Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Winkel und Skalarprodukt (Vektoren bzw. Geraden): Unterschied zwischen den Versionen
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{{Lösung versteckt|1= "Orthogonal" bedeutet, dass die Vektoren im 90°-Winkel zueinander stehen. | {{Lösung versteckt|1= "Orthogonal" bedeutet, dass die Vektoren im 90°-Winkel zueinander stehen. | ||
|2= Tipp|3= Einklappen}} | |2= Tipp|3= Einklappen}} | ||
|3=Merksatz}} | |3=Merksatz}} | ||
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{{Lösung versteckt|1= Du hast immer noch keine genaue Vorstellung davon, wie du den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen kannst? Dann schaue dir das Video an: | {{Lösung versteckt|1= Du hast immer noch keine genaue Vorstellung davon, wie du den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen kannst? Dann schaue dir das Video an: | ||
{{#ev:youtube|6r_OaotfRys}} |2= Wiederholung|3= Einklappen}} | {{#ev:youtube|6r_OaotfRys}} |2= Wiederholung|3= Einklappen}} | ||
{{Box|1=Satz: Sonderfälle | |||
|2= Neben dem Sonderfall der Orthogonalität, d.h. <math> \alpha = 90^{\circ} </math> mit <math> \cos (90) = 0 </math>, gibt es noch zwei weitere: | |||
* Wenn <math> \alpha = 0^{\circ} </math> mit <math> \cos (0) = 1 </math>, dann haben die beiden Vektoren die gleiche Richtung. | |||
* Wenn <math> \alpha = 180^{\circ} </math> mit <math> \cos (180) = -1 </math>, dann haben die beiden Vektoren entgegengesetzte Richtungen. | |||
Außerdem lässt sich anhand des Skalarproduktes leicht erkennen, ob der Winkel zwischen den beiden Vektoren spitz oder stumpf ist: | |||
* Wenn das Skalarprodukt positiv ist, handelt es sich um einen spitzen Winkel, d.h. <math> 0^{\circ} \leq \alpha < 90^{\circ} </math>. | |||
* Wenn das Skalarprodukt negativ ist, handelt es sich um einen stumpfen Winkel, d.h. <math> 90^{\circ} < \alpha \leq 180^{\circ} </math>. | |||
|3=Merksatz}} | |||
===Übungen=== | ===Übungen=== | ||
Zeile 205: | Zeile 205: | ||
{{Lösung versteckt|1= Jede Stunde befinden sich die beiden Uhrzeiger zweimal orthogonal zueinander. | {{Lösung versteckt|1= Jede Stunde befinden sich die beiden Uhrzeiger zweimal orthogonal zueinander. | ||
Viermal am Tag, nämlich zu den Uhrzeiten 3, 9, 15 und | Viermal am Tag, nämlich zu den Uhrzeiten 3, 9, 15 und 21 Uhr, gibt es nur den einen rechten Winkel, der die volle Stunde anzeigt. | ||
Damit ergibt sich, dass das Skalarprodukt der beiden Uhrzeiger täglich 48 - 4 = 44 Mal null beträgt. | Damit ergibt sich, dass das Skalarprodukt der beiden Uhrzeiger täglich 48 - 4 = 44 Mal null beträgt. | ||
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|2= Tipp|3= Einklappen}} | |2= Tipp|3= Einklappen}} | ||
{{Box| 1= Schnittwinkel zweier Geraden | {{Box|1= Schnittwinkel zweier Geraden | ||
|2= Wenn sich zwei Geraden schneiden, kann man einen Schnittwinkel berechnen. | |||
| 2= Wenn sich zwei Geraden schneiden, kann man einen Schnittwinkel berechnen. | |||
Um den Schnittwinkel zwischen zwei Geraden zu berechnen, betrachtest du lediglich die Richtungsvektoren der Geraden. | Um den Schnittwinkel zwischen zwei Geraden zu berechnen, betrachtest du lediglich die Richtungsvektoren der Geraden. | ||
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Die Formel zur Berechnung des Schnittwinkels der beiden Geraden lautet | Die Formel zur Berechnung des Schnittwinkels der beiden Geraden lautet | ||
<math> \cos(\alpha) = \frac {\vec{u} \ast \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} </math>. | <math> \cos(\alpha) = \frac {\vec{u} \ast \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} </math>. |2= Erinnerung|3= Einklappen}} | ||
|3= | |||
{{Lösung versteckt|1= | |||
1. Skalarprodukt der Richtungsvektoren berechnen | |||
2. Länge der Richtungsvektoren berechnen | |||
3. Ergebnisse in die Formel einsetzen | |||
4. Formel nach <math> \alpha </math> auflösen | |||
|2= Vorgehensweise | |||
|3= Einklappen}} | |||
|3= Merksatz}} | |3= Merksatz}} | ||
{{Box|Schnittwinkel zwischen zwei Geraden|Mit dem Schnittwinkel ist immer der spitze Winkel zwischen zwei Geraden und nie der Stumpfwinkel gemeint, d.h. <math> 0^\circ \leq \alpha \leq 90^\circ </math>. Aus diesem Grund wird im Zähler der Winkelformel auch der Betrag verwendet.|3= | {{Box|Schnittwinkel zwischen zwei Geraden|Mit dem Schnittwinkel ist immer der spitze Winkel zwischen zwei Geraden und nie der Stumpfwinkel gemeint, d.h. <math> 0^\circ \leq \alpha \leq 90^\circ </math>. Aus diesem Grund wird im Zähler der Winkelformel auch der Betrag verwendet.|3= Merksatz}} | ||
{{Box|1= Aufgabe 9: Schnittwinkel berechnen | {{Box|1= Aufgabe 9: Schnittwinkel berechnen | ||
Zeile 284: | Zeile 287: | ||
4. Formel nach <math> \alpha </math> auflösen | 4. Formel nach <math> \alpha </math> auflösen | ||
<math> \alpha = \ | <math> \alpha = \cos^{-1} (\frac{2}{\sqrt{110}}) \approx 79{,}01^\circ </math> | ||
Der Schnittwinkel zwischen den beiden Geraden <math>g</math> und <math>h</math> beträgt ca. <math> 79{,}01^\circ </math> | Der Schnittwinkel zwischen den beiden Geraden <math>g</math> und <math>h</math> beträgt ca. <math> 79{,}01^\circ </math> | ||
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<math> \cos(\beta) = \frac {-1+1+3}{\sqrt{11} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{33}} </math> | <math> \cos(\beta) = \frac {-1+1+3}{\sqrt{11} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{33}} </math> | ||
<math> \beta = \ | <math> \beta = \cos^{-1} \left(\frac{3}{\sqrt{33}} \right) \approx 58{,}52^\circ </math> | ||
<math> \gamma = 180^\circ - \alpha - \beta = 90^\circ - 58{,}52^\circ = 31{,}18^\circ </math> | <math> \gamma = 180^\circ - \alpha - \beta = 90^\circ - 58{,}52^\circ = 31{,}18^\circ </math> | ||
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|Lösung verbergen | |Lösung verbergen | ||
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|3= Arbeitsmethode}} | |||
{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_–_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum#Kapitelauswahl}} | |||
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Version vom 23. Juni 2021, 17:30 Uhr
Skalarprodukt und Orthogonalität
In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit dem Skalarprodukt. Dieses ist ein wichtiger Bestandteil, um im weiteren Verlauf den Winkel zwischen zwei Vektoren und zwei Geraden berechnen zu können. Außerdem betrachten wir den Sonderfall, wenn das Skalarprodukt null wird.
Definitionen und Eigenschaften
Du hast immer noch keine genaue Vorstellung davon, wie du das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnen kannst? Dann schaue dir das Video zum Thema Skalarprodukt an:
Übungen
Winkel
Im Folgenden schauen wir uns den Umgang mit Winkeln zwischen Vektoren und Geraden an.
Einführung
Du hast immer noch keine genaue Vorstellung davon, wie du den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen kannst? Dann schaue dir das Video an:
Übungen
Winkel zwischen zwei Vektoren
Winkel zwischen zwei Geraden
In diesem Abschnitt lernst du, wie man den Schnittwinkel zweier Geraden berechnet. Dabei sind die beiden Geraden in Parameterform gegeben.