Digitale Werkzeuge in der Schule/Rund ums Dreieck/Winkel an Geraden

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Einstieg

• Abbildung von vier Geraden, zwei Parallelen und zwei sich schneidenden Geraden.

Aufgabe 1: Winkel an Geraden

Betrachte die Abbildung und messe die gekennzeichneten Winkel. Was fällt dir auf? Beschreibe Auffälligkeiten.

Erinnere dich daran, dass Winkel mit dem griechischem Alphabet beschrieben werden. Typische Bezeichnungen für Winkel sind

• $\alpha$ (Alpha, griechisches a)
• $\beta$ (Beta, griechisches b)
• Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \gamme} (Gamme, griechisches g)

Wenn du weitere Buchstaben aus dem griechischem Alphabet benötigst, schaue gerne unter diesem Wikipedia-Link nach: https://de.wikipedia.org/wiki/Griechisches_Alphabet

Siehe auch

• Vorlage:Show-Hide (in englischer Sprache)

• bestimmte Winkel sind markiert
• offene Aufgabe: Was fällt auf?
• Anschließendes GeoGebra-Padlet mit der gleichen Situation; alternativ: Abbildung auf Arbeitsblatt, sodass mit dem Geodreieck gemessen werden kann.
• Aufgabe: Winkel messen => Oh wow, die sind ja gleich!

Erarbeitung

Scheitelwinkel

Aufgabe 2: Grundlagen zu Scheitelwinkeln

1. Untersuche das folgende GeoGebra-Applet, indem du dir die Winkel anzeigen lässt und die Position der Geraden veränderst. Verschiebe hierfür die Punkte A und B. 2. Beschreibe danach deine Beobachtungen, indem du den unten stehenden Lückentext ausfüllst.

(Applet von I. Schwalbe)

Wenn ich die Lage der Geraden zueinander verändere, so verändern sich auch die Winkel am Schnittpunkt. Außerdem bleiben die Winkel $\alpha$ und $\beta$ gleich groß, genau so wie die Winkel $\gamma$ und $\delta$. Zwei nebeneinander liegende Winkel addieren sich immer zu $180^\circ$. Deshalb ergibt $\alpha +\beta +\gamma +\delta=$ $360^\circ$.

Aufgabe 3: Erklärung Scheitelwinkel

Warum sind Scheitelwinkel gleich groß? Begründe deine Beobachtungen aus Aufgabe 2 in deinen eigenen Worten.

Welche der folgenden Begriffe aus der Geometrie könnten dir bei deiner Begründung helfen?

Klicke die Begriffe an, die dir helfen könnten.

	Drehung
	Spiegelung
	Verschiebung

Merksatz: Scheitelwinkel

Einfügen eines Bildes Schneiden sich zwei Geraden, so nennen wir die Winkel die sich gegenüberliegen, Scheitelwinkel. Diese Scheitelwinkel sind immer gleich groß.

Stufen- und Wechselwinkel

Aufgabe 3: Stufen- und Wechselwinkel erkunden

Werden zwei parallele Geraden betrachtet, die von einer dritten Gerade geschnitten werden, so entstehen verschiedene Winkel zwischen den Geraden. Wie du bereits in den vorherigen Aufgaben gemerkt hast, gibt es einige Winkel, die gleichgroß sind. Diese Winkel, die gleich groß sind, wollen wir nun genauer betrachten. Schaue dir hierfür die Folgenden GeoGebra-Applets an und probiere verschiedene Positionen der Geraden zueinander aus. Wie verhalten sich die Winkel zueinander?

Merksatz: Stufenwinkel

Vervollständige den Merksatz:

Stufenwinkel sind gleich groß().

(Applet von B. Lachner)

Anwendung

-Bild einfügen (Fliesenmuster Rauten, Bayern Flagge,...)

In dieser Aufgabe kannst du nun dein Wissen über die Winkelarten anwenden. Wie groß ist der Winkel $\beta$ im obigen Bild? Begründe deine Antwort, mit Hilfe deines Wissens über Stufen- und Wechselwinkel. Du kannst selber entscheiden, ob du zum Schrittweisen Lösen die Aufgaben 4a) und 4b) bearbeitest oder direkt die Frage beantwortest und begründest.

Aufgabe 4a): Anwendungsaufgabe

Bestimme die fehlenden Winkel!

Aufgabe 4b): Anwendungsaufgabe

Bestimme die fehlenden Winkel!

Transferaufgabe

Leiter an der Hauswand

Aufgabe 5: Anwendungsaufgabe

Eine Leiter steht an einer Hauswand, so dass sie mit dem Dach eine gerade Linie bildet. Es soll nun der Winkel $\gamma$ zwischen dem Schornstein und dem Dach bestimmt werden.

Es kann helfen sich als erstes zu überlegen, wo es denn Geraden und Winkel geben könnte und diese einzuzeichnen. Gibt es irgendwo parallele Geraden? Dazu kann es hilfreich sein sich zu überlegen in welchem Winkel die Hauswand und der Schornstein (beziehungsweise eine Verlängerung des Schornsteins) auf den Boden treffen

Die Leiter, der Boden und die rechte Hauswand bilden ein Dreieck. Zeichne es ein und überleg dir wie groß die Innenwinkel sind.

- Bild mit eingezeichneten Winkeln und Geraden einfügen

Hauswand, Leiter und Boden bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Die Summe der Innenwinkel beträgt 180°, damit lässt sich der Winkel $\beta$ bestimmen. Der Winekl $\beta$ ist ein Wechselwinkel zu dem Winkel $\gamma$.