Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren 2.0/Quadratische Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen
Aus ZUM Projektwiki
Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung |
Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung |
||
Zeile 244: | Zeile 244: | ||
{{Lösung versteckt| 1=Überlege dir auf welcher Höhe der Frosch ins Wasser taucht. | 2=Tipp 1 | {{Lösung versteckt| 1=Überlege dir auf welcher Höhe der Frosch ins Wasser taucht. | 2=Tipp 1 | 3=Schließen}} | ||
{{Lösung versteckt| 1=Bei diesem Aufgabenteil werden die Nullstellen der Funktion gesucht. An einer dieser Nullstellen taucht der Frosch nämlich ins Wasser ein. Überlege dir, welche Nullstelle im Anwendungskontext Sinn ergibt. Falls du Probleme hast, die Nullstellen einer quadratischen Funktion zu bestimmen, sieh dir Aufgabe 6 an. | 2=Tipp 2 | {{Lösung versteckt| 1=Bei diesem Aufgabenteil werden die Nullstellen der Funktion gesucht. An einer dieser Nullstellen taucht der Frosch nämlich ins Wasser ein. Überlege dir, welche Nullstelle im Anwendungskontext Sinn ergibt. Falls du Probleme hast, die Nullstellen einer quadratischen Funktion zu bestimmen, sieh dir Aufgabe 6 an. | 2=Tipp 2 | 3=Schließen}} | ||
{{Lösung versteckt| 1=1) Nullstellen berechnen durch quadratische Ergänzung | {{Lösung versteckt| 1=1) Nullstellen berechnen durch quadratische Ergänzung | ||
Zeile 291: | Zeile 291: | ||
| 2=Lösung | | 2=Lösung | 3=Schließen}} | ||
'''c)''' Zeichne die Flugbahn des Frosches in dein Heft. | '''c)''' Zeichne die Flugbahn des Frosches in dein Heft. | ||
{{Lösung versteckt| 1=Kennst du nicht bereits Punkte, die auf dem Graphen der Funktion liegen? Überlege dir, welche Punkte du bereits berechnet hast und welche du aus den beiden Darstellungsformen der Funktion (Normalform und Scheitelpunktform) ablesen kannst. | 2=Tipp 1 | {{Lösung versteckt| 1=Kennst du nicht bereits Punkte, die auf dem Graphen der Funktion liegen? Überlege dir, welche Punkte du bereits berechnet hast und welche du aus den beiden Darstellungsformen der Funktion (Normalform und Scheitelpunktform) ablesen kannst. | 2=Tipp 1 | 3=Schließen}} | ||
{{Lösung versteckt| 1=Zeichne zunächst den Scheitelpunkt <math>S=(d|e)</math>, den y-Achsenabschnitt <math>Y=(0|c)</math> und die Nullstelle <math>N=(x_1|0)</math> ein. | {{Lösung versteckt| 1=Zeichne zunächst den Scheitelpunkt <math>S=(d|e)</math>, den y-Achsenabschnitt <math>Y=(0|c)</math> und die Nullstelle <math>N=(x_1|0)</math> ein. | ||
Lege danach eine Wertetabelle an und berechne weitere Punkte des Funktionsgraphen. | 2=Tipp 2 | Lege danach eine Wertetabelle an und berechne weitere Punkte des Funktionsgraphen. | 2=Tipp 2 | 3=Schließen}} | ||
{{Lösung versteckt| 1= | {{Lösung versteckt| 1= | ||
Zeile 306: | Zeile 306: | ||
Beachte, dass die Flugbahn erst mit dem Absprung des Frosches beginnt und mit dem Auftreffen des Frosches auf der Wasseroberfläche endet. | Beachte, dass die Flugbahn erst mit dem Absprung des Frosches beginnt und mit dem Auftreffen des Frosches auf der Wasseroberfläche endet. | ||
Auf der x-Achse trägst du die Sprungweite des Frosches in Zentimetern ab, auf der y-Achse die Höhe des Frosches in Zentimetern. | 2=Lösung | Auf der x-Achse trägst du die Sprungweite des Frosches in Zentimetern ab, auf der y-Achse die Höhe des Frosches in Zentimetern. | 2=Lösung | 3=Schließen}} | ||
|3=Arbeitsmethode}} | |3=Arbeitsmethode}} | ||
Zeile 318: | Zeile 318: | ||
{{Lösung versteckt| 1=Überlege dir, was du benötigst, um eine quadratische Funktion aufstellen zu können. |2=Tipp 1 | {{Lösung versteckt| 1=Überlege dir, was du benötigst, um eine quadratische Funktion aufstellen zu können. |2=Tipp 1|3=Schließen}} | ||
{{Lösung versteckt| 1=Stelle mithilfe der angegebenen Punkte drei quadratische Gleichungen (<math>ax^2+bx+c=d</math>) auf, indem du die Punkte in die allgemeine Form einsetzt! Welche von den Variablen <math>a, b, c</math> kannst du bereits ablesen? Und wie könntest du die anderen beiden Variablen berechnen? |2=Tipp 2 | {{Lösung versteckt| 1=Stelle mithilfe der angegebenen Punkte drei quadratische Gleichungen (<math>ax^2+bx+c=d</math>) auf, indem du die Punkte in die allgemeine Form einsetzt! Welche von den Variablen <math>a, b, c</math> kannst du bereits ablesen? Und wie könntest du die anderen beiden Variablen berechnen? |2=Tipp 2 |3=Schließen}} | ||
{{Lösung versteckt| 1=1) Lineares Gleichungssystem aufstellen | {{Lösung versteckt| 1=1) Lineares Gleichungssystem aufstellen | ||
Zeile 379: | Zeile 379: | ||
</math> | </math> | ||
|2=Lösung | |2=Lösung | 3=Schließen}} | ||
'''b)''' Wie hoch springt der Sportler? Und in welcher Entfernung vom Absprungspunkt erreicht er seinen höchsten Punkt? | '''b)''' Wie hoch springt der Sportler? Und in welcher Entfernung vom Absprungspunkt erreicht er seinen höchsten Punkt? | ||
{{Lösung versteckt| 1=Du möchtest den Punkt berechnen, an dem der Körperschwerpunkt des Sportlers am höchsten ist. Die angegebene Funktion beschreibt eine nach unten geöffnete Parabel. Überlege dir, wo sich der höchste Punkt einer solchen Parabel befindet und wie man ihn berechnet. | 2=Tipp 1 | {{Lösung versteckt| 1=Du möchtest den Punkt berechnen, an dem der Körperschwerpunkt des Sportlers am höchsten ist. Die angegebene Funktion beschreibt eine nach unten geöffnete Parabel. Überlege dir, wo sich der höchste Punkt einer solchen Parabel befindet und wie man ihn berechnet. | 2=Tipp 1 | 3=Schließen}} | ||
{{Lösung versteckt| 1=Der Körperschwerpunkt des Sportlers erreicht seinen höchsten Punkt am Scheitelpunkt der Funktion. Um den Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion ablesen zu können, musst du diese in Scheitelpunktform bringen. Du hast Probleme, die Funktion in Scheitelpunktform umzuwandeln? Aufgabe … zeigt dir genau, wie es funktioniert. | 2=Tipp 2 | {{Lösung versteckt| 1=Der Körperschwerpunkt des Sportlers erreicht seinen höchsten Punkt am Scheitelpunkt der Funktion. Um den Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion ablesen zu können, musst du diese in Scheitelpunktform bringen. Du hast Probleme, die Funktion in Scheitelpunktform umzuwandeln? Aufgabe … zeigt dir genau, wie es funktioniert. | 2=Tipp 2 | 3=Schließen}} | ||
{{Lösung versteckt| 1=1) Umwandlung in Scheitelpunktform | {{Lösung versteckt| 1=1) Umwandlung in Scheitelpunktform | ||
Zeile 410: | Zeile 410: | ||
Nach <math>0.8m</math> erreicht der Sportler seinen höchsten Punkt. Er befindet sich dann auf einer Höhe von <math>1.95m</math>. | Nach <math>0.8m</math> erreicht der Sportler seinen höchsten Punkt. Er befindet sich dann auf einer Höhe von <math>1.95m</math>. | ||
|2=Lösung | |2=Lösung | 3=Schließen}} | ||
'''c)''' Hinter der Latte befindet sich eine <math>15cm</math> hohe Matte. In welcher Entfernung zum Absprungsort landet der Sportler auf der Matte? | '''c)''' Hinter der Latte befindet sich eine <math>15cm</math> hohe Matte. In welcher Entfernung zum Absprungsort landet der Sportler auf der Matte? | ||
{{Lösung versteckt| 1=Überlege dir an welcher Stelle du die <math>15cm</math> in deine Funktionsgleichung einsetzen musst. Und welche Variable musst du jetzt noch berechnen? | 2=Tipp 1 | {{Lösung versteckt| 1=Überlege dir an welcher Stelle du die <math>15cm</math> in deine Funktionsgleichung einsetzen musst. Und welche Variable musst du jetzt noch berechnen? | 2=Tipp 1 | 3=Schließen}} | ||
{{Lösung versteckt| 1=Die <math>15cm</math> beschreiben einen Funktionswert, also <math>g(x)=0.15</math>. Um herauszufinden, an welchem Punkt der Sportler auf der Matte landet, musst du die Gleichung nun nach <math>x</math> auflösen. | 2=Tipp 2 | {{Lösung versteckt| 1=Die <math>15cm</math> beschreiben einen Funktionswert, also <math>g(x)=0.15</math>. Um herauszufinden, an welchem Punkt der Sportler auf der Matte landet, musst du die Gleichung nun nach <math>x</math> auflösen. | 2=Tipp 2 | 3=Schließen}} | ||
{{Lösung versteckt| 1= 1) Quadratische Funktion mit <math>y=0.15</math> gleichsetzen und nach <math>x</math> auflösen | {{Lösung versteckt| 1= 1) Quadratische Funktion mit <math>y=0.15</math> gleichsetzen und nach <math>x</math> auflösen | ||
Zeile 443: | Zeile 443: | ||
Da wir davon ausgehen können, dass der Sportler nach vorne springt, ergibt nur <math>x_1=2</math> Sinn. Der Sportler landet also in einer Entfernung von <math>2m</math> zum Absprungspunkt auf der Matte. | Da wir davon ausgehen können, dass der Sportler nach vorne springt, ergibt nur <math>x_1=2</math> Sinn. Der Sportler landet also in einer Entfernung von <math>2m</math> zum Absprungspunkt auf der Matte. | ||
|2=Lösung | |2=Lösung | 3=Schließen}} | ||
'''d)''' Bei einem optimalen Sprung liegt der Scheitelpunkt genau über der Latte. Der Abstand zur Latte muss mindestens <math>5cm</math> betragen, damit diese nicht gerissen wird. Wir gehen davon aus, dass unser Sportler einen optimalen Sprung getätigt hat, d.h. die Latte war <math>0.8m</math> vom Absprungsort entfernt und hatte eine Höhe von <math>1.88m</math>. Hätte der Sportler es auch noch über die Latte geschafft, ohne sie zu reißen, wenn er <math>0.2m</math> früher abgesprungen wäre? | '''d)''' Bei einem optimalen Sprung liegt der Scheitelpunkt genau über der Latte. Der Abstand zur Latte muss mindestens <math>5cm</math> betragen, damit diese nicht gerissen wird. Wir gehen davon aus, dass unser Sportler einen optimalen Sprung getätigt hat, d.h. die Latte war <math>0.8m</math> vom Absprungsort entfernt und hatte eine Höhe von <math>1.88m</math>. Hätte der Sportler es auch noch über die Latte geschafft, ohne sie zu reißen, wenn er <math>0.2m</math> früher abgesprungen wäre? | ||
{{Lösung versteckt| 1=Überlege dir, was die <math>0.2m</math> für den von dir aufgestellten Funktionsterm bedeuten. Musst du jetzt nochmal einen neuen Funktionsterm aufstellen oder kannst du deinen alten vielleicht geschickt anpassen? |2=Tipp 1 | {{Lösung versteckt| 1=Überlege dir, was die <math>0.2m</math> für den von dir aufgestellten Funktionsterm bedeuten. Musst du jetzt nochmal einen neuen Funktionsterm aufstellen oder kannst du deinen alten vielleicht geschickt anpassen? |2=Tipp 1 | 3=Schließen}} | ||
{{Lösung versteckt| 1=Du willst den Funktionsgraphen deines Funktionsterms entlang der x-Achse um <math>0.2</math> nach links verschieben. Was musst du hierfür tun? | 2=Tipp 2 | {{Lösung versteckt| 1=Du willst den Funktionsgraphen deines Funktionsterms entlang der x-Achse um <math>0.2</math> nach links verschieben. Was musst du hierfür tun? | 2=Tipp 2 | 3=Schließen}} | ||
