Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme

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In diesem Lernpfadkapitel kannst du dein Wissen über Lineare Gleichungssysteme (LGS) vertiefen und üben. Das Kapitel gibt dir einen Überblick über den Gauß-Algorithmus, mit dem du Lineare Gleichungssysteme lösen kannst, über verschiedene Arten von Gleichungssystemen sowie über die Interpretation der Lösungen.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

• In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
• Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
• Und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.

Du solltest alle Aufgaben ohne Hilfsmittel, das heißt auch ohne GTR-Einsatz, lösen!

Viel Erfolg und viel Spaß!

Wiederholung: Verschiedene Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme

Aufgabe 1 - Gleichungssysteme zuordnen

Ordne die LGS dem am besten geeigneten Umformungsverfahrenzu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen

Lineare Gleichungssysteme mit dem Gauß-Algorithmus lösen

Erklärvideo zum Gauß-Verfahren

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Beispiel: 2 Unbekannte und 2 Gleichungen

$\begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & x & + & y & = & 6\\ \text{II}\quad & 4x & - & y & = & 4\\ \end{array}$

$L= \{2; 4\}$

Beispiel: 3 Unbekannte und 3 Gleichungen

$\begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & x & + & y & - & 2z & = & 7\\ \text{II}\quad & 3x & - & y & + & z & = & 2\\ \text{III}\quad & 2x & + & 3y & + & 5z & = & 8 \end{array}$

$L= \{2; 3; -1\}$

Aufgabe 2: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus

$\begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & x & - & y & + & 2z & = & 0\\ \text{II}\quad & -y & - & 2z & = & 0\\ \text{III}\quad & -3z & = & 3 \end{array}$

$L= \{2; 1; 0{,}5\}$

Aufgabe 3: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus

$\begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & 6x & + & 2z & = & 1 & + & y \\ \text{II}\quad & 5x & - & 3y & + & 3z & = & 4\\ \text{III}\quad & 3x & - & 2y & = & 8 & - & z \end{array}$

Bringe zuerst alle Variablen auf eine Seite und fahre dann mit dem Gauß-Algorithmus fort.

$L= \{2{,}75; -9; -12{,}25\}$

Aufgabe 4: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus

$\begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & 6x & + & 2y & - & z & = & 48\\ \text{II}\quad & -3x & + & 5y & + & 3z & = & 49\\ \text{III}\quad & -2x & + & y & + & 3z & = & 24 \end{array}$

$L= \{7; 8; 10\}$

Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme

TODO:

• Fälle eine Lösung, keine Lösung, unendlich viele Lösungen
  • Erklärungen und
  • Beispiele und
  • Übungsaufgaben
    • z.B. Fall unendlich viele Lösungen oder/ und keine Lösung direkt am LGS erkennen
• Erklärung und Beispiel zum Vorgehen, eine Variable frei zu wählen (unendlich viele Lösungen)

Aufgabe x: Wiederholung

Bearbeite alle Teilaufgaben mit dem integrierten GeoGebra-Applet und mache dir Notizen.

a) Bewege die Schieberegler $a, b, c$ sowie $d, h, k$. Was kannst du beobachten?

b) Was bedeutet der Schnittpunkt der beiden Geraden für die Lösung des Gleichungssystems?

Wenn die beiden Geraden einen eindeutigen Schnittpunkt besitzen, dann hat das Gleichungssystem genau eine Lösung.

c) Bewege die Schieberegler. Wann haben die beiden Geraden keinen eindeutigen Schnittpunkt? Was bedeutet das für die Lösung des Gleichungssystems?

Wenn die Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Wenn die beiden Geraden identisch sind, also übereinander liegen, haben sie unendlich viele Schnittpunkte.

Wenn die beiden Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Dann hat das lineare Gleichungssystem keine Lösung. Wenn die beiden Geraden identisch sind, gibt es unendlich viele Lösungen für das zugehörige lineare Gleichungssystem.

d) Welche Lösungsmöglichkeiten gibt es also für lineare Gleichungssysteme?

Ein lineares Gleichungssystem kann

• eine Lösung
• keine Lösung oder
• unendlich viele Lösungen

haben.

Unter- und überbestimmte Gleichungssysteme

Merksatz: Über- und unterbestimmte Gleichungssysteme

Ein Lineares Gleichungssystem heißt überbestimmt, wenn es mehr Gleichungen als Variablen enthält. Im Allgemeinen besitzen überbestimmte Gleichungssysteme keine Lösung.

Ein Lineares Gleichungssystem heißt unterbestimmt, wenn es mehr Variablen als Gleichungen enthält. Im Allgemeinen sind unterbestimmte Gleichungssysteme nicht eindeutig lösbar. Sie besitzen also unendlich viele Lösungen.

Aufgabe 8 - Ausnahmefälle bei der Lösung unter- und überbestimmter Gleichungssysteme

Im Merksatz oben wurde erklärt, dass überbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine Lösung besitzen und unterbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine eindeutige Lösung besitzen. Für beides gibt es jedoch Ausnahmen. Diese Ausnahmen wollen wir uns in dieser Aufgabe anhand zweier Beispiele anschauen.

a) Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein über- oder unterbestimmtes Gleichungssystem handelt.

$\left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\ 2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\ 4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4 \end{alignat}\right\vert$

Hierbei handelt es sich um ein überbestimmtes Gleichungssystem.

b) Stimmt die folgende Aussage? Überlege dir auch eine Begründung.

Das Gleichungssystem ist überbestimmt und hat dennoch unendlich viele Lösungen.

Die Gleichungen sind alle Vielfache voneinander.

Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen mit der Lösungsmenge $L= \{(t|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\}$. Dies erkennt man auch direkt daran, dass die zweite und dritte Gleichung Vielfache der ersten Gleichung sind. Durch Multiplikation der ersten Gleichung mit $2$ erhält man die zweite Gleichung, durch Multiplikation der ersten Gleichung mit $4$ erhält man die dritte Gleichung. Somit sind alle drei Gleichungen äquivalent. Es reicht also, die Gleichung $x + y = 1$ zu betrachten. Umstellen der Gleichung nach $y$ ergibt:

$y = 1 - x$

Die Variable $x$ kann nun frei gewählt werden, es wird daher der Parameter $t = x$ eingesetzt. Abhängig von diesem Parameter lässt sich dann $y = 1 - t$ bestimmen. Wird zum Beispiel $t = 1$ gewählt, so folgt $y = 1-1 = 0$.

Dies wird auch deutlich, wenn das Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren gelöst wird:

$\left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\ 2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\ 4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4 \end{alignat}\right\vert$

Multiplikation der zweiten Gleichung mit $2$ und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

$\left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\ 2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\ 0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0 \end{alignat}\right\vert$

Multiplikation der ersten Gleichung mit $2$ und Subtraktion des Ergebnisses von der zweiten Gleichung ergibt:

$\left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\ 0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0\\ 0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0 \end{alignat}\right\vert$

c) Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein über- oder unterbestimmtes Gleichungssystem handelt.

$\left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 1 \\ x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \end{alignat}\right\vert$

d) Stimmt die folgende Aussage? Überlege dir auch eine Begründung.

Das Gleichungssystem ist unterbestimmt und hat dennoch keine Lösung.

Vergleiche die beiden Gleichungen des Gleichungssystems. Was ist gleich, was nicht?

Das Gleichungssystem hat keine Lösung, also die Lösungsmenge $L= \{\}$. Dies erkennt man direkt daran, dass bei beiden Gleichungen der Term auf der linken Seite gleich ist. Setzt man also beide Gleichungen mit dem Gleichsetzungsverfahren gleich, so ergibt sich $1 = 2$. Dies ist ein Widerspruch.

Beispiel: Überbestimmtes Gleichungssystem

$\left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\ 2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\ x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0 \end{alignat}\right\vert$

$L= \{\}$

$\left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\ 2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\ x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0 \end{alignat}\right\vert$

Multiplikation der dritten Gleichung mit $2$ und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

$\left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\ 2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\ 0 &&\; + \;&& 7y &&\; = \;&& -1 \end{alignat}\right\vert$

Aus der dritten Gleichung folgt:

$y = \frac{(-1)}{7} = - \frac{1}{7}$

Einsetzen von $y$ in die zweite Gleichung ergibt:

$\begin{align} & & 2x - (- \frac{1}{7}) &= 1 \\ \Leftrightarrow & & 2x &= \frac{6}{7} \\ \Leftrightarrow & & x &= \frac{3}{7} \end{align}$

Einsetzen von $x$ und $y$ in die erste Gleichung ergibt:

$\begin{align} & & \frac{3}{7}+ (- \frac{1}{7}) &= 6 \\ \Leftrightarrow & & \frac{2}{7} &= 6 \quad \Rightarrow \text{Widerspruch} \end{align}$

An dieser Stelle entsteht ein Widerspruch. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

Beispiel: Unterbestimmtes Gleichungssystem

$\left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\ x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \end{alignat}\right\vert$

$L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\}$

$\left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\ x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \end{alignat}\right\vert$

Multiplikation der zweiten Gleichung mit $2$ und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

$\left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\ 0 &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 4 \end{alignat}\right\vert$

Aus der zweiten Gleichung folgt:

$y = \frac{4}{(-4)} = -1$

Einsetzen von $y$ in die erste Gleichung ergibt:

$\begin{align} & & 2x + 2 \cdot (-1) + 2z &= 0 \\ \Leftrightarrow & & 2x -2 + 2z &= 0 \end{align}$

Die Gleichung kann nun entweder nach $x$ oder nach $z$ umgestellt werden. Umstellen nach $z$ ergibt:

$\begin{align} & & 2z &= -2x+2 \\ \Leftrightarrow & & z &= 1-x \end{align}$

Für $x$ wird jetzt ein Parameter eingesetzt: Sei $t = x$. Somit ergibt sich die Lösungsmenge $L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\}$.

Aufgabe 5 - weiterführende Aufgabe zu den Beispielen

Das Gleichungssystem aus dem Beispiel Unterbestimmtes Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen. Bestimme eine mögliche konkrete Lösung für dieses Gleichungssystem.

$t$ ist eine beliebige, also eine frei wählbare reelle Zahl.

Wähle zum Beispiel $t = 3$. Dann folgt für die Lösungsmenge:

$L= \{(3| {-}1| 1{-}3)\}$ also $L= \{(3| {-}1| {-}2)\}$

Aufgabe 5 - LGS lösen

a) Ist das Gleichungssystem überbestimmt oder unterbestimmt?

$\left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\ x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5 \end{alignat}\right\vert$

Das Gleichungssystem ist unterbestimmt, da es mehr Variablen als Gleichungen besitzt.

b) Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

$L= \{(t| {-}\frac{1}{3}| 4{-}t)| t \in \mathbb{R}\}$

$\left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\ x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5 \end{alignat}\right\vert$

Subtraktion der ersten von der zweiten Gleichung ergibt:

$\left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\ 0 &&\; - \;&& 6y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 2 \end{alignat}\right\vert$

$\Rightarrow y = \frac{2}{(-6)} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$

Einsetzen von $y$ in die erste Gleichung ergibt:

$\begin{align} && x + 3 \cdot -\frac{1}{3} + z &= 3 \\ \Leftrightarrow & & x - 1 + z &= 3 \\ \Leftrightarrow & & x + z &= 4 \\ \Leftrightarrow & & z &= 4 - x \\ \end{align}$

Für dieses Gleichungssystem kann keine eindeutige Lösung bestimmt werden. Für $y$ wurde eine eindeutige Lösung bestimmt, $x$ und $z$ können nur in Abhängigkeit der jeweils anderen Variable bestimmt werden. So wurde hier die Variable $z$ in Abhängigkeit von $x$ bestimmt. Für $x$ kann also eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden, daher wird für $x$ ein Parameter eingesetzt: Sei $t = x$. $z$ berechnet sich dann durch den Parameter $t$. Das Gleichungssystem hat also unendlich viele Lösungen. Genauso wäre es möglich, die Variable $x$ in Abhängigkeit von $z$ zu bestimmen, also für $z$ einen Parameter zu setzen.

Aufgabe 6 - LGS lösen

$\left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\ 4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\ x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4 \end{alignat}\right\vert$

a) Ist das Gleichungssystem überbestimmt oder unterbestimmt?

Das Gleichungssystem ist überbestimmt, da es mehr Gleichungen als Variablen besitzt.

b) Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

$L= \{\}$

$\left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\ 4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\ x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4 \end{alignat}\right\vert$

Multiplikation der dritten Gleichung mit $4$ und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

$\left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\ 4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\ 0 &&\; + \;&& 18y &&\; = \;&& 8 \end{alignat}\right\vert$

$\Rightarrow y = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$

Einsetzen von $y$ in die zweite Gleichung ergibt:

$\begin{align} && 4x - 2 \cdot \frac{4}{9} &= 8 \\ \Leftrightarrow & & 4x - \frac{8}{9} &= 8 \\ \Leftrightarrow & & 4x &= \frac{80}{9} \\ \Leftrightarrow & & x &= \frac{20}{9} \\ \end{align}$

Einsetzen von $x$ und $y$ in die erste Gleichung ergibt:

$2 \cdot \frac{20}{9} + 2 \cdot \frac{8}{18} = \frac{16}{3} \neq 12$

Hier entsteht also ein Widerspruch. Das Einsetzen von $x$ und $y$ in die erste Gleichung liefert ein anderes Ergebnis als das, was auf der rechten Seite der Gleichung steht. Daher gilt dieses Gleichungssystem als nicht lösbar, es besitzt also keine Lösung.

Aufgabe x - Zusammenfassung

Fülle die Lücken richtig aus, indem du auf die Lücken klickst und die richtige Aussage aus der Liste auswählst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Lösung zu überprüfen.

Interpretation der Lösung eines Linearen Gleichungssystems

Aufgabe 9 - Ordne die Linearen Gleichungssysteme, Lösungsmengen und Grafiken den entsprechenden Anzahlen der Lösungen zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen

Parallele Geraden besitzen keine, identische Geraden unendlich viele und sich schneidende Geraden genau eine Lösung

Ist eine Variable beim Lösen des LGS von einer anderen abhängig, ist eine Variable frei wählbar und somit existieren unendlich viele Lösungen

Aufgabe 10 - Lösung interpretieren

Die Lagebeziehung dreier Ebenen wird untersucht. Dabei entsteht durch die Ebenengleichungen das folgende Gleichungssystem:

$\begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & x & + & 4y & + & z & = & 12\\ \text{II}\quad & x & + & 2y & + & z & = & 8\\ \text{III}\quad & x & + & y & - & z & = & 3 \end{array}$

Durch die Anwendung des Gaußverfahrens resultiert folgende Matrix:

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 4\\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

a) Lese die Lösungen des LGS für x, y und z ab.

In der Matrixschreibweise steht je eine Spalte für eine Variable. Aus einer solchen Stufenform lassen sich die Werte direkt aus der letzten Spalte ablesen.

$x = 4, y = 1, z = 2$

b) Was bedeutet die Lösung in Bezug auf die Lagebeziehung der Ebenen? Bestimme ggf. den Schnittpunkt oder die Schnittgerade der drei Ebenen.

Bestimme, ob das LGS eine, keine oder unendlich viele Lösungen hat

Schneiden sich die 3 Ebenen in einem Punkt, so hat das LGS genau eine Lösung. Schneiden sich die 3 Ebenen in einer Gerade, so hat das LGS unendlich viele Lösungen. Hat das LGS keine Lösung, so gibt es keinen Punkt, indem sich alle 3 Ebenen schneiden.

Das LGS hat genau eine Lösung. Die Lösung des LGS entspricht dem Schnittpunkt S(4/1/2).

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