Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Winkel und Skalarprodukt (Vektoren bzw. Geraden): Unterschied zwischen den Versionen

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==Skalarprodukt==
==Skalarprodukt==
In diesem Anschnitt beschäftigen wir uns mit dem Skalarprodukt. Dieses ist ein wichtiger Bestandteil, um später den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen zu können.
In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit dem Skalarprodukt. Dieses ist ein wichtiger Bestandteil, um später den Winkel zwischen zwei Vektoren und zwei Geraden berechnen zu können.
===Einführung===
===Einführung===


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{{Box|1= Aufgabe 2: Terme umformen
{{Box|1= Aufgabe 2: Terme umformen
|2= Wenn du Terme zuerst umzuformst, bevor du das Skalarprodukt berechnest, sparst du dir eine Menge Aufwand.
|2= Wenn du Terme zuerst umformst, bevor du das Skalarprodukt berechnest, sparst du dir eine Menge Aufwand.


Löse die Klammern auf und fasse sinnvoll zusammen. Notiere deine Ergebnisse und überprüfe sie anschließend mit den Lösungen. Für die Vektoren müssen in dieser Aufgabe keine Werte eingesetzt werden.
Löse die Klammern auf und fasse sinnvoll zusammen. Notiere deine Ergebnisse und überprüfe sie anschließend mit den Lösungen. Für die Vektoren müssen in dieser Aufgabe keine Werte eingesetzt werden.
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{{Box|1= Aufgabe 3: Multiplikation oder Skalarprodukt?
{{Box|1= Aufgabe 3: Multiplikation oder Skalarprodukt?
|2= Enscheide in den folgenden Aufgaben, wann der Malpunkt für das Skalarprodukt und wann er für die Multiplkation von Zahlen steht. Die Reihenfolge der Antworten innerhalb einer Antwortmöglichkeit soll der Reihenfolge der Malpunkte innerhalb der Aufgabe entsprechen.
|2= Entscheide in den folgenden Aufgaben, wann der Malpunkt für das Skalarprodukt und wann er für die Multiplikation von Zahlen steht. Die Reihenfolge der Antworten innerhalb einer Antwortmöglichkeit soll der Reihenfolge der Malpunkte innerhalb der Aufgabe entsprechen.
<quiz display="simple">
<quiz display="simple">
{<math> \vec{a} \cdot \vec {b} </math>}
{<math> \vec{a} \cdot \vec {b} </math>}
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</quiz>
</quiz>


{{Lösung versteckt|1= Bei der Multiplikation von zwei reellen Zahlen erhältst du wieder eine reelle Zahl. Das Produkt von zwei Vektoren liefert jedoch nicht einen Vektor, sondern eine reelle Zahl. Diese ist genau durch das Skalarprodukt definiert.
{{Lösung versteckt|1= Bei der Multiplikation von zwei reellen Zahlen erhältst du wieder eine reelle Zahl. Das Produkt von zwei Vektoren liefert jedoch nicht einen Vektor, sondern ebenfalls eine reelle Zahl. Diese ist genau durch das Skalarprodukt definiert.
|2= allgemeiner Tipp|3= Einklappen}}
|2= allgemeiner Tipp|3= Einklappen}}


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|2= Die beiden Vektoren <math> \vec{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} </math> und <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} </math> haben den Innenwinkel <math> \alpha </math>.  
|2= Die beiden Vektoren <math> \vec{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} </math> und <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} </math> haben den Innenwinkel <math> \alpha </math>.  


Es gilt: <math> \vec{u} \ast \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \alpha </math>  
Es gilt: <math> \vec{u} \ast \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos (\alpha) </math>  


Stellt man die Formel nach <math> \cos(\alpha) </math> um, erhält man: <math> \cos (\alpha) = \frac{u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2 + u_3 \cdot v_3}{\sqrt{u_1 ^2 + u_2 ^2 + u_3 ^2} \cdot \sqrt{v_1 ^2 + v_2 ^2 + v_3 ^2}} </math>
Stellt man die Formel nach <math> \cos(\alpha) </math> um, erhält man: <math> \cos (\alpha) = \frac{u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2 + u_3 \cdot v_3}{\sqrt{u_1 ^2 + u_2 ^2 + u_3 ^2} \cdot \sqrt{v_1 ^2 + v_2 ^2 + v_3 ^2}} </math>
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|2= Tipp|3= Einklappen}}
|2= Tipp|3= Einklappen}}


{{Box|1=Satz: "Sonderfälle"
{{Box|1=Satz: Sonderfälle
|2= Neben dem Sonderfall der Orthogonalität gibt es noch zwei weitere:
|2= Neben dem Sonderfall der Orthogonalität gibt es noch zwei weitere:
Wenn <math> \alpha = 0^{\circ} </math>, dann haben die beiden Vektoren die gleiche Richtung.
Wenn <math> \alpha = 0^{\circ} </math>, dann haben die beiden Vektoren die gleiche Richtung.
Wenn <math> \alpha = 180^{\circ} </math>, dann haben die beiden Vektoren entgegengesetzte Richtungen.
Wenn <math> \alpha = 180^{\circ} </math>, dann haben die beiden Vektoren entgegengesetzte Richtungen.
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|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}
|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}


{{Box|1=Satz: "Betrag von Vektoren"
{{Box|1=Satz: Betrag von Vektoren
|2= Der Betrag eines Vektors ist im geometrische Sinne seine Länge. Die Formel zur Berechnung des Betrags lautet: <math> | \vec{u} | = | \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} | = \sqrt{u_1 ^2 + u_2 ^2 + u_3^2} </math>  
|2= Der Betrag eines Vektors ist im geometrischen Sinne seine Länge. Die Formel zur Berechnung des Betrags lautet: <math> | \vec{u} | = | \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} | = \sqrt{u_1 ^2 + u_2 ^2 + u_3^2} </math>  
Wenn du darüber noch mehr wissen möchtest, schaue dir Lernpfadkapitel Punkte und Vektoren im Raum an.
Wenn du darüber noch mehr wissen möchtest, schaue dir Lernpfadkapitel Punkte und Vektoren im Raum an.
|3=Merksatz}}
|3=Merksatz}}
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{{Box|1= Aufgabe 6: Orthogonalität I
{{Box|1= Aufgabe 6: Orthogonalität I
|2= {{LearningApp|width=100%|height=500px|app=2695651}}
|2= Stehen die Vektoren senkrecht (orthogonal) aufeinander? {{LearningApp|width=100%|height=500px|app=2695651}}
|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}
|Farbe= {{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}


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|2= Tipp|3= Einklappen}}
|2= Tipp|3= Einklappen}}


{{Lösung versteckt|1= <math> \vec{u} </math> und <math> \vec{w} </math> sind nicht parallel zueinander.  
{{Lösung versteckt|1= <math> \vec{u} </math> und <math> \vec{w} </math> sind nicht zwangsweise parallel zueinander. Durch die drei Dimensionen können sie drei unterschiedliche Richtungen haben. Dies lässt sich schon allein durch das Betrachten eines dreidimensionalen Koordinatensystems veranschaulichen.
|2= Lösung|3= Einklappen}}
|2= Lösung|3= Einklappen}}


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{{Lösung versteckt|1= Um den Schnittwinkel zwischen zwei Vektoren zu berechnen, betrachtest du lediglich die Richtungsvektoren der Geraden.
{{Lösung versteckt|1= Um den Schnittwinkel zwischen zwei Vektoren zu berechnen, betrachtest du lediglich die Richtungsvektoren der Geraden.
|2= Tipp 1|3= Einklappen}}
|2= Tipp 1|3= Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Mach dich mit den Eigenschaften von Geraden vertraut. Es gibt vier mögliche Lagen zweier Geraden:  
{{Lösung versteckt|1= Mache dich mit den Eigenschaften von Geraden vertraut. Es gibt vier mögliche Lagen zweier Geraden:  
echt parallele Geraden, identische Geraden, windschiefe Geraden, sich schneidende Geraden
1. echt parallele Geraden,
 
2. identische Geraden,
 
3. windschiefe Geraden,  
 
4. sich schneidende Geraden.
|2= Tipp 2|3= Einklappen}}
|2= Tipp 2|3= Einklappen}}


{{Box|Schnittwinkel zwischen zwei Geraden|Mit dem Schnittwinkel ist immer der spitze Winkel zwischen zwei Geraden und nie der Stumpfwinkel gemeint. Also <math> 0^\circ \leq \alpha \leq 90^\circ </math>. Aus diesem Grund wird im Zähler der Winkelformel auch der Betrag verwendet.|3= Hinweis}}
{{Box|Schnittwinkel zwischen zwei Geraden|Mit dem Schnittwinkel ist immer der spitze Winkel zwischen zwei Geraden und nie der Stumpfwinkel gemeint, d.h. <math> 0^\circ \leq \alpha \leq 90^\circ </math>. Aus diesem Grund wird im Zähler der Winkelformel auch der Betrag verwendet.|3= Hinweis}}


'''Schnittwinkel zweier Geraden - Formel'''
'''Schnittwinkel zweier Geraden - Formel'''
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* 2. Länge der Richtungsvektoren berechnen
* 2. Länge der Richtungsvektoren berechnen
* 3. Ergebnisse in die Formel einsetzen
* 3. Ergebnisse in die Formel einsetzen
* 4. Formel nach alpha auflösen
* 4. Formel nach <math> \alpha </math> auflösen
|3=Merksatz}}
|3=Merksatz}}


{{Box|1= Aufgabe 9: Schnittwinkel berechnen
{{Box|1= Aufgabe 9: Schnittwinkel berechnen
|2= Berechne den Schnittwinkel der Geraden <math> g </math>  und <math> h </math>, <math> r, s \in \mathbb{R} </math>.
|2= Berechne den Schnittwinkel der Geraden <math> g </math>  und <math> h </math>. <math> r, s \in \mathbb{R} </math>.


<math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} </math>;  
<math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} </math>;  

Version vom 3. Mai 2021, 11:46 Uhr

Info

In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit dem Skalarprodukt und dem Winkel zwischen zwei Vektoren beziehungsweise dem Winkel zwischen zwei Geraden. Du lernst...

  • ... das Skalarprodukt zu berechnen.
  • ...
  • ...

Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:

  • Mit Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
  • Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit
  • und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.
Wir wünschen dir viel Erfolg!

Skalarprodukt

In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit dem Skalarprodukt. Dieses ist ein wichtiger Bestandteil, um später den Winkel zwischen zwei Vektoren und zwei Geraden berechnen zu können.

Einführung

Definition: Skalarprodukt
Für die beiden Vektoren und ist das Skalarprodukt definiert als .


Eigenschaften des Skalarprodukts

Für das Skalarprodukt gilt das...

  • Kommutativgesetz, das heißt es gilt .
  • Distributivgesetz, das heißt es gilt .
  • Assoziativgesetz, das heißt es gilt mit .


Video

Du hast immer noch keine genaue Vorstellung davon, wie du das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnen kannst? Dann schaue dir das Video zum Thema Skalarprodukt an:


Übungen

Aufgabe 1: Das Skalarprodukt berechnen

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren und . Notiere dein Ergebnis in dem jeweiligen Kästchen.


Aufgabe 2: Terme umformen

Wenn du Terme zuerst umformst, bevor du das Skalarprodukt berechnest, sparst du dir eine Menge Aufwand.

Löse die Klammern auf und fasse sinnvoll zusammen. Notiere deine Ergebnisse und überprüfe sie anschließend mit den Lösungen. Für die Vektoren müssen in dieser Aufgabe keine Werte eingesetzt werden.

a)

b)

c)

d)

e)

Erinnere dich an die binomischen Formeln. Wenn du nicht mehr genau weißt, wie die binomischen Formeln lauten, dann schaue in Tipp 2.

Erste binomische Formel:

Zweite binomische Formel:

Dritte binomische Formel:

f)


Aufgabe 3: Multiplikation oder Skalarprodukt?

Entscheide in den folgenden Aufgaben, wann der Malpunkt für das Skalarprodukt und wann er für die Multiplikation von Zahlen steht. Die Reihenfolge der Antworten innerhalb einer Antwortmöglichkeit soll der Reihenfolge der Malpunkte innerhalb der Aufgabe entsprechen.

1

Skalarprodukt
Multiplikation

2

Skalarprodukt
Multiplikation

3

Skalarprodukt
Multiplikation

4

Skalarprodukt
Multiplikation

5

Skalarprodukt
Multiplikation

6

Skalarproduk/Multiplikation/Multiplikation
Skalarprodukt/Multiplikation/Skalarprodukt
Multiplikation/Multiplikation/Multiplikation
Skalarprodukt/Skalarprodukt/Skalarprodukt
Multiplikation/Skalarprodukt/Skalarprodukt
Multiplikation/Multiplikation/Multiplikation

7

Multiplikation/Multiplikation
Skalarprodukt/Skalarprodukt
Multiplikation/Skalarprodukt
Skalarprodukt/Multiplikation

8

Multiplikation/Multiplikation
Skalarprodukt/Skalarprodukt
Multiplikation/Skalarprodukt
Skalarprodukt/Multiplikation


Bei der Multiplikation von zwei reellen Zahlen erhältst du wieder eine reelle Zahl. Das Produkt von zwei Vektoren liefert jedoch nicht einen Vektor, sondern ebenfalls eine reelle Zahl. Diese ist genau durch das Skalarprodukt definiert.

Winkel

Im Folgenden schauen wir uns den Umgang mit Winkeln zwischen Vektoren und Geraden an.

Einführung

Definition: Winkel zwischen zwei Vektoren

Die beiden Vektoren und haben den Innenwinkel .

Es gilt:

Stellt man die Formel nach um, erhält man:


Merksatz
Zwei Vektoren sind orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt Null ist.
"Orthogonal" bedeutet, dass die Vektoren im 90°-Winkel zueinander stehen.


Satz: Sonderfälle

Neben dem Sonderfall der Orthogonalität gibt es noch zwei weitere:

Wenn , dann haben die beiden Vektoren die gleiche Richtung.

Wenn , dann haben die beiden Vektoren entgegengesetzte Richtungen.


Aufgabe 4: Grafische Darstellung und Veränderungen durch den Winkel

Schau dir die folgende Darstellung zweier Vektoren an. Wie verändert sich das Skalarprodukt, wenn du die Länge eines Vektors veränderst? https://www.geogebra.org/m/nJzV8Euq#material/qcHvSSPD --> Wie kann das eingebunden werden???

Das Skalarprodukt ändert sich nicht, wenn die Länge eines (oder beider) Vektoren variiert wird.


Satz: Betrag von Vektoren

Der Betrag eines Vektors ist im geometrischen Sinne seine Länge. Die Formel zur Berechnung des Betrags lautet:

Wenn du darüber noch mehr wissen möchtest, schaue dir Lernpfadkapitel Punkte und Vektoren im Raum an.
Video

Du hast immer noch keine genaue Vorstellung davon, wie du den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen kannst? Dann schaue dir das Video an:

Übungen

Winkel zwischen zwei Vektoren

Aufgabe 5: Winkelberechnung

Berechne die Größe des Winkels α zwischen den Vektoren und . Du darfst dafür deinen Taschenrechner verwenden. Runde das Ergebnis auf die zweite Nachkommastelle.

1 a)

α = 1,14°
α = 65,56°
α = 29,01°

2 b)

α = 57,12°
α = 0,10°
α = 62,80°

3 c)

α = 59,97°
α = 44,75°
α = 90°


Aufgabe 6: Orthogonalität I

Stehen die Vektoren senkrecht (orthogonal) aufeinander?


Aufgabe 7: Orthogonalität II

Bestimme die fehlende Koordinate so, dass die Vektoren und orthogonal zueinander sind.

1 a)

5
-5
7

2 b)

-

3 c)

-
-1


Aufgabe 8: Räumliches Vorstellungsvermögen

Sei und . Was lässt sich im zweidimensionalen Raum über die Beziehung von und sagen?

und sind parallel zueinander, d.h. .

Im Vergleich dazu: Was lässt sich über die Beziehung von und im dreidimensionalen Raum sagen?

Du kannst dir einen Körper als Hilfe nehmen. Denke zum Beispiel an einen Würfel. Wenn es dir hilft, mache eine kleine Skizze zur Veranschaulichung.
und sind nicht zwangsweise parallel zueinander. Durch die drei Dimensionen können sie drei unterschiedliche Richtungen haben. Dies lässt sich schon allein durch das Betrachten eines dreidimensionalen Koordinatensystems veranschaulichen.


Knobelaufgabe: Räumliches Vorstellungsvermögen

Wie häufig wird das Skalarprodukt zwischen den (als Vektoren gedeuteten) Zeiger einer Uhr täglich null?

Mache dir zunächst einmal klar, was es für die Uhrzeiger bedeutet, wenn ihr Skalarprodukt null ist.
Wie häufig wird das Skalarprodukt innerhalb von einer Stunde null?

Jede Stunde befinden sich die beiden Uhrzeiger zweimal orthogonal zueinander. Viermal am Tag, nämlich zu den Uhrzeiten 3, 9, 15 und 21Uhr, zählt der rechte Winkel zweimal.

Damit ergibt sich, dass das Skalarprodukt der beiden Uhrzeiger täglich 48 - 4 = 44 Mal null beträgt.


Winkel zwischen zwei Geraden

In diesem Abschnitt lernst du, wie man den Schnittwinkel zweier Geraden berechnet. Dabei sind die beiden Geraden in Parameterform gegeben.

Wenn du nicht mehr weißt, wie man eine Geradengleichung aufstellt, schau dir das Lernpfadkapitel "Geraden im Raum" an.

Wenn sich zwei Geraden schneiden, kann man einen Schnittwinkel berechnen.

Um den Schnittwinkel zwischen zwei Vektoren zu berechnen, betrachtest du lediglich die Richtungsvektoren der Geraden.

Mache dich mit den Eigenschaften von Geraden vertraut. Es gibt vier mögliche Lagen zweier Geraden: 1. echt parallele Geraden,

2. identische Geraden,

3. windschiefe Geraden,

4. sich schneidende Geraden.


Schnittwinkel zwischen zwei Geraden
Mit dem Schnittwinkel ist immer der spitze Winkel zwischen zwei Geraden und nie der Stumpfwinkel gemeint, d.h. . Aus diesem Grund wird im Zähler der Winkelformel auch der Betrag verwendet.

Schnittwinkel zweier Geraden - Formel

Gegeben sind zwei sich schneidende Geraden in Parameterform

Die Formel zur Berechnung des Schnittwinkels der beiden Geraden lautet

.


Vorgehensweise
  • 1. Skalarprodukt der Richtungsvektoren berechnen
  • 2. Länge der Richtungsvektoren berechnen
  • 3. Ergebnisse in die Formel einsetzen
  • 4. Formel nach auflösen


Aufgabe 9: Schnittwinkel berechnen

Berechne den Schnittwinkel der Geraden und . .

;


  • 1. Skalarprodukt der Richtungsvektoren berechnen

  • 2. Länge der Richtungsvektoren berechnen

  • 3. Ergebnisse in die Formel einsetzen

Die in Schritt 1 und 2 berechneten Ergebnisse setzt du nun in die Formel ein

und erhältst somit

  • 4. Formel nach auflösen

Der Schnittwinkel zwischen den beiden Geraden g und h beträgt ca.


Vorlage:Box1= Aufgabe 10: Lückentext

Aufgabe 10: Billiardaufgabe (Fokus Mathematik, S. 225, Nr. 28)

Aufgabe 11: S.130, Nr. 18