{{Lösung versteckt| 1= 1) Verschiebung der quadratischen Funktion an der x-Achse um <math>0.2</math> nach links | {{Lösung versteckt| 1= 1) Verschiebung der quadratischen Funktion an der x-Achse um <math>0.2</math> nach links | ||
Zeile 474: | Zeile 474: | ||
Wenn der Sportler <math>0.2m</math> früher abgesprungen wäre, hätte er bloß einen Abstand von <math>2cm</math> zur Latte gehabt und hätte sie damit gerissen. | Wenn der Sportler <math>0.2m</math> früher abgesprungen wäre, hätte er bloß einen Abstand von <math>2cm</math> zur Latte gehabt und hätte sie damit gerissen. | ||
|2=Lösung | |2=Lösung | 3=Schließen}} | ||
'''e)''' Zeichne beide Flugbahnen des Sportlers in dein Heft. | '''e)''' Zeichne beide Flugbahnen des Sportlers in dein Heft. | ||
{{Lösung versteckt| 1=Kennst du nicht bereits Punkte, die auf dem Graphen der ursprünglichen Funktion liegen? Überlege dir, welche Punkte du bereits berechnet hast und welche du aus den beiden Darstellungsformen der Funktion (Normalform und Scheitelpunktform) ablesen kannst. | 2=Tipp 1 | {{Lösung versteckt| 1=Kennst du nicht bereits Punkte, die auf dem Graphen der ursprünglichen Funktion liegen? Überlege dir, welche Punkte du bereits berechnet hast und welche du aus den beiden Darstellungsformen der Funktion (Normalform und Scheitelpunktform) ablesen kannst. | 2=Tipp 1 | 3=Schließen}} | ||
{{Lösung versteckt| 1=Zeichne zunächst den Scheitelpunkt <math>S=(d|e)</math>, den y-Achsenabschnitt <math>Y=(0|c)</math> und den Schnittpunkt mit der Matte <math>N=(x_1|0.15)</math> der ersten Funktion ein. | {{Lösung versteckt| 1=Zeichne zunächst den Scheitelpunkt <math>S=(d|e)</math>, den y-Achsenabschnitt <math>Y=(0|c)</math> und den Schnittpunkt mit der Matte <math>N=(x_1|0.15)</math> der ersten Funktion ein. | ||
Lege danach eine Wertetabelle an und berechne weitere Punkte des Funktionsgraphen. | 2=Tipp 2 | Lege danach eine Wertetabelle an und berechne weitere Punkte des Funktionsgraphen. | 2=Tipp 2 | 3=Schließen}} | ||
{{Lösung versteckt| 1=Überlege dir was sich bei der zweiten Flugbahn verändert hat und was das für die zwei Funktionsgraphen bedeutet. |2=Tipp 3 | {{Lösung versteckt| 1=Überlege dir was sich bei der zweiten Flugbahn verändert hat und was das für die zwei Funktionsgraphen bedeutet. |2=Tipp 3 | 3=Schließen}} | ||
{{Lösung versteckt| 1= | {{Lösung versteckt| 1= | ||
Zeile 492: | Zeile 492: | ||
Auf der x-Achse trägst du die Sprungweite des Sportlers in Metern ab, auf der y-Achse die Höhe des Sportlers in Metern. | Auf der x-Achse trägst du die Sprungweite des Sportlers in Metern ab, auf der y-Achse die Höhe des Sportlers in Metern. | ||
Der zweite Funktionsgraph ist lediglich um 0.2 nach links verschoben. Ansonsten stimmt er komplett mit dem ersten Funktionsgraphen überein. | Der zweite Funktionsgraph ist lediglich um 0.2 nach links verschoben. Ansonsten stimmt er komplett mit dem ersten Funktionsgraphen überein. | ||
| 2=Lösung | | 2=Lösung | 3=Schließen}} | ||
|3=Arbeitsmethode}} | |3=Arbeitsmethode}} |
Version vom 14. November 2019, 15:45 Uhr
Scheitelpunktform
Umwandlung Scheitelpunktform und Normalform
Bisher hast du dich intensiv mit der Scheitelpunktform beschäftigt. Quadratische Funktionen können jedoch auch in der Normalform geschrieben werden. In diesem Abschnitt kannst du dein bisheriges Wissen über die Umwandlung von einer Form in die andere Form wiederholen, auffrischen und üben.
Nullstellen
Anwendungsaufgaben