Digitale Werkzeuge in der Schule/Pyramiden entdecken/Pyramiden verknüpfen: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:Bauarbeiter.jpg|rahmenlos]]
{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel kannst du dein bereits erworbenes Wissen zum Thema Pyramiden vertiefen. Zudem lernst du mithilfe des Satzes von Pythagoras verschiedene Größen einer Pyramide zu berechnen.


Dieser Lernpfad befindet sich aktuell im Aufbau.
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
* Aufgaben, die mit einem &#x2B50; gekennzeichnet sind, sind nur für den E-Kurs gedacht.
Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}


__TOC__


===Checkliste - Das brauchst du===
{{Box|1=Checkliste|2=
Für dieses Kapitel solltest du...


<br />
* die Oberfläche einer Pyramide berechnen können (siehe Kapitel [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Pyramiden entdecken/Pyramiden vermessen|Pyramiden vermessen]]).


=== Aufgabe: Der Louvre ===
* den Satz des Pythagoras anwenden können.
<br />
|3=Hervorhebung1}}
 
{{Box
|1=Info
|2= Falls du den Satz des Pythagoras noch einmal wiederholen möchtest, kannst du dein Wissen in Aufgabe 1 auffrischen. Wenn du dich schon sicher im Umgang mit dem Satz des Pythagoras fühlst, kannst du direkt mit Aufgabe 2 fortfahren.
|3=Kurzinfo}}
 
===Satz des Pythagoras===
{{Box|Aufgabe 1: Wiederholung des Satzes von Pythagoras|
'''a)''' Ergänze den Lückentext mit den bereits bekannten Begriffen des Satzes von Pythagoras.
 
[[Datei:About icon (The Noun Project).svg|15px|middle]] Klicke zum Ausfüllen auf die Lücken und wähle aus den angegebenen Vorschlägen aus. Kontrolliere deine Lösung mit dem blauen Haken.
{{LearningApp|width=100%|height=300px|app=p5zieoapa22}}
 
'''b)''' Berechne den Flächeninhalt des roten Quadrats.
 
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]]'''zurück zum Arbeitsblatt'''
 
[[Datei:Flächenberechnung im rechtwinkligen Dreieck.png|zentriert|rahmenlos]]
 
{{Lösung versteckt|1=Schau dir die Abbildung an. Kannst du die Abbildung auf die Aufgabe beziehen?
 
[[Datei:Satz des Pythagoras.jpg|zentriert |rahmenlos |500px]] In diesem Beispiel gilt: <math>4^2 + 3^2 = 5^2</math>.|2= Tipp 1 zu b) anzeigen|3= Tipp 1 zu b) verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1= Für den Flächeninhalt <math>A</math> eines Quadrats mit der Seitenlänge <math>a</math> gilt:
 
<math>A = a^2</math>.
 
|2=Tipp 2 zu b) anzeigen|3=Tipp 2 zu b) verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1=
<math>\begin{align}
                & & (4 \text{ cm})^2 + b^2 &= 21 \text{ cm}^2                    & &\mid - (4 \text{ cm})^2\\
\Leftrightarrow & &                    b^2 &= 21 \text{ cm}^2 - (4 \text{ cm})^2 \\
\Leftrightarrow & &                    b^2 &= 21 \text{ cm}^2 - 16 \text{ cm}^2 \\
\Leftrightarrow & &                    b^2 &= 5  \text{ cm}^2
\end{align}</math>
 
Der Flächeninhalt des roten Quadrats beträgt <math>5 \text{ cm}^2</math>.
|2=Lösung zu b) anzeigen|3=Lösung zu b) verbergen}}
|Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}}}}
 
===Anwendungsaufgaben===
{{Box
|Aufgabe 2: Sightseeing in Paris 1 - Der Louvre
|[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''
 
[[Datei:Parigi - Pyramide du Louvre - panoramio.jpg|mini|Glaspyramide im Innenhof des Louvre.]] Du machst mit deiner Familie Urlaub in Paris und besichtigst einige Sehenswürdigkeiten. Zuerst nehmt ihr an einer Führung durch das berühmte Museum ''Louvre'' teil. Das nebenstehende Bild zeigt die im Innenhof des Louvre stehende Glaspyramide mit quadratischer Grundfläche.
 
Während eurer Führung durch das Museum stellt eine Touristin folgende Frage: "Wie lang sind die Edelstahlträger an den Seitenkanten der Pyramide?" Der Touristenführer weiß nur, dass die Pyramide 21 Meter hoch ist.
 
'''a)''' Beurteile, ob diese Angabe genügt, um die Länge eines Stahlträgers zu berechnen. Falls dem nicht so ist, gib Größen an, die zusätzlich benötigt werden.
'''b)''' Ein anderer Tourist findet im Internet eine Angabe zur Seitenlänge der quadratischen Grundfläche von 35 Metern. Berechne mithilfe der gegeben Größen die Länge eines Stahlträgers an der Seitenkante der Pyramide.
{{Lösung versteckt|1=Zeichne zur Veranschaulichung eine passende Pyramide auf dein Arbeitsblatt.|2=Tipp 1 zu b) anzeigen|3=Tipp 1 zu b) verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Du kannst zur Berechnung der gesuchten Seite den Satz des Pythagoras beliebig oft anwenden.|2=Tipp 2 zu b) anzeigen|3=Tipp 2 zu b) verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir Hilfsdreiecke innerhalb der Pyramide, in denen du den Satz des Pythagoras anwenden kannst.|2= Tipp 3 zu b) anzeigen|3=Tipp 3 zu b) verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Im nachstehenden GeoGebra-Applet kannst du dir durch das Anklicken der einzelnen Boxen mögliche Hilfsdreiecke anzeigen lassen.
<div style="width:calc(100% - 1rem); height:0; padding-bottom:51%;"><ggb_applet id="kqmcb8yu" width="2560" height="1300" sdz="false" /></div>
|2=Tipp 4 zu b) anzeigen|3=Tipp 4 zu b) verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1= Gegeben sind die Höhe der Pyramide mit <math>h=21~\mathrm{m}</math> und die Seitenlänge der Grundfläche mit <math>a=35~\mathrm{m}</math>.
 
Du kannst verschiedene Kombinationen an Hilfsdreiecken nutzen, um die Länge eines Stahlträgers zu bestimmen.
 
Im Folgenden zeigen wir eine dieser Möglichkeiten.
 
Zunächst berechnen wir Diagonalenlänge <math>d_a</math> der Pyramidengrundfläche mit Hilfe des Satzes des Pythagoras:
<math>
\begin{align}
                & &  (35~\mathrm{m})^2+ (35~\mathrm{m})^2 &=d_a^2        & &\mid \text{Termumformung}\\
\Leftrightarrow & &                    2450~\mathrm{m}^2 &=d_a^2        & &\mid \sqrt{} \\
\Leftrightarrow & &              \sqrt{2450~\mathrm{m}^2} &=d_a          & &\mid \text{Termumformung}\\
\Leftrightarrow & &                    49{,}50~\mathrm{m} &\approx d_a  & &
\end{align}
</math>
 
Nun betrachten wir das Dreieck bestehend aus der Seite <math>\frac{d_a}{2}</math>, der Höhe <math>h=21~\mathrm{m}</math> der Pyramide und der Seitenkante <math>s</math>. Mithilfe des Satzes des Pythagoras lässt sich <math>s</math> berechnen:
 
<math>
\begin{align}
                & &                                \left(\frac{d_a}{2}\right)^2+ h^2 &=s^2 & &\mid \sqrt{}\\
\Leftrightarrow & &                          \sqrt{\left(\frac{d_a}{2}\right)^2+ h^2} &=s  & &\mid \text{Werte einsetzen} \\
\Leftrightarrow & & \sqrt{\left(\frac{49{,}50~\text{m}}{2}\right)^2+ (21~\text{m})^2} &=s  & &\mid \text{Termumformung}\\
\Leftrightarrow & &                                                32{,}46~\mathrm{m} &\approx s & &
\end{align}
</math>
 
Die Länge eines Stahlträgers der Pyramide beträgt demnach etwa <math>32{,}46~\mathrm{m}^2 </math>.|2=Lösung zu b) anzeigen|3=Lösung zu b) verbergen}}
 
'''c)''' Ebenfalls kam die Frage auf, wie viele Quadratmeter Glasfläche die Reinigungsfirma von außen putzen muss. Beantworte die Frage durch mathematische Rechnungen.
 
{{Lösung versteckt|1=Die Größe der Glasfläche entspricht der Mantelfläche der Pyramide.|2=Tipp 1 zu c) anzeigen|3=Tipp 1 zu c) verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1=Verwende die berechnete Länge eines Stahlträgers aus Aufgabenteil b) und bestimme damit in einem geeigneten Hilfsdreieck die Seitenhöhe der Pyramide.|2=Tipp 2 zu c) anzeigen|3=Tipp 2 zu c) verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1=Im nachstehenden GeoGebra-Applet kannst du dir durch das Anklicken der einzelnen Boxen verschiedene Hilfsdreiecke in der Pyramide anzeigen lassen. Suche das geeignete Hilfsdreieck, um die Seitenhöhe zu berechnen.
 
<div style="width:calc(100% - 1rem); height:0; padding-bottom:51%;"><ggb_applet id="kqmcb8yu" width="2560" height="1300" sdz="false" /></div>
|2=Tipp 3 zu c) anzeigen|3=Tipp 3 zu c) verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1=
Es wird der Satz des Pythagroas auf das Dreieck, welches aus einer Seitenkante <math> s \approx 32{,}46~\mathrm{m}</math> der Pyramide, der Höhe der Pyramidenseite <math> h_a </math> und der Hälfte der Seitenlänge der Grundfläche <math> \frac{a}{2} = \frac{35~\mathrm{m}}{2} </math> besteht, angewendet.
 
Damit folgt für die Höhe der Pyramidenseite <math> h_a </math>:
 
<math>
\begin{align}
                & &  h_a^2+ \left(\frac{35~\mathrm{m}}{2}\right)^2 &= s^2    & & \mid -\left(\frac{35~\mathrm{m}}{2}\right)^2 \\
\Leftrightarrow & &  h_a^2 &= s - \left(\frac{35~\mathrm{m}}{2}\right)^2      & &\mid \sqrt{}\\
\Leftrightarrow & &  h_a &= \sqrt{ s^2 - \left(\frac{35~\mathrm{m}}{2}\right)^2}  & & \mid \text{Werte einsetzen} \\
\Leftrightarrow & &  h_a &\approx \sqrt{ (32{,}46~\mathrm{m})^2 - (17{,}5~\mathrm{m})^2}          & & \mid \text{Termumformung}\\
\Leftrightarrow & &  h_a &\approx 27{,}34~\mathrm{m}      & &
\end{align}
</math>
 
Die Fläche einer Glaswand <math> A_\text{Seitenfläche} </math> wird wie folgt berechnet:
<math>
\begin{align}
                & &  A_\text{Seitenfläche} &=  h_a \cdot \frac{35~\mathrm{m}}{2}            & & \mid \text{Werte einsetzen}  \\
\Leftrightarrow & &  A_\text{Seitenfläche} &\approx  27{,}34~\mathrm{m} \cdot 17{,}5~\mathrm{m}      & &\mid \text{Termumformung}  \\
\Leftrightarrow & &  A_\text{Seitenfläche} &\approx 478{,}45~\mathrm{m}^2  & &
\end{align}
</math>
 
Die gesamte Glasfläche der Pyramide <math> M </math> besteht aus vier identischen Glaswandflächen <math> A_\text{Seitenfläche} \approx 478{,}45~\mathrm{m}^2</math>:
<math>
\begin{align}
                & &  M &= 4 \cdot A_\text{Seitenfläche}            & & \mid \text{Werte einsetzen}  \\
\Leftrightarrow & &    M &\approx 4 \cdot 478{,}45~\mathrm{m}^2    & & \mid \text{Termumformung}  \\
\Leftrightarrow & &  M &\approx 1913{,}8~\mathrm{m}^2  & &
\end{align}
</math>
 
Damit besitzt eine Glaswand eine Fläche von etwa <math>478{,}45~\mathrm{m}^2 </math>. Die gesamte Glasfläche der Pyramide beträgt demnach rund <math> 1913{,}8~\mathrm{m}^2 </math>. |2=Lösung zu c) anzeigen|3=Lösung zu c) verbergen}}
 
'''d)''' Vergleiche deine Vorgehensweise in den Aufgabenteilen b) und c) hinsichtlich gemeinsamer Teilschritte. Markiere und benenne diese in deinen Aufzeichnungen.
|Arbeitsmethode}}
 
{{Box|1=|Aufgabe 3: Checkliste zur Bestimmung der Mantelfläche|2=
In Aufgabe 2 hast du bereits eine Möglichkeit zur Bestimmung der Mantelfläche einer Pyramide erkundet und in Aufgabenteil 2d) auch schon angefangen, die dazu nötige Vorgehensweise zu beschreiben.
 
'''a)''' In dem folgenden Applet wird die allgemeine Vorgehensweise noch einmal zusammengefasst. Bringe die einzelnen Teilschritte in die richtige Reihenfolge.
 
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p74tsoa4c22}}
 
'''b)''' [[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''
 
Übertrage die Checkliste auf das Arbeitsblatt "Pyramiden verknüpfen".
|3=Arbeitsmethode}}
 
{{Box
|1=Aufgabe 4 &#x2B50;: Sightseeing in Paris 2 - Der Eiffelturm
|2=[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''
 
[[Datei:Tour Eiffel Wikimedia Commons.jpg|120px|mini|Eiffelturm]]
 
Als nächster Stopp steht der Eiffelturm auf eurer Liste.
 
Das Gerüst des Eiffelturms wird momentan erneuert. Damit es für die Touristen trotzdem attraktiv bleibt, ist der untere Teil bis zur ersten Etage von einem Banner bedeckt, welches den renovierten Eiffelturm darstellen soll. Du möchtest gerne wissen, wie viel Stoff für das Banner benötigt wird. Dazu entnimmst du einer Informationstafel am Eiffelturm einige wichtige Maße des Bauwerks und bemerkst dabei, dass dir noch Daten zur Berechnung fehlen. Zunächst nimmst du an, dass die erste Etage um die Breite eines Fußes eingerückt ist. Berechne näherungsweise die Stoffmenge des Banners und triff gegebenenfalls weitere Annahmen.
 
[[Datei:Eiffelturm mit technischen Daten.png|zentriert | rahmenlos | 400px | thumb]]
 
{{Lösung versteckt|1= Schätze anhand der obigen Skizze des Eiffelturms die Breite der 1. Etage.
|2=Tipp 1 anzeigen |3= Tipp 1 verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1= Kannst du im Eiffelturm eine Pyramide entdecken?
|2=Tipp 2 anzeigen |3= Tipp 2 verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1= Der Eiffelturm besitzt bis zur 1. Etage die Form eines Pyramidenstumpfes. Den Pyramidenstumpf kannst du der unten stehenden Skizze entnehmen. Überlege dir anhand der Skizze welche Größen du schon kennst und welche Größen du noch bestimmen musst.
[[Datei:Eiffelturm mit Pyramidenstumpf.jpg| zentriert | rahmenlos | 250px | thumb]]
|2=Tipp 3 anzeigen |3= Tipp 3 verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1= Zur Berechnung des Flächeninhalts eines Trapezes benötigst du die Seitenhöhe des Pyramidenstumpfes. Die Seitenhöhe entspricht der lila Strecke in der unterstehenden Skizze. Konstruiere ein passendes Hilfsdreieck und wende den Satz des Pythagoras an.
[[Datei:Eiffelturm mit Stütze und Pyramidenstumpf.jpg| zentriert | rahmenlos | 250px | thumb]]
|2=Tipp 4 anzeigen |3= Tipp 4 verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1= Der Flächeninhalt <math>A_T</math> eines Trapezes wird über die folgende Formel berechnet:
<math>A_T= \frac{1}{2} (a+c) \cdot h</math>.
 
[[Datei:Trapez mit Höhe.png|zentriert | rahmenlos | 300px | thumb]]
 
|2=Tipp 5 anzeigen |3= Tipp 5 verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Eiffelturm mit Pyramidenstumpf und Hilfsdreieck.jpg|zentriert | rahmenlos | 500px | thumb]]
 
Die Breite der ersten Etage kann anhand der Breite des Torbogens auf <math>74{,}24 ~\text{m}</math> geschätzt werden. Die <span style="color:darkred">'''Länge eines Fußes'''</span> des Eiffelturms wird über die folgende Gleichung bestimmt:
<math>l_\text{Fuß} = \frac{124{,}90 ~\text{m} - 74{,}24 ~\text{m}}{2} =  25{,}33 ~\text{m}</math>.
Die Seitenhöhe <math>h_a</math> des Trapezes wird über den Satz des Pythagoras bestimmt. Es gilt:
 
<math>\begin{align}
                & & h_a^2&=(57{,}64 ~\text{m})^2 + (25{,}33 ~\text{m})^2  & &\mid \sqrt{}  \\
\Leftrightarrow & &  h_a&=\sqrt{(57{,}64 ~\text{m})^2 + (25{,}33 ~\text{m})^2}          \\
\Leftrightarrow & &  h_a &\approx 62{,}96 ~\text{m}          \\
\end{align}</math>
 
Nun kann der Flächeninhalt <math>A_T</math> des Trapezes berechnet werden:
 
<math>\begin{align}
A_T &= \frac{1}{2} (74{,}24 ~\text{m} + 124{,}90 ~\text{m})\cdot 62{,}96 ~\text{m} \\
    &\approx 6268{,}93 ~\text{m}^2 \\
\end{align}</math>
 
Der Flächeninhalt der vier Trapeze entspricht somit:
 
<math>\begin{align}
A_{\text{Banner}} &= 4 \cdot A_T \\
&=4 \cdot 6268{,}93 ~\text{m}^2 \\
&= 25075{,}72 ~\text{m}^2 \\
\end{align}</math>
 
Die benötigte Fläche der vier Banner beträgt somit <math>A_{\text{Banner}} = 25075{,}72 ~\text{m}^2</math>.
 
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
| 3=Arbeitsmethode}}
 
{{Box
|1=Aufgabe 5 &#x2B50;: Der Würfel
|2=[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''
 
Der unten abgebildete Würfel lässt sich aus 6 regelmäßigen, gleichartigen Pyramiden zusammensetzen.
 
[[Datei:Würfel Seitenlänge 6 cm.png|zentriert | rahmenlos| 300px | thumb]]
 
'''a)''' Beschreibe wie sich der Würfel aus den Pyramiden zusammensetzen lässt und wie diese Pyramiden aussehen.
 
{{Lösung versteckt|1= Überlege dir eine naheliegende Form für die Grundfläche der Pyramiden. |2=Tipp 1 zu a) anzeigen|3=Tipp 1 a) verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1= Die Seitenfläche des Würfels entspricht der quadratischen Grundfläche der Pyramiden. |2=Tipp 2 zu a) anzeigen|3=Tipp 2 zu a) verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1= Schau dir das Applet an und setze Haken an den verschieden nummerierten Pyramiden, indem du in die leeren Kästchen klickst. Du siehst nun wie die jeweilige Pyramide in dem Würfel liegt und wie alle Pyramiden ihn zusammen ausfüllen.
 
Kannst du dir nun besser vorstellen, wie die gesuchte Pyramide aussieht?
 
<div style="width:calc(100% - 1rem); height:0; padding-bottom:50%;"><ggb_applet id="utuufrpf" width="1000" height="500"/></div>
|2=Tipp 3 zu a) anzeigen|3= Tipp 3 zu a) verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1=
Hast du als Lösung eine Zeichnung angefertigt, dann sollte diese ungefähr so aussehen:
[[Datei:Würfel aus Pyramiden und einzelne Pyramide.png|zentriert | rahmenlos | 500px | thumb]]
 
Es ist auch eine Möglichkeit das Aussehen der Pyramiden und die Lage der 6 Pyramiden im Würfel mit Worten zu beschreiben. Dies könnte wie folgt lauten:
 
Die Pyramiden besitzen eine quadratische Grundfläche mit einer Seitenlänge von 6 cm und sind symmetrisch.
Der Würfel lässt sich aus 6 solchen Pyramiden zusammensetzen, indem die Seitenflächen des Würfels die Grundflächen der Pyramiden darstellen. Die Spitzen der 6 Pyramiden treffen sich im Mittelpunkt des Würfels.
|2=Lösung zu a) anzeigen|3=Lösung zu a) verbergen}}
 
'''b)''' Welche Höhe hat die Pyramide?
 
{{Lösung versteckt|1= Sieh dir noch einmal den Tipp 3 in Teilaufgabe a) ganz genau an. |2=Tipp 1 zu b) anzeigen|3= Tipp 1 zu b) verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1= Die Spitzen der Pyramiden treffen sich im Mittelpunkt des Würfels. Somit sind zwei Pyramiden, die aufeinander stehen, genauso hoch wie der Würfel (<math>6~\text{cm}</math>). Daraus ergibt sich, dass die Pyramiden eine Höhe von <math>3~\text{cm}</math> haben. |2=Lösung zu b) anzeigen|3=Lösung zu b) verbergen}}
 
'''c)''' Berechne die Länge der orange markierten Strecke <math> h_a </math>. Runde dabei auf 2 Nachkommastellen genau.
 
[[Datei:Pyramide mit Seitenhöhe.png|zentriert | rahmenlos | 300px | thumb]]
 
{{Lösung versteckt|1= Anhand des Würfels und der gegebenen Seitenlänge <math>a</math> kannst du alle Größen herausfinden, die du zur Berechnung benötigst. Du brauchst die Seitenlänge der Grundfläche, sowie die Höhe der Pyramide. |2=Tipp 1 zu c) anzeigen |3=Tipp 1 zu c) verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1= Du benötigst den Satz des Pythagoras zur Berechnung der Länge der Seite <math>h_a</math> . |2=Tipp 2 zu c) anzeigen|3=Tipp 2 zu c) verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Pyramide mit Hilfsdreieck.png|zentriert | rahmenlos | 400px | thumb]]
 
Mit Hilfe des Satzes des Pythagoras ergibt sich die folgende Formel:
 
<math> (h_a)^{2}=h^2+\biggl(\frac{1}{2}\cdot a\biggr)^2 </math>.
 
Setzen wir nun, die uns bekannten Werte für <math> h </math> und <math> a </math> ein, so erhalten wir:
<math>
\begin{align}
                & & h_a^2 &= 3^2 + \left(\frac{1}{2}\cdot 6\right)^2 & & \mid \text{Termumformung}\\
\Leftrightarrow & & h_a^2 &= 3^2 + 3^2                              & &\mid \text{Termumformung}\\
\Leftrightarrow & & h_a^2 &= 18                                      & & \mid \sqrt{}\\
\Leftrightarrow & &  h_a &\approx 4{,}24                            & &
\end{align}
</math>
 
Die orangene Strecke ist <math>4{,}24~\text{cm}</math> lang. |2=Lösung zu c) anzeigen|3=Lösung zu c) verbergen}}
 
| 3=Arbeitsmethode}}
 
{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Pyramiden entdecken#Kapitelauswahl}}
 
{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Aktuelle Version vom 28. November 2022, 16:29 Uhr

Info

In diesem Lernpfadkapitel kannst du dein bereits erworbenes Wissen zum Thema Pyramiden vertiefen. Zudem lernst du mithilfe des Satzes von Pythagoras verschiedene Größen einer Pyramide zu berechnen.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

  • In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
  • Aufgaben in pinker Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
  • Und Aufgaben mit lilanem Streifen sind Knobelaufgaben.
  • Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den E-Kurs gedacht.
Viel Erfolg!

Checkliste - Das brauchst du

Checkliste

Für dieses Kapitel solltest du...

  • den Satz des Pythagoras anwenden können.


Info
Falls du den Satz des Pythagoras noch einmal wiederholen möchtest, kannst du dein Wissen in Aufgabe 1 auffrischen. Wenn du dich schon sicher im Umgang mit dem Satz des Pythagoras fühlst, kannst du direkt mit Aufgabe 2 fortfahren.

Satz des Pythagoras

Aufgabe 1: Wiederholung des Satzes von Pythagoras

a) Ergänze den Lückentext mit den bereits bekannten Begriffen des Satzes von Pythagoras.

About icon (The Noun Project).svg Klicke zum Ausfüllen auf die Lücken und wähle aus den angegebenen Vorschlägen aus. Kontrolliere deine Lösung mit dem blauen Haken.


b) Berechne den Flächeninhalt des roten Quadrats.

Grundlagen-bearbeiten.pngzurück zum Arbeitsblatt

Flächenberechnung im rechtwinkligen Dreieck.png

Schau dir die Abbildung an. Kannst du die Abbildung auf die Aufgabe beziehen?

Satz des Pythagoras.jpg
In diesem Beispiel gilt: .

Für den Flächeninhalt eines Quadrats mit der Seitenlänge gilt:

.

Der Flächeninhalt des roten Quadrats beträgt .

Anwendungsaufgaben

Aufgabe 2: Sightseeing in Paris 1 - Der Louvre

Grundlagen-bearbeiten.png zurück zum Arbeitsblatt

Glaspyramide im Innenhof des Louvre.
Du machst mit deiner Familie Urlaub in Paris und besichtigst einige Sehenswürdigkeiten. Zuerst nehmt ihr an einer Führung durch das berühmte Museum Louvre teil. Das nebenstehende Bild zeigt die im Innenhof des Louvre stehende Glaspyramide mit quadratischer Grundfläche.

Während eurer Führung durch das Museum stellt eine Touristin folgende Frage: "Wie lang sind die Edelstahlträger an den Seitenkanten der Pyramide?" Der Touristenführer weiß nur, dass die Pyramide 21 Meter hoch ist.

a) Beurteile, ob diese Angabe genügt, um die Länge eines Stahlträgers zu berechnen. Falls dem nicht so ist, gib Größen an, die zusätzlich benötigt werden.

b) Ein anderer Tourist findet im Internet eine Angabe zur Seitenlänge der quadