Digitale Werkzeuge in der Schule/Pyramiden entdecken/Pyramiden verknüpfen: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:Bauarbeiter.jpg|rahmenlos]]
{{Box
 
|1=Info
Dieser Lernpfad befindet sich aktuell im Aufbau.
|2=In diesem Lernpfadkapitel kannst du dein bereits erworbenes Wissen zum Thema Pyramiden vertiefen. Zudem lernst du mithilfe des Satzes von Pythagoras verschiedene Größen einer Pyramide zu berechnen.
 
{{Box|1=Info|2=


Herzlich Willkommen in dem Kapitel „Pyramiden verknüpfen“!
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
 
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
Hier kannst du dein bereits erworbenes Wissen zum Thema Pyramiden vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
 
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
|3=Kurzinfo}}  
* Aufgaben, die mit einem &#x2B50; gekennzeichnet sind, sind nur für den E-Kurs gedacht.
Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}


__TOC__


===Checkliste - Das brauchst du===
===Checkliste - Das brauchst du===
{{Box|1=Checkliste|2=
{{Box|1=Checkliste|2=
Für dieses Kapitel solltest du...
Für dieses Kapitel solltest du...


* die Oberfläche einer Pyramide berechnen können (siehe Kapitel "Pyramiden vermessen").
* die Oberfläche einer Pyramide berechnen können (siehe Kapitel [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Pyramiden entdecken/Pyramiden vermessen|Pyramiden vermessen]]).


* den Satz des Pythagoras anwenden können.
* den Satz des Pythagoras anwenden können.
|3=Hervorhebung1}}  
|3=Hervorhebung1}}  


Falls du den Satz des Pythagoras noch einmal wiederholen möchtest, kannst du dein Wissen in Aufgabe 1 auffrischen. Wenn du dich schon sicher im Umgang mit dem Satz des Pythagoras fühlst, kannst du direkt mit Aufgabe 2 fortfahren.
{{Box
|1=Info
|2= Falls du den Satz des Pythagoras noch einmal wiederholen möchtest, kannst du dein Wissen in Aufgabe 1 auffrischen. Wenn du dich schon sicher im Umgang mit dem Satz des Pythagoras fühlst, kannst du direkt mit Aufgabe 2 fortfahren.
|3=Kurzinfo}}


===Satz des Pythagoras===
===Satz des Pythagoras===
{{Box|Aufgabe 1: Wiederholung des Satzes von Pythagoras|
{{Box|Aufgabe 1: Wiederholung des Satzes von Pythagoras|
'''a)''' Ergänze den Lückentext mit den bereits bekannten Begriffen des Satzes von Pythagoras.


[[Datei:About icon (The Noun Project).svg|15px|middle]] Klicke zum Ausfüllen auf die Lücken und wähle aus den angegebenen Vorschlägen aus. Kontrolliere deine Lösung mit dem blauen Haken.
{{LearningApp|width=100%|height=300px|app=p5zieoapa22}}


<big>'''a)'''</big>
'''b)''' Berechne den Flächeninhalt des roten Quadrats.  
Ergänze den Lückentext mit den bereits bekannten Begriffen des Satzes von Pythagoras.


[[Datei:About icon (The Noun Project).svg|15px|middle]]  
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]]'''zurück zum Arbeitsblatt'''
Klicke zum Ausfüllen auf die Lücken und wähle aus den angegebenen Vorschlägen aus. Kontrolliere deine Lösung mit dem blauen Haken.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p5zieoapa22}}


[[Datei:Flächenberechnung im rechtwinkligen Dreieck.png|zentriert|rahmenlos]]


<big>'''b)'''</big>
{{Lösung versteckt|1=Schau dir die Abbildung an. Kannst du die Abbildung auf die Aufgabe beziehen?
Berechne den Flächeninhalt des roten Quadrats.  


[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] Nutze für die Berechnung das Arbeitsblatt „Pyramiden verknüpfen“.
[[Datei:Satz des Pythagoras.jpg|zentriert |rahmenlos |500px]] In diesem Beispiel gilt: <math>4^2 + 3^2 = 5^2</math>.|2= Tipp 1 zu b) anzeigen|3= Tipp 1 zu b) verbergen}}


{{Lösung versteckt|1= Für den Flächeninhalt <math>A</math> eines Quadrats mit der Seitenlänge <math>a</math> gilt:


<math>A = a^2</math>.


[[Datei:Flächenberechnung im rechtwinkligen Dreieck.png|zentriert|rahmenlos]]
|2=Tipp 2 zu b) anzeigen|3=Tipp 2 zu b) verbergen}}


{{Lösung versteckt|1= Schau dir das Applet an. Kannst du das Applet auf die Aufgabe beziehen?
{{Lösung versteckt|1=
<math>\begin{align}
                & & (4 \text{ cm})^2 + b^2 &= 21 \text{ cm}^2                    & &\mid - (4 \text{ cm})^2\\
\Leftrightarrow & &                    b^2 &= 21 \text{ cm}^2 - (4 \text{ cm})^2 \\
\Leftrightarrow & &                    b^2 &= 21 \text{ cm}^2 - 16 \text{ cm}^2 \\
\Leftrightarrow & &                    b^2 &= 5  \text{ cm}^2
\end{align}</math>


[[Datei:About icon (The Noun Project).svg|15px|middle]]
Der Flächeninhalt des roten Quadrats beträgt <math>5 \text{ cm}^2</math>.
Du kannst die Eckpunkte A, B und C des Dreiecks verschieben und dir so den Satz des Pythagoras veranschaulichen.
|2=Lösung zu b) anzeigen|3=Lösung zu b) verbergen}}
<div style="width:calc(100% - 1rem); height:0; padding-bottom:90%;"><ggb_applet
|Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}}}}
id="XskUNRuf" width="554" height="500"/></div>|2=1. Tipp anzeigen|3=1. Tipp verbergen}}


{{Lösung versteckt|1= Merke: Für den Flächeninhalt A eines Quadrats mit der Seitenlänge a gilt: <math>A = a^2</math>. |2=2. Tipp anzeigen|3=2. Tipp verbergen}}
===Anwendungsaufgaben===
{{Box
|Aufgabe 2: Sightseeing in Paris 1 - Der Louvre
|[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''


{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Parigi - Pyramide du Louvre - panoramio.jpg|mini|Glaspyramide im Innenhof des Louvre.]] Du machst mit deiner Familie Urlaub in Paris und besichtigst einige Sehenswürdigkeiten. Zuerst nehmt ihr an einer Führung durch das berühmte Museum ''Louvre'' teil. Das nebenstehende Bild zeigt die im Innenhof des Louvre stehende Glaspyramide mit quadratischer Grundfläche.
 
Während eurer Führung durch das Museum stellt eine Touristin folgende Frage: "Wie lang sind die Edelstahlträger an den Seitenkanten der Pyramide?" Der Touristenführer weiß nur, dass die Pyramide 21 Meter hoch ist.
 
'''a)''' Beurteile, ob diese Angabe genügt, um die Länge eines Stahlträgers zu berechnen. Falls dem nicht so ist, gib Größen an, die zusätzlich benötigt werden.
'''b)''' Ein anderer Tourist findet im Internet eine Angabe zur Seitenlänge der quadratischen Grundfläche von 35 Metern. Berechne mithilfe der gegeben Größen die Länge eines Stahlträgers an der Seitenkante der Pyramide.
{{Lösung versteckt|1=Zeichne zur Veranschaulichung eine passende Pyramide auf dein Arbeitsblatt.|2=Tipp 1 zu b) anzeigen|3=Tipp 1 zu b) verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Du kannst zur Berechnung der gesuchten Seite den Satz des Pythagoras beliebig oft anwenden.|2=Tipp 2 zu b) anzeigen|3=Tipp 2 zu b) verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir Hilfsdreiecke innerhalb der Pyramide, in denen du den Satz des Pythagoras anwenden kannst.|2= Tipp 3 zu b) anzeigen|3=Tipp 3 zu b) verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Im nachstehenden GeoGebra-Applet kannst du dir durch das Anklicken der einzelnen Boxen mögliche Hilfsdreiecke anzeigen lassen.
<div style="width:calc(100% - 1rem); height:0; padding-bottom:51%;"><ggb_applet id="kqmcb8yu" width="2560" height="1300" sdz="false" /></div>
|2=Tipp 4 zu b) anzeigen|3=Tipp 4 zu b) verbergen}}


<math>(4 \text{ cm})^2 + b^2 = 21\text{ cm}^2</math>
{{Lösung versteckt|1= Gegeben sind die Höhe der Pyramide mit <math>h=21~\mathrm{m}</math> und die Seitenlänge der Grundfläche mit <math>a=35~\mathrm{m}</math>.


<math>\Leftrightarrow b^2 = 21 \text{ cm}^2 - (4 \text{ cm})^2</math>
Du kannst verschiedene Kombinationen an Hilfsdreiecken nutzen, um die Länge eines Stahlträgers zu bestimmen.


<math>\Leftrightarrow b^2 = 21 \text{ cm}^2 - 16 \text{ cm}^2</math>
Im Folgenden zeigen wir eine dieser Möglichkeiten.


<math>\Leftrightarrow b^2 = 5 \text{ cm}^2</math>
Zunächst berechnen wir Diagonalenlänge <math>d_a</math> der Pyramidengrundfläche mit Hilfe des Satzes des Pythagoras:
<math>
\begin{align}
                & &  (35~\mathrm{m})^2+ (35~\mathrm{m})^2 &=d_a^2        & &\mid \text{Termumformung}\\
\Leftrightarrow & &                    2450~\mathrm{m}^2 &=d_a^2        & &\mid \sqrt{} \\
\Leftrightarrow & &              \sqrt{2450~\mathrm{m}^2} &=d_a          & &\mid \text{Termumformung}\\
\Leftrightarrow & &                    49{,}50~\mathrm{m} &\approx d_a  & &
\end{align}
</math>


|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
Nun betrachten wir das Dreieck bestehend aus der Seite <math>\frac{d_a}{2}</math>, der Höhe <math>h=21~\mathrm{m}</math> der Pyramide und der Seitenkante <math>s</math>. Mithilfe des Satzes des Pythagoras lässt sich <math>s</math> berechnen:


|Arbeitsmethode}}
<math>
\begin{align}
                & &                                \left(\frac{d_a}{2}\right)^2+ h^2 &=s^2 & &\mid \sqrt{}\\
\Leftrightarrow & &                          \sqrt{\left(\frac{d_a}{2}\right)^2+ h^2} &=s  & &\mid \text{Werte einsetzen} \\
\Leftrightarrow & & \sqrt{\left(\frac{49{,}50~\text{m}}{2}\right)^2+ (21~\text{m})^2} &=s  & &\mid \text{Termumformung}\\
\Leftrightarrow & &                                                32{,}46~\mathrm{m} &\approx s & &
\end{align}
</math>


Die Länge eines Stahlträgers der Pyramide beträgt demnach etwa <math>32{,}46~\mathrm{m}^2 </math>.|2=Lösung zu b) anzeigen|3=Lösung zu b) verbergen}}


<br />
'''c)''' Ebenfalls kam die Frage auf, wie viele Quadratmeter Glasfläche die Reinigungsfirma von außen putzen muss. Beantworte die Frage durch mathematische Rechnungen.


{{Box
{{Lösung versteckt|1=Die Größe der Glasfläche entspricht der Mantelfläche der Pyramide.|2=Tipp 1 zu c) anzeigen|3=Tipp 1 zu c) verbergen}}
|Aufgabe 2: Sightseeing in Paris 1 - Der Louvre
|[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] Nutze für diese Aufgabe das Arbeitsblatt „Pyramiden verknüpfen“.
[[Datei:Parigi - Pyramide du Louvre - panoramio.jpg|mini|Glaspyramide im Innenhof des Louvre.]]


{{Lösung versteckt|1=Verwende die berechnete Länge eines Stahlträgers aus Aufgabenteil b) und bestimme damit in einem geeigneten Hilfsdreieck die Seitenhöhe der Pyramide.|2=Tipp 2 zu c) anzeigen|3=Tipp 2 zu c) verbergen}}


Du machst mit deiner Familie Urlaub in Paris und besichtigst einige Sehenswürdigkeiten. Zuerst nehmt ihr an einer Führung durch das berühmte Museum ''Louvre'' teil. Das nebenstehende Bild zeigt die im Innenhof des Louvre stehende Glaspyramide mit quadratischer Grundfläche.
{{Lösung versteckt|1=Im nachstehenden GeoGebra-Applet kannst du dir durch das Anklicken der einzelnen Boxen verschiedene Hilfsdreiecke in der Pyramide anzeigen lassen. Suche das geeignete Hilfsdreieck, um die Seitenhöhe zu berechnen.


Während eurer Führung durch das Museum stellt eine Touristin folgende Frage: „Wie lang sind die Edelstahlträger an den Seitenkanten der Pyramide?" Der Touristenführer weiß nur, dass die Pyramide 21 Meter hoch ist. 
<div style="width:calc(100% - 1rem); height:0; padding-bottom:51%;"><ggb_applet id="kqmcb8yu" width="2560" height="1300" sdz="false" /></div>
|2=Tipp 3 zu c) anzeigen|3=Tipp 3 zu c) verbergen}}


'''a)''' Untersuche, ob diese Angabe genügt, um die Länge eines Stahlträgers zu berechnen. Falls dem nicht so ist, gib Größen an, die zusätzlich benötigt werden.
{{Lösung versteckt|1=
Es wird der Satz des Pythagroas auf das Dreieck, welches aus einer Seitenkante <math> s \approx 32{,}46~\mathrm{m}</math> der Pyramide, der Höhe der Pyramidenseite <math> h_a </math> und der Hälfte der Seitenlänge der Grundfläche <math> \frac{a}{2} = \frac{35~\mathrm{m}}{2} </math> besteht, angewendet.
'''b)''' Ein anderer Tourist findet im Internet eine Angabe zur Seitenlänge der quadratischen Grundfläche von 35 Metern. Berechne mithilfe der gegeben Größen die Länge eines Stahlträgers an der Seitenkante der Pyramide.
{{Lösung versteckt|1=Zeichne zur Veranschaulichung eine passende Pyramide auf dein Arbeitsblatt. Du kannst zur Berechnung der gesuchten Seite den Satz des Pythagoras beliebig oft anwenden.|2=1. Tipp anzeigen|3=1. Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir Hilfsdreiecke innerhalb der Pyramide, in denen du den Satz des Pythagoras anwenden kannst.|2=2. Tipp anzeigen|3=2. Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Im nachstehenden GeoGebra-Applet kannst du dir durch das Anklicken der einzelnen Boxen mögliche Hilfsdreiecke anzeigen lassen.


<div style="width:calc(100%-1rem);height:0;padding-bottom:57%;"><ggb_applet id="jv72smtn" width="700" height="400" /></div>|2=3. Tipp anzeigen|3=3. Tipp verbergen}}
Damit folgt für die Höhe der Pyramidenseite <math> h_a </math>:


{{Lösung versteckt|1= Die Länge eines Stahlträgers der Pyramide beträgt etwa <math>32,46~\mathrm{m}^2 </math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
<math>
\begin{align}
                & &  h_a^2+ \left(\frac{35~\mathrm{m}}{2}\right)^2 &= s^2    & & \mid -\left(\frac{35~\mathrm{m}}{2}\right)^2 \\
\Leftrightarrow & &  h_a^2 &= s - \left(\frac{35~\mathrm{m}}{2}\right)^2      & &\mid \sqrt{}\\
\Leftrightarrow & &  h_a &= \sqrt{ s^2 - \left(\frac{35~\mathrm{m}}{2}\right)^2}  & & \mid \text{Werte einsetzen} \\
\Leftrightarrow & &  h_a &\approx \sqrt{ (32{,}46~\mathrm{m})^2 - (17{,}5~\mathrm{m})^2}          & & \mid \text{Termumformung}\\
\Leftrightarrow & &  h_a &\approx 27{,}34~\mathrm{m}      & &
\end{align}
</math>


'''c)''' Ebenfalls kam die Frage auf, wie viele Quadratmeter Glasfläche die Reinigungsfirma von außen putzen muss. Beantworte die Frage durch mathematische Rechnungen.
Die Fläche einer Glaswand <math> A_\text{Seitenfläche} </math> wird wie folgt berechnet:
  {{Lösung versteckt|1=Die Größe der Glasfläche entspricht der Mantelfläche der Pyramide.|2=1. Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}
<math>
{{Lösung versteckt|1=Du kannst die berechnete Länge eines Stahlträgers aus b) verwenden und damit in einem geeigneten Hilfsdreieck die Seitenhöhe der Pyramide bestimmen.|2=2. Tipp anzeigen|3=2. Tipp verbergen}}
\begin{align}
{{Lösung versteckt|1=Eine Glaswand besitzt eine Fläche von etwa <math>27,34~\mathrm{m}^2 </math>. Die gesamte Glasfläche der Pyramide beträgt demnach rund <math> 109,34~\mathrm{m}^2 </math>. |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
                & & A_\text{Seitenfläche} &=  h_a \cdot \frac{35~\mathrm{m}}{2}           & & \mid \text{Werte einsetzen} \\
\Leftrightarrow & &  A_\text{Seitenfläche} &\approx 27{,}34~\mathrm{m} \cdot 17{,}5~\mathrm{m}      & &\mid \text{Termumformung}  \\
\Leftrightarrow & & A_\text{Seitenfläche} &\approx 478{,}45~\mathrm{m}^2 & &
\end{align}
</math>


Die gesamte Glasfläche der Pyramide <math> M </math> besteht aus vier identischen Glaswandflächen <math> A_\text{Seitenfläche} \approx 478{,}45~\mathrm{m}^2</math>:
<math>
\begin{align}
                & &  M &= 4 \cdot A_\text{Seitenfläche}            & & \mid \text{Werte einsetzen}  \\
\Leftrightarrow & &    M &\approx 4 \cdot 478{,}45~\mathrm{m}^2    & & \mid \text{Termumformung}  \\
\Leftrightarrow & &  M &\approx 1913{,}8~\mathrm{m}^2  & &
\end{align}
</math>


'''d)''' Erkennst du in deiner Rechnung aus b) und c) verschiedene Teilschritte? Markiere und benenne sie in deinen Aufzeichnungen.
Damit besitzt eine Glaswand eine Fläche von etwa <math>478{,}45~\mathrm{m}^2 </math>. Die gesamte Glasfläche der Pyramide beträgt demnach rund <math> 1913{,}8~\mathrm{m}^2 </math>. |2=Lösung zu c) anzeigen|3=Lösung zu c) verbergen}}


'''d)''' Vergleiche deine Vorgehensweise in den Aufgabenteilen b) und c) hinsichtlich gemeinsamer Teilschritte. Markiere und benenne diese in deinen Aufzeichnungen.
|Arbeitsmethode}}
|Arbeitsmethode}}


{{Box|1=Checkliste zur Bestimmung der Mantelfläche|2=
{{Box|1=|Aufgabe 3: Checkliste zur Bestimmung der Mantelfläche|2=
In Aufgabe 4 hast du bereits eine Möglichkeit zur Bestimmung der Mantelfläche einer Pyramide erkundet.
In Aufgabe 2 hast du bereits eine Möglichkeit zur Bestimmung der Mantelfläche einer Pyramide erkundet und in Aufgabenteil 2d) auch schon angefangen, die dazu nötige Vorgehensweise zu beschreiben.


In dem folgenden Applet wird die allgemeine Vorgehensweise noch einmal zusammengefasst. Bringe die einzelnen Teilschritte in die richtige Reihenfolge und übertrage die Checkliste anschließend auf dein Arbeitsblatt.
'''a)''' In dem folgenden Applet wird die allgemeine Vorgehensweise noch einmal zusammengefasst. Bringe die einzelnen Teilschritte in die richtige Reihenfolge.  


{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p74tsoa4c22}}
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p74tsoa4c22}}


|3=Hervorhebung1}}
'''b)''' [[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''


Übertrage die Checkliste auf das Arbeitsblatt "Pyramiden verknüpfen".
|3=Arbeitsmethode}}


{{Box
{{Box
|Aufgabe 3: Sightseeing in Paris 2 - Der Eiffelturm
|1=Aufgabe 4 &#x2B50;: Sightseeing in Paris 2 - Der Eiffelturm
|[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] Nutze für deine Berechnungen das Arbeitsblatt „Pyramiden verknüpfen“.
|2=[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''
 
[[Datei:Tour Eiffel Wikimedia Commons.jpg|120px|mini|Eiffelturm]]


Als nächster Stopp steht der Eiffelturm auf eurer Liste.
Als nächster Stopp steht der Eiffelturm auf eurer Liste.


[[Datei:Tour Eiffel Wikimedia Commons.jpg|120px|mini|Eiffelturm]]
Das Gerüst des Eiffelturms wird momentan erneuert. Damit es für die Touristen trotzdem attraktiv bleibt, ist der untere Teil bis zur ersten Etage von einem Banner bedeckt, welches den renovierten Eiffelturm darstellen soll. Du möchtest gerne wissen, wie viel Stoff für das Banner benötigt wird. Dazu entnimmst du einer Informationstafel am Eiffelturm einige wichtige Maße des Bauwerks und bemerkst dabei, dass dir noch Daten zur Berechnung fehlen. Zunächst nimmst du an, dass die erste Etage um die Breite eines Fußes eingerückt ist. Berechne näherungsweise die Stoffmenge des Banners und triff gegebenenfalls weitere Annahmen.
 
[[Datei:Eiffelturm mit technischen Daten.png|zentriert | rahmenlos | 400px | thumb]]
 
{{Lösung versteckt|1= Schätze anhand der obigen Skizze des Eiffelturms die Breite der 1. Etage.
|2=Tipp 1 anzeigen |3= Tipp 1 verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1= Kannst du im Eiffelturm eine Pyramide entdecken?
|2=Tipp 2 anzeigen |3= Tipp 2 verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1= Der Eiffelturm besitzt bis zur 1. Etage die Form eines Pyramidenstumpfes. Den Pyramidenstumpf kannst du der unten stehenden Skizze entnehmen. Überlege dir anhand der Skizze welche Größen du schon kennst und welche Größen du noch bestimmen musst.
[[Datei:Eiffelturm mit Pyramidenstumpf.jpg| zentriert | rahmenlos | 250px | thumb]]
|2=Tipp 3 anzeigen |3= Tipp 3 verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1= Zur Berechnung des Flächeninhalts eines Trapezes benötigst du die Seitenhöhe des Pyramidenstumpfes. Die Seitenhöhe entspricht der lila Strecke in der unterstehenden Skizze. Konstruiere ein passendes Hilfsdreieck und wende den Satz des Pythagoras an.
[[Datei:Eiffelturm mit Stütze und Pyramidenstumpf.jpg| zentriert | rahmenlos | 250px | thumb]]
|2=Tipp 4 anzeigen |3= Tipp 4 verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1= Der Flächeninhalt <math>A_T</math> eines Trapezes wird über die folgende Formel berechnet:
<math>A_T= \frac{1}{2} (a+c) \cdot h</math>.
 
[[Datei:Trapez mit Höhe.png|zentriert | rahmenlos | 300px | thumb]]
 
|2=Tipp 5 anzeigen |3= Tipp 5 verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Eiffelturm mit Pyramidenstumpf und Hilfsdreieck.jpg|zentriert | rahmenlos | 500px | thumb]]
 
Die Breite der ersten Etage kann anhand der Breite des Torbogens auf <math>74{,}24 ~\text{m}</math> geschätzt werden. Die <span style="color:darkred">'''Länge eines Fußes'''</span> des Eiffelturms wird über die folgende Gleichung bestimmt:
<math>l_\text{Fuß} = \frac{124{,}90 ~\text{m} - 74{,}24 ~\text{m}}{2} =  25{,}33 ~\text{m}</math>.
Die Seitenhöhe <math>h_a</math> des Trapezes wird über den Satz des Pythagoras bestimmt. Es gilt:


Da momentan das Gerüst des Eiffelturms erneuert wird, dienen 4 Stützen in den Torbögen als Stabilisierung. Du möchtest gerne wissen, wie lang diese Stützen sind. Dazu entnimmst du einer Informationstafel am Eiffelturm einige wichtige Maße des Bauwerks und versuchst die Berechnung näherungsweise anhand einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche durchzuführen.
<math>\begin{align}
                & & h_a^2&=(57{,}64 ~\text{m})^2 + (25{,}33 ~\text{m})^2  & &\mid \sqrt{}  \\
\Leftrightarrow & &  h_a&=\sqrt{(57{,}64 ~\text{m})^2 + (25{,}33 ~\text{m})^2}          \\
\Leftrightarrow & &  h_a &\approx 62{,}96 ~\text{m}          \\
\end{align}</math>


Nun kann der Flächeninhalt <math>A_T</math> des Trapezes berechnet werden:


Du hast anhand der Daten eine Skizze angefertigt und schätzt die Höhe der Pyramide (grün) auf 140m. Die Stützen hast du in deiner Zeichnung lila markiert.
<math>\begin{align}
A_T &= \frac{1}{2} (74{,}24 ~\text{m} + 124{,}90 ~\text{m})\cdot 62{,}96 ~\text{m} \\
    &\approx 6268{,}93 ~\text{m}^2 \\
\end{align}</math>


{{Lösung versteckt|1= Du benötigst eine zweite Hilfspyramide zur Berechnung. Diese ist in der folgenden Abbildung orange gekennzeichnet. |2=1. Tipp anzeigen |3=1. Tipp verbergen}}
Der Flächeninhalt der vier Trapeze entspricht somit:


{{Lösung versteckt|1= Die Stützen haben eine Länge von 44,85 Metern. |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
<math>\begin{align}
A_{\text{Banner}} &= 4 \cdot A_T \\
&=4 \cdot 6268{,}93 ~\text{m}^2 \\
&= 25075{,}72 ~\text{m}^2 \\
\end{align}</math>


Die benötigte Fläche der vier Banner beträgt somit <math>A_{\text{Banner}} = 25075{,}72 ~\text{m}^2</math>.


|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
| 3=Arbeitsmethode}}
| 3=Arbeitsmethode}}


{{Box
{{Box
|Aufgabe 4: Der Würfel
|1=Aufgabe 5 &#x2B50;: Der Würfel
|[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] Nutze für diese Aufgabe das Arbeitsblatt „Pyramiden verknüpfen“.
|2=[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''


Der unten abgebildete Würfel lässt sich aus 6 regelmäßigen, gleichartigen Pyramiden zusammensetzen.


Der unten abgebildete Würfel lässt sich aus mehreren gleichartigen Pyramiden zusammensetzen.
[[Datei:Würfel Seitenlänge 6 cm.png|zentriert | rahmenlos| 300px | thumb]]


<big>'''a)'''</big> Beschreibe wie sich der Würfel aus den Pyramiden zusammensetzen lässt, wie viele du benötigst, um den Würfel auszufüllen und wie diese Pyramiden aussehen.
'''a)''' Beschreibe wie sich der Würfel aus den Pyramiden zusammensetzen lässt und wie diese Pyramiden aussehen.


{{Lösung versteckt|1= Überlege dir eine naheliegende Form für die Grundfläche der Pyramide. |2=1. Tipp anzeigen|3=1. Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= Überlege dir eine naheliegende Form für die Grundfläche der Pyramiden. |2=Tipp 1 zu a) anzeigen|3=Tipp 1 a) verbergen}}


{{Lösung versteckt|1= Die Seitenfläche des Würfels entspricht der quadratischen Grundfläche der Pyramide. |2=2. Tipp anzeigen|3=2. Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= Die Seitenfläche des Würfels entspricht der quadratischen Grundfläche der Pyramiden. |2=Tipp 2 zu a) anzeigen|3=Tipp 2 zu a) verbergen}}


{{Lösung versteckt|1= Schau dir das Applet an und setze Haken an den verschieden nummerierten Pyramiden, indem du in die leeren Kästchen klickst. Du siehst nun wie die jeweilige Pyramide in dem Würfel liegt und wie alle Pyramiden ihn zusammen ausfüllen.
{{Lösung versteckt|1= Schau dir das Applet an und setze Haken an den verschieden nummerierten Pyramiden, indem du in die leeren Kästchen klickst. Du siehst nun wie die jeweilige Pyramide in dem Würfel liegt und wie alle Pyramiden ihn zusammen ausfüllen.
Zeile 151: Zeile 255:
Kannst du dir nun besser vorstellen, wie die gesuchte Pyramide aussieht?
Kannst du dir nun besser vorstellen, wie die gesuchte Pyramide aussieht?


<div style="width:calc(100% - 1rem); height:0; padding-bottom:50%;"><ggb_applet
<div style="width:calc(100% - 1rem); height:0; padding-bottom:50%;"><ggb_applet id="utuufrpf" width="1000" height="500"/></div>
|2=Tipp 3 zu a) anzeigen|3= Tipp 3 zu a) verbergen}}


id="utuufrpf" width="664" height="332"/></div>|2=3. Tipp anzeigen|3=3. Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=  
Hast du als Lösung eine Zeichnung angefertigt, dann sollte diese ungefähr so aussehen:
[[Datei:Würfel aus Pyramiden und einzelne Pyramide.png|zentriert | rahmenlos | 500px | thumb]]


Es ist auch eine Möglichkeit das Aussehen der Pyramiden und die Lage der 6 Pyramiden im Würfel mit Worten zu beschreiben. Dies könnte wie folgt lauten:
<big>'''b)'''</big> Welche Höhe hat die Pyramide?
 
Die Pyramiden besitzen eine quadratische Grundfläche mit einer Seitenlänge von 6 cm und sind symmetrisch.
Der Würfel lässt sich aus 6 solchen Pyramiden zusammensetzen, indem die Seitenflächen des Würfels die Grundflächen der Pyramiden darstellen. Die Spitzen der 6 Pyramiden treffen sich im Mittelpunkt des Würfels.
|2=Lösung zu a) anzeigen|3=Lösung zu a) verbergen}}
 
'''b)''' Welche Höhe hat die Pyramide?
 
{{Lösung versteckt|1= Sieh dir noch einmal den Tipp 3 in Teilaufgabe a) ganz genau an. |2=Tipp 1 zu b) anzeigen|3= Tipp 1 zu b) verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1= Die Spitzen der Pyramiden treffen sich im Mittelpunkt des Würfels. Somit sind zwei Pyramiden, die aufeinander stehen, genauso hoch wie der Würfel (<math>6~\text{cm}</math>). Daraus ergibt sich, dass die Pyramiden eine Höhe von <math>3~\text{cm}</math> haben. |2=Lösung zu b) anzeigen|3=Lösung zu b) verbergen}}
 
'''c)''' Berechne die Länge der orange markierten Strecke <math> h_a </math>. Runde dabei auf 2 Nachkommastellen genau.
 
[[Datei:Pyramide mit Seitenhöhe.png|zentriert | rahmenlos | 300px | thumb]]


{{Lösung versteckt|1= Sieh dir noch einmal den 3. Tipp in Teilaufgabe a) ganz genau an. |2=1. Tipp anzeigen|3=1. Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= Anhand des Würfels und der gegebenen Seitenlänge <math>a</math> kannst du alle Größen herausfinden, die du zur Berechnung benötigst. Du brauchst die Seitenlänge der Grundfläche, sowie die Höhe der Pyramide. |2=Tipp 1 zu c) anzeigen |3=Tipp 1 zu c) verbergen}}


{{Lösung versteckt|1= Die Pyramide hat eine Höhe von 3cm. |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= Du benötigst den Satz des Pythagoras zur Berechnung der Länge der Seite <math>h_a</math> . |2=Tipp 2 zu c) anzeigen|3=Tipp 2 zu c) verbergen}}


{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Pyramide mit Hilfsdreieck.png|zentriert | rahmenlos | 400px | thumb]]


<big>'''c)'''</big> Berechne die Länge der orange markierten Strecke. Runde dabei auf 2 Nachkommastellen genau.
Mit Hilfe des Satzes des Pythagoras ergibt sich die folgende Formel:


{{Lösung versteckt|1= Anhand des Würfels und der gegebenen Seitenlänge a kannst du alle Größen herausfinden, die du zur Berechnung benötigst. Du brauchst die Seitenlänge der Grundfläche, sowie die Höhe der Pyramide. |2=1. Tipp anzeigen |3=1. Tipp verbergen}}
<math> (h_a)^{2}=h^2+\biggl(\frac{1}{2}\cdot a\biggr)^2 </math>.


{{Lösung versteckt|1= Du benötigst den Satz des Pythagoras zur Berechnung der Seitenlänge. |2=2. Tipp anzeigen|3=2. Tipp verbergen}}
Setzen wir nun, die uns bekannten Werte für <math> h </math> und <math> a </math> ein, so erhalten wir:
<math>
\begin{align}
                & & h_a^2 &= 3^2 + \left(\frac{1}{2}\cdot 6\right)^2 & & \mid \text{Termumformung}\\
\Leftrightarrow & & h_a^2 &= 3^2 + 3^2                              & &\mid \text{Termumformung}\\
\Leftrightarrow & & h_a^2 &= 18                                      & & \mid \sqrt{}\\
\Leftrightarrow & &  h_a &\approx 4{,}24                            & &
\end{align}
</math>


{{Lösung versteckt|1= Die orangene Strecke ist 4,24cm lang. |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
Die orangene Strecke ist <math>4{,}24~\text{cm}</math> lang. |2=Lösung zu c) anzeigen|3=Lösung zu c) verbergen}}


| 3=Arbeitsmethode}}
| 3=Arbeitsmethode}}
{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Pyramiden entdecken#Kapitelauswahl}}
{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Aktuelle Version vom 28. November 2022, 16:29 Uhr

Info

In diesem Lernpfadkapitel kannst du dein bereits erworbenes Wissen zum Thema Pyramiden vertiefen. Zudem lernst du mithilfe des Satzes von Pythagoras verschiedene Größen einer Pyramide zu berechnen.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

  • In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
  • Aufgaben in pinker Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
  • Und Aufgaben mit lilanem Streifen sind Knobelaufgaben.
  • Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den E-Kurs gedacht.
Viel Erfolg!

Checkliste - Das brauchst du

Checkliste

Für dieses Kapitel solltest du...

  • den Satz des Pythagoras anwenden können.


Info
Falls du den Satz des Pythagoras noch einmal wiederholen möchtest, kannst du dein Wissen in Aufgabe 1 auffrischen. Wenn du dich schon sicher im Umgang mit dem Satz des Pythagoras fühlst, kannst du direkt mit Aufgabe 2 fortfahren.

Satz des Pythagoras

Aufgabe 1: Wiederholung des Satzes von Pythagoras

a) Ergänze den Lückentext mit den bereits bekannten Begriffen des Satzes von Pythagoras.

About icon (The Noun Project).svg Klicke zum Ausfüllen auf die Lücken und wähle aus den angegebenen Vorschlägen aus. Kontrolliere deine Lösung mit dem blauen Haken.


b) Berechne den Flächeninhalt des roten Quadrats.

Grundlagen-bearbeiten.pngzurück zum Arbeitsblatt

Flächenberechnung im rechtwinkligen Dreieck.png

Schau dir die Abbildung an. Kannst du die Abbildung auf die Aufgabe beziehen?

Satz des Pythagoras.jpg
In diesem Beispiel gilt: .

Für den Flächeninhalt eines Quadrats mit der Seitenlänge gilt:

.

Der Flächeninhalt des roten Quadrats beträgt .

Anwendungsaufgaben

Aufgabe 2: Sightseeing in Paris 1 - Der Louvre

Grundlagen-bearbeiten.png zurück zum Arbeitsblatt

Glaspyramide im Innenhof des Louvre.
Du machst mit deiner Familie Urlaub in Paris und besichtigst einige Sehenswürdigkeiten. Zuerst nehmt ihr an einer Führung durch das berühmte Museum Louvre teil. Das nebenstehende Bild zeigt die im Innenhof des Louvre stehende Glaspyramide mit quadratischer Grundfläche.

Während eurer Führung durch das Museum stellt eine Touristin folgende Frage: "Wie lang sind die Edelstahlträger an den Seitenkanten der Pyramide?" Der Touristenführer weiß nur, dass die Pyramide 21 Meter hoch ist.

a) Beurteile, ob diese Angabe genügt, um die Länge eines Stahlträgers zu berechnen. Falls dem nicht so ist, gib Größen an, die zusätzlich benötigt werden.

b) Ein anderer Tourist findet im Internet eine Angabe zur Seitenlänge der quadratischen Grundfläche von 35 Metern. Berechne mithilfe der gegeben Größen die Länge eines Stahlträgers an der Seitenkante der Pyramide.

Zeichne zur Veranschaulichung eine passende Pyramide auf dein Arbeitsblatt.
Du kannst zur Berechnung der gesuchten Seite den Satz des Pythagoras beliebig oft anwenden.
Überlege dir Hilfsdreiecke innerhalb der Pyramide, in denen du den Satz des Pythagoras anwenden kannst.

Im nachstehenden GeoGebra-Applet kannst du dir durch das Anklicken der einzelnen Boxen mögliche Hilfsdreiecke anzeigen lassen.

GeoGebra

Gegeben sind die Höhe der Pyramide mit und die Seitenlänge der Grundfläche mit .

Du kannst verschiedene Kombinationen an Hilfsdreiecken nutzen, um die Länge eines Stahlträgers zu bestimmen.

Im Folgenden zeigen wir eine dieser Möglichkeiten.

Zunächst berechnen wir Diagonalenlänge der Pyramidengrundfläche mit Hilfe des Satzes des Pythagoras:

Nun betrachten wir das Dreieck bestehend aus der Seite , der Höhe der Pyramide und der Seitenkante . Mithilfe des Satzes des Pythagoras lässt sich berechnen:

Die Länge eines Stahlträgers der Pyramide beträgt demnach etwa .

c) Ebenfalls kam die Frage auf, wie viele Quadratmeter Glasfläche die Reinigungsfirma von außen putzen muss. Beantworte die Frage durch mathematische Rechnungen.

Die Größe der Glasfläche entspricht der Mantelfläche der Pyramide.
Verwende die berechnete Länge eines Stahlträgers aus Aufgabenteil b) und bestimme damit in einem geeigneten Hilfsdreieck die Seitenhöhe der Pyramide.

Im nachstehenden GeoGebra-Applet kannst du dir durch das Anklicken der einzelnen Boxen verschiedene Hilfsdreiecke in der Pyramide anzeigen lassen. Suche das geeignete Hilfsdreieck, um die Seitenhöhe zu berechnen.

GeoGebra

Es wird der Satz des Pythagroas auf das Dreieck, welches aus einer Seitenkante der Pyramide, der Höhe der Pyramidenseite und der Hälfte der Seitenlänge der Grundfläche besteht, angewendet.

Damit folgt für die Höhe der Pyramidenseite :

Die Fläche einer Glaswand wird wie folgt berechnet:

Die gesamte Glasfläche der Pyramide besteht aus vier identischen Glaswandflächen :

Damit besitzt eine Glaswand eine Fläche von etwa . Die gesamte Glasfläche der Pyramide beträgt demnach rund .

d) Vergleiche deine Vorgehensweise in den Aufgabenteilen b) und c) hinsichtlich gemeinsamer Teilschritte. Markiere und benenne diese in deinen Aufzeichnungen.


Aufgabe 3: Checkliste zur Bestimmung der Mantelfläche

In Aufgabe 2 hast du bereits eine Möglichkeit zur Bestimmung der Mantelfläche einer Pyramide erkundet und in Aufgabenteil 2d) auch schon angefangen, die dazu nötige Vorgehensweise zu beschreiben.

a) In dem folgenden Applet wird die allgemeine Vorgehensweise noch einmal zusammengefasst. Bringe die einzelnen Teilschritte in die richtige Reihenfolge.



b) Grundlagen-bearbeiten.png zurück zum Arbeitsblatt

Übertrage die Checkliste auf das Arbeitsblatt "Pyramiden verknüpfen".


Aufgabe 4 ⭐: Sightseeing in Paris 2 - Der Eiffelturm

Grundlagen-bearbeiten.png zurück zum Arbeitsblatt

Eiffelturm

Als nächster Stopp steht der Eiffelturm auf eurer Liste.

Das Gerüst des Eiffelturms wird momentan erneuert. Damit es für die Touristen trotzdem attraktiv bleibt, ist der untere Teil bis zur ersten Etage von einem Banner bedeckt, welches den renovierten Eiffelturm darstellen soll. Du möchtest gerne wissen, wie viel Stoff für das Banner benötigt wird. Dazu entnimmst du einer Informationstafel am Eiffelturm einige wichtige Maße des Bauwerks und bemerkst dabei, dass dir noch Daten zur Berechnung fehlen. Zunächst nimmst du an, dass die erste Etage um die Breite eines Fußes eingerückt ist. Berechne näherungsweise die Stoffmenge des Banners und triff gegebenenfalls weitere Annahmen.

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Schätze anhand der obigen Skizze des Eiffelturms die Breite der 1. Etage.
Kannst du im Eiffelturm eine Pyramide entdecken?

Der Eiffelturm besitzt bis zur 1. Etage die Form eines Pyramidenstumpfes. Den Pyramidenstumpf kannst du der unten stehenden Skizze entnehmen. Überlege dir anhand der Skizze welche Größen du schon kennst und welche Größen du noch bestimmen musst.

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Zur Berechnung des Flächeninhalts eines Trapezes benötigst du die Seitenhöhe des Pyramidenstumpfes. Die Seitenhöhe entspricht der lila Strecke in der unterstehenden Skizze. Konstruiere ein passendes Hilfsdreieck und wende den Satz des Pythagoras an.

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Der Flächeninhalt eines Trapezes wird über die folgende Formel berechnet: .

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thumb

Die Breite der ersten Etage kann anhand der Breite des Torbogens auf geschätzt werden. Die Länge eines Fußes des Eiffelturms wird über die folgende Gleichung bestimmt: . Die Seitenhöhe des Trapezes wird über den Satz des Pythagoras bestimmt. Es gilt:

Nun kann der Flächeninhalt des Trapezes berechnet werden:

Der Flächeninhalt der vier Trapeze entspricht somit:

Die benötigte Fläche der vier Banner beträgt somit .


Aufgabe 5 ⭐: Der Würfel

Grundlagen-bearbeiten.png zurück zum Arbeitsblatt

Der unten abgebildete Würfel lässt sich aus 6 regelmäßigen, gleichartigen Pyramiden zusammensetzen.

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a) Beschreibe wie sich der Würfel aus den Pyramiden zusammensetzen lässt und wie diese Pyramiden aussehen.

Überlege dir eine naheliegende Form für die Grundfläche der Pyramiden.
Die Seitenfläche des Würfels entspricht der quadratischen Grundfläche der Pyramiden.

Schau dir das Applet an und setze Haken an den verschieden nummerierten Pyramiden, indem du in die leeren Kästchen klickst. Du siehst nun wie die jeweilige Pyramide in dem Würfel liegt und wie alle Pyramiden ihn zusammen ausfüllen.

Kannst du dir nun besser vorstellen, wie die gesuchte Pyramide aussieht?

GeoGebra

Hast du als Lösung eine Zeichnung angefertigt, dann sollte diese ungefähr so aussehen:

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Es ist auch eine Möglichkeit das Aussehen der Pyramiden und die Lage der 6 Pyramiden im Würfel mit Worten zu beschreiben. Dies könnte wie folgt lauten:

Die Pyramiden besitzen eine quadratische Grundfläche mit einer Seitenlänge von 6 cm und sind symmetrisch.

Der Würfel lässt sich aus 6 solchen Pyramiden zusammensetzen, indem die Seitenflächen des Würfels die Grundflächen der Pyramiden darstellen. Die Spitzen der 6 Pyramiden treffen sich im Mittelpunkt des Würfels.

b) Welche Höhe hat die Pyramide?

Sieh dir noch einmal den Tipp 3 in Teilaufgabe a) ganz genau an.
Die Spitzen der Pyramiden treffen sich im Mittelpunkt des Würfels. Somit sind zwei Pyramiden, die aufeinander stehen, genauso hoch wie der Würfel (). Daraus ergibt sich, dass die Pyramiden eine Höhe von haben.

c) Berechne die Länge der orange markierten Strecke . Runde dabei auf 2 Nachkommastellen genau.

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Anhand des Würfels und der gegebenen Seitenlänge kannst du alle Größen herausfinden, die du zur Berechnung benötigst. Du brauchst die Seitenlänge der Grundfläche, sowie die Höhe der Pyramide.
Du benötigst den Satz des Pythagoras zur Berechnung der Länge der Seite .
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Mit Hilfe des Satzes des Pythagoras ergibt sich die folgende Formel:

.

Setzen wir nun, die uns bekannten Werte für und ein, so erhalten wir:

Die orangene Strecke ist lang.