, "fällt" der Wanderer bergab.
Die Steigung m linearer Funktionen
Untersuche mithilfe der Animation in GeoGebra die Steigung von Geraden. Du kannst mit den Schiebereglern m verändern. Beobachte, was geschieht. Welche Bedeutung haben die verschiedenen Dreiecke? Probiere aus.
Beobachtung: Die Steigung m einer linearen Funktion können wir mit einem Steigungsdreieck ermitteln und darstellen. Dazu zeichnen wir von einem beliebigen Punkt auf der Geraden ein Dreieck zu einem anderen Punkt auf der Geraden, bei dem die eine Seite parallel zur x-Achse liegt und die andere parallel zur y-Achse. Gehen wir dabei genau 1 Einheit in x-Richtung, steigt (oder fällt) der y-Wert immer um den Wert m, die Steigung.
Egal, wie das Steigungsdreieck gezeichnet wird, der Quotient aus 
bleibt immer gleich, dies ist die Steigung m.
Schau dazu das nachfolgende Video zu Steigungsdreiecken an:
Und nun noch einmal übersichtlich als Bild:
schwer: m ist ein Bruch
Vorlage:Box: Und nun umgekehrt...
Dabei gehst du ähnlich vor, wie beim Bestimmen der Funktionsgleichung. 1. Schritt: Zeichne den y-Achsenabschnitt b ein: P(0|b) 2. Schritt: Zeichne das Steigungsdreieck ein. Starte im Punkt P. Der Nenner gibt an, wie viele Einheiten du nach rechts gehst, der Zähler, wie viele Einheiten nach oben (unten). 3. Schritt: Zeichne die Gerade durch die so erhaltenen Punkte.
Die Bilder zeigen das Vorgehen für die Funktionsgleichung f(x) = x - 1.
Die Videos zeigen das Vorgehen noch einmal:
