Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Geraden im Raum: Unterschied zwischen den Versionen

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===Lagebeziehungen von Geraden===
===Lagebeziehungen von Geraden===


Im Folgenden wollen wir betrachten, wie verschiedene Geraden zueinander im Raum liegen.
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit der Lagebeziehung von Geraden im Raum.
|3= Merksatz}}


{{Box|1=Definition
{{Box|1=Definition
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|3=Merksatz}}
|3=Merksatz}}


{{Box|1= Aufgabe 2: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander?


======Aufgaben geschnitten oder windschief======
a)<math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>
<quiz display="simple">
{Welche der folgenden Geraden schneiden sich?}


- <math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>  
b)<math>h_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>


+ <math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>
c)<math>i_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>i_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>


+ <math>h_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden ''schneiden'' sich im Punkt .|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden''schneiden'' sich.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}


</quiz>
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''windschief''. Die beiden Geraden sind ''windschief'' zueinander. Dies sehen wir daran, |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}
 
 
{{Box |1= Merksatz |2=<br />
Zwei Geraden...
 
sind ''identisch''
* Richtungsvektoren '''kollinear''' (= Vielfache voneinander)
* Ortsvektor der einen Geraden liegt auf der anderen Geraden
sind ''parallel''
* Richtungsvektoren '''kollinear''' (= Vielfache voneinander)
* Ortsvektor der einen Geraden liegt '''nicht''' auf der anderen Geraden.
''schneiden'' sich
* Richtungsvektoren '''nicht''' kollinear (= Vielfache voneinander)
* Bei dem Versuch einen Schnittpunkt zu berechnen, kommt eine '''wahre Aussage''' in Form eines Punktes heraus
sind zueinander ''windschief''
* Richtungsvektoren '''nicht''' kollinear (= Vielfache voneinander)
* Bei dem Versuch einen Schnittpunkt zu berechnen, kommt eine '''falsche Aussage''' heraus
 
<br /> .
|3= Merksatz}}
 
 
{{Box|1= Aufgabe 3: |2=Flugerlaubnis erteilen?
 
Ein wichtiger Bestandteil der Flugsicherung sind die Fluglotsen der "Deutschen Flugsicherung" (DFS). Sie koordinieren und überwachen jährlich Millionen Flüge im deutschen Luftraum. Am heutigen Tag wollen drei Flugzeuge starten. Hierzu gehört das Fugzeug der Marke Aer startet bei  <math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und fliegt mit einem Vektor von  <math> \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math> pro Minute. Ebenfalls möchte das Flugzeug Amadeus in die Luft. Dies startet in <math> \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und befindet sich 10sek später <math> \begin{pmatrix} 993,8 \\ 834 \\ 1030 \end{pmatrix}</math>. Das Flugzeug Liesbeth befindet sich beim Start in <math> \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math>. Es hat eine Geschwindigkeit von 160 m/s und befindet sich nach 1 sek bei  <math> \begin{pmatrix} 97 \\ 81 \\ X \end{pmatrix}</math>.
Es kam zu einem riesigen Stromausfall und der Fluglotse ist sich unsicher. Hilf ihm die Antworten auf folgende Fragen zu finden:
a) Wie lauten die Geradengleichungen der einzelen Fugzeuge?
b) Welches der Flugzeuge ist das schnellste?
c) Können alle Flugzeuge starten, ohne dass es zu einer Kollision kommt?
 
{{Lösung versteckt|1= Siehe oben: Parameterdarstellung |2= Tipp zu a|3= Tipp zu a}}
 
{{Lösung versteckt|1= Um die Parameterdarstellung aufzustellen, musst du wissen, wie man die Geschwindigkeit berechnet. Die Geschwindigkeit wird aus der Länge des Richtungsvektoren emittelt. |2=Tipp zu b |3=Tipp zu a}}
 
{{Lösung versteckt|1= Schaue dir die Richtungsvektoren an. Sind sie kollinear?|2=Tipp zu c |3=Tipp zu c}}
 
{{Lösung versteckt|1= Nur weil sich zwei Geraden schneiden heißt es noch nicht direkt, dass eine Kollision vorherrscht|2=2. Tipp |3=2. Tipp}}
 
{{Lösung versteckt|1=
 
Flugzeug Aer:
<math>f_3: \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 50 \\ 30 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>


Flugzeug Amadeus:
<math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 98,88\\ 82,4 \\ 103\end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>


<quiz display="simple">
Flugzeug Liesbeth:
{Welche der folgenden Geraden sind windschief zueinander?}
<math>f_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 96\\ 80 \\ 100 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>  
Wobei t für die Zeit in Sekunden steht.


- <math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>
|2=Lösung Aufgabe a|3=Lösung Aufgabe a}}


+ <math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>
{{Lösung versteckt|1=
Wir berechnen die Geschwindigkeit, indem wir die Länge des Richtungsvektors berechnen. Dies erfolgt it der Formel:
<math>f_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 96\\ 80 \\ 100 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>  
Flugzeug Amadeus:
Das Flugzeug Liesbeth hat nach dem Text eine Geschwindigkeit von 160 m/s
|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}


+ <math>h_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>
{{Lösung versteckt|1=
Flugzeug Amadeus:
|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}


</quiz>
|Farbe={{Farbe|grün}}|3= Hervorhebung1}}

Version vom 18. April 2021, 12:51 Uhr

Info

In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit Geraden im Raum. Du lernst, Geraden im Raum durch Vektoren zu beschreiben, Parameterdarstellungen und Spurpunkte von Geraden zu bestimmen, die Lage von Geraden im Raum und zueinander zu bestimmen sowie Geradenscharen zu bestimmen.

Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:

  • Mit Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
  • Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit
  • und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.
Wir wünschen dir viel Erfolg!



Einführung

Parameterdarstellung einer Geraden

Aufgabe 1
Stelle eine Gleichung einer Geraden in Parameterdarstellung auf, die durch folgende Punkte verläuft: A(1/2/3), B(1/3/4)


Lagebeziehungen von Geraden

Hinweis
In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit der Lagebeziehung von Geraden im Raum.


Definition

Wir unterscheiden die Lage zweier Geraden in identisch, parallel, geschnitten und windschief. Um die Lage zweier Geraden zu ermitteln, betrachtet man zunächst die Richtungsvektoren. Sind diese zueinander kollinear (sind Vielfache voneinander), so können die Geraden lediglich identisch oder parallel sein.

Identische Geraden

Parallele Geraden

Um nun zu untersuchen, ob die Geraden parallel oder identisch sind, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden ein. Liegt der Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden, sind die Geraden identisch. Andernfalls sind die Geraden echt parallel.


Aufgabe 1: Lage erkennen

Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander?

a) und

b) und

c) und

Die erste Antwort lautet identisch. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren mit ein Vielfaches voneinander (=kollinear) sind. Da beide Ortsvektoren identisch sind, sind die Geraden identisch.
Die zweite Antwort lautet parallel. Die beiden Geraden sind parallel. Während die beiden Richtungsvektoren kollinear, sogar identisch, sind liegt der Ortsvektor von nicht auf der Geraden von, mit .
Die dritte Antwort lautet identisch. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren identisch sind () und der Ortsvektor der einen Gerade auf der anderen Gerade ist: .


Definition

Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, so können die Geraden sich lediglich schneiden oder windschief zueinander sein.

Geschnittene Geraden

Windschiefe Geraden

Um nun zu untersuchen, ob sich die Geraden schneiden oder zueinader winschief sind, müssen wir schauen, ob sich ein Schnittpunkt berechnen lässt. Hierzu setzen wir die Geradengleichungen gleich und formen um. Erhalten wir einen Schnittpunkt S, so schneiden sich die Geraden im Punkt S. Andernfalls sind diese Geraden windschief zueinander.


Aufgabe 2: Lage erkennen

Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander?

a) und

b) und

c) und

Die erste Antwort lautet schneiden. Die beiden Geraden schneiden sich im Punkt .
Die zweite Antwort lautet schneiden. Die beiden Geradenschneiden sich.
Die dritte Antwort lautet windschief. Die beiden Geraden sind windschief zueinander. Dies sehen wir daran,


Merksatz


Zwei Geraden...

sind identisch

  • Richtungsvektoren kollinear (= Vielfache voneinander)
  • Ortsvektor der einen Geraden liegt auf der anderen Geraden

sind parallel

  • Richtungsvektoren kollinear (= Vielfache voneinander)
  • Ortsvektor der einen Geraden liegt nicht auf der anderen Geraden.

schneiden sich

  • Richtungsvektoren nicht kollinear (= Vielfache voneinander)
  • Bei dem Versuch einen Schnittpunkt zu berechnen, kommt eine wahre Aussage in Form eines Punktes heraus

sind zueinander windschief

  • Richtungsvektoren nicht kollinear (= Vielfache voneinander)
  • Bei dem Versuch einen Schnittpunkt zu berechnen, kommt eine falsche Aussage heraus

.


Aufgabe 3:

Flugerlaubnis erteilen?

Ein wichtiger Bestandteil der Flugsicherung sind die Fluglotsen der "Deutschen Flugsicherung" (DFS). Sie koordinieren und überwachen jährlich Millionen Flüge im deutschen Luftraum. Am heutigen Tag wollen drei Flugzeuge starten. Hierzu gehört das Fugzeug der Marke Aer startet bei und fliegt mit einem Vektor von pro Minute. Ebenfalls möchte das Flugzeug Amadeus in die Luft. Dies startet in und befindet sich 10sek später . Das Flugzeug Liesbeth befindet sich beim Start in . Es hat eine Geschwindigkeit von 160 m/s und befindet sich nach 1 sek bei . Es kam zu einem riesigen Stromausfall und der Fluglotse ist sich unsicher. Hilf ihm die Antworten auf folgende Fragen zu finden: a) Wie lauten die Geradengleichungen der einzelen Fugzeuge? b) Welches der Flugzeuge ist das schnellste? c) Können alle Flugzeuge starten, ohne dass es zu einer Kollision kommt?

Siehe oben: Parameterdarstellung
Um die Parameterdarstellung aufzustellen, musst du wissen, wie man die Geschwindigkeit berechnet. Die Geschwindigkeit wird aus der Länge des Richtungsvektoren emittelt.
Schaue dir die Richtungsvektoren an. Sind sie kollinear?
Nur weil sich zwei Geraden schneiden heißt es noch nicht direkt, dass eine Kollision vorherrscht

Flugzeug Aer:

Flugzeug Amadeus:

Flugzeug Liesbeth:

Wobei t für die Zeit in Sekunden steht.

Wir berechnen die Geschwindigkeit, indem wir die Länge des Richtungsvektors berechnen. Dies erfolgt it der Formel: Flugzeug Amadeus:

Das Flugzeug Liesbeth hat nach dem Text eine Geschwindigkeit von 160 m/s
Flugzeug Amadeus: