Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Punkte und Vektoren im Raum

Aus ZUM Projektwiki
Aufgabe 8 - Länge und Abstände von Vektoren

Berechne die Länge der Vektoren:

1

4
5
6
7

2

11
12
13
14

3

1
2


Berechne den Abstand der Punkte:

1 und

3
6
9
12

2 und

9,5
7
8
6,5


Gegeben ist ein Dreieck mit den Punkten und . Berechne den Umfang des Dreiecks.

14,123
11,256
15,123
13,894


Aufgabe 9 - Vektoren addieren und mit einem Skalar multiplizieren


Aufgabe 10: Lückentext - Geometrische Bedeutung von Vektoraddition und skalarer Multiplikation

Wir definieren zwei Rechenoperationen für Vektoren: das Bilden des Vielfachen und der Summe. Die Vektoraddition bezeichnet das bilden der Summe zweier Vektoren gleichen Typs, das heißt dass die beiden Vektoren gleich viele Komponenten haben. Man bildet die Summe, indem man die Einträge der Vektoren komponentenweise addiert. Wir können uns die Addition von Vektoren als ein „Aneinanderlegen“ von zwei Strecken von ggf. verschiedener Länge vorstellen. Nennen wir und Vektoren. Wir deuten diese als Pfeile und addieren sie, das heißt wir legen sie hintereinander, sodass der Anfang von und die „Spitze“ von übereinstimmen. Ein derartiges Verhalten von Pfeilen ist aus der Physik bekannt. Dort werden oftmals Kräfte und Geschwindigkeiten mit Pfeilen dargestellt. Man kann am Ende zur Addition sagen, dass das Bilden der Summe zweier Vektoren als Hintereinander-Ausführen der durch und dargestellten Verschiebungen gesehen werden kann.

Das Bilden des Vielfachen eines Vektors wird auch als Multiplikation mit einem Skalar bezeichnet. Wir nennen unseren Vektor wieder und das Skalar bezeichnen wir mit . Von jedem Vektor kann das -Fache gebildet werden, indem alle Komponenten von mit multipliziert werden. Ist so wird der „Pfeil“ von um den Faktor aufgeblasen (falls ) oder geschrumpft (falls ). Ist , so erhält der Pfeil, der um den Faktor aufgeblasen oder geschrumpft wird, noch eine Richtungsumkehrung und wird zum Gegenvektor.

Wir nennen zwei Vektoren kollinear (oder parallel), wenn einer der Vektoren ein Vielfaches des anderen ist. Mit anderen Worten: Wenn und zwei verschiedene Vektoren sind, so sind sie parallel/kollinear zueinander, falls ein Skalar existiert, sodass gilt: . Dabei ist es egal, ob die beiden Vektoren in unterschiedliche Richtungen zeigen oder nicht.

 


Aufgabe 11 - Für die ganz Schnellen eine Knobelaufgabe: Besondere Vierecke

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte , und gegeben.

a) Um welche Art von Dreieck handelt es sich?

rechtwinkliges Dreieck
gleichseitiges Dreieck
gleichschenkliges Dreieck


b) Sei nun ein weiter Punkt im bereits vorhandenen System. Welche Koordinaten muss haben, damit gemeinsam mit , und die Eckpunkte einer Raute bildet?

Zeichne dir ein gleichschenkliges Dreieck auf und mach dir zunächst klar welche Seite die Basis des Dreieicks ist.
Gegenüberliegende Seiten sind in einer Raute gleich lang.
Verwende den Vektor am Punkt .

c) wir betrachten nun wieder das Dreieck . Ein neuer Punkt solls o gewählt werden, dass er zusammen mit dem Dreieck ein Parallelogramm bildet, das keine Raute ist. Welche Koordinaten passen zu ? Es sind zwei Antwortmöglichkeiten richtig. Finde beide!

Zeichne dir ein gleichschenkliges Dreieck auf und überleg dir wie ein Parallelogram entstehen könnte.
Sei dir bewusst, dass es auch Gegenvektoren gibt.
Verwende den Vektor am Punkt und den Vektor am Punkt .