Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Punkte und Vektoren im Raum

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In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit Punkten und Vektoren im Raum. Du lernst, das Prisma von anderen geometrischen Körpern abzugrenzen sowie die Oberfläche und das Volumen eines Prismas zu berechnen.

Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:

• Mit Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
• Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit
• und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.

Wir wünschen dir viel Erfolg!

Wiederholung von Punkten und Vektoren

Erinnerung: Punkte und Ortsvektoren

Jeder Punkt lässt sich durch den Vektor beschreiben, der den Ursprung mit dem Punkt verbindet, dem Ortsvektor. Bei Punkten werden die Koordinaten direkt an den Namen des Punktes geschrieben, der Name des Punktes wird immer groß geschrieben; bei Vektoren, also auch bei Ortsvektoren, werden die Koordinaten durch ein Gleichheitszeichen vom Namen des Vektors getrennt, der Name des Vektors wird manchmal mit einem Pfeil darüber versehen.

Zum Punkt $A(1, 2, 3)$ gehört also der Ortsvektor $\vec {A} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$.

Übung 5: Ortsvektoren

Übung 7: Gerichtete Größen

Gib das folgende Gesetz mithilfe von Vektoren an: Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus, so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A.

Erläutere, inwiefern sich Kräfte durch Vektoren darstellen lassen.

$\vec {F}_{A \to B} = -\vec {F}_{B \to A}$

Sowohl Kräfte als auch Vektoren sind durch eine Richtung und eine Größe gekennzeichnet. Im Fall von Vektoren heißt die Größe der "Betrag" oder die "Länge" des Vektors. Es handelt sich demnach bei beidem um gerichtete Größen.

Aufgabe 8 - Länge und Abstände von Vektoren

Berechne die Länge der Vektoren:

1 $\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}$

	4
	5
	6
	7

2 $\vec{v} = \begin{pmatrix} 12 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}$

	11
	12
	13
	14

3 $\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$

	1
	2
	$\sqrt{2}$
	$frac 1 2$

Berechne den Abstand der Punkte:

1 $A(2|-4|1)$ und $B(4|-4|-2)$

	3
	6
	9
	12

2 $A(8|9|10)$ und $B(2|6|8)$

	9,5
	7
	8
	6,5

Gegeben ist ein Dreieck $ABC$ mit den Punkten $A(-3|0|-2)$ $B(1|2|2)$ und $C(-3|3|2)$ . Berechne den Umfang des Dreiecks.

	14,123
	11,256
	15,123
	13,894

Aufgabe 9 - Vektoren addieren und mit einem Skalar multiplizieren

Aufgabe 10: Lückentext - Geometrische Bedeutung von Vektoraddition und skalarer Multiplikation

Wir definieren zwei Rechenoperationen für Vektoren: das Bilden des Vielfachen und der Summe. Die Vektoraddition bezeichnet das bilden der Summe zweier Vektoren gleichen Typs, das heißt dass die beiden Vektoren gleich viele Komponenten haben. Man bildet die Summe, indem man die Einträge der Vektoren komponentenweise addiert. Wir können uns die Addition von Vektoren als ein „Aneinanderlegen“ von zwei Strecken von ggf. verschiedener Länge vorstellen. Nennen wir $\vec{a}$ und $\vec{b}$ Vektoren. Wir deuten diese als Pfeile und addieren sie, das heißt wir legen sie hintereinander, sodass der Anfang von $\vec{b}$ und die „Spitze“ von $\vec{a}$ übereinstimmen. Ein derartiges Verhalten von Pfeilen ist aus der Physik bekannt. Dort werden oftmals Kräfte und Geschwindigkeiten mit Pfeilen dargestellt. Man kann am Ende zur Addition sagen, dass das Bilden der Summe zweier Vektoren $\vec{a} + \vec{b}$ als Hintereinander-Ausführen der durch $\vec{a}$ und $\vec{b}$ dargestellten Verschiebungen gesehen werden kann.

Das Bilden des Vielfachen eines Vektors wird auch als Multiplikation mit einem Skalar bezeichnet. Wir nennen unseren Vektor wieder $\vec{a}$ und das Skalar bezeichnen wir mit $c$. Von jedem Vektor kann das $c$ -Fache gebildet werden, indem alle Komponenten von $\vec{a}$ mit $c$ multipliziert werden. Ist $c>0$ so wird der „Pfeil“ von $\vec{a}$ um den Faktor $c$ aufgeblasen (falls $c > 1$) oder geschrumpft (falls $c < 1$ ). Ist $c<0$, so erhält der Pfeil, der um den Faktor $c$ aufgeblasen oder geschrumpft wird, noch eine Richtungsumkehrung und wird zum Gegenvektor.

Wir nennen zwei Vektoren kollinear (oder parallel), wenn einer der Vektoren ein Vielfaches des anderen ist. Mit anderen Worten: Wenn $\vec{a}$ und $\vec{b}$ zwei verschiedene Vektoren sind, so sind sie parallel/kollinear zueinander, falls ein Skalar $c$ existiert, sodass gilt: $ca=b$. Dabei ist es egal, ob die beiden Vektoren in unterschiedliche Richtungen zeigen oder nicht.

 

Aufgabe 11 - Für die ganz Schnellen eine Knobelaufgabe: Besondere Vierecke

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $A(3|3|5)$, $B(3,5|3,5|1)$ und $C(6,5|2,5|3)$ gegeben.

a) Um welche Art von Dreieck handelt es sich?

	rechtwinkliges Dreieck
	gleichseitiges Dreieck
	gleichschenkliges Dreieck

b) Sei $P$ nun ein weiter Punkt im bereits vorhandenen System. Welche Koordinaten muss $P$ haben, damit $P$ gemeinsam mit $A$, $B$ und $C$ die Eckpunkte einer Raute bildet?

	$P(7|3|-1)$
	$P(-7|-3|1)$
	$P(5|2|-3)$
	$P(-5|-2|3)$

Zeichne dir ein gleichschenkliges Dreieck auf und mach dir zunächst klar welche Seite die Basis des Dreieicks ist.

Gegenüberliegende Seiten sind in einer Raute gleich lang.

Verwende den Vektor $\vec{ AC }$ am Punkt $B$.

c) wir betrachten nun wieder das Dreieck $ABC$. Ein neuer Punkt $Q$ solls o gewählt werden, dass er zusammen mit dem Dreieck $ABC$ ein Parallelogramm bildet, das keine Raute ist. Welche Koordinaten passen zu $Q$? Es sind zwei Antwortmöglichkeiten richtig. Finde beide!

	$P(6|2|7)$
	$P(7|4|3)$
	$P(0|4|3)$
	$P(6|3|-1)$

Zeichne dir ein gleichschenkliges Dreieck auf $ABC$ und überleg dir wie ein Parallelogram entstehen könnte.

Sei dir bewusst, dass es auch Gegenvektoren gibt.

Verwende den Vektor $\vec{ CA }$ am Punkt $B$ und den Vektor $\vec{ BA }$ am Punkt $C$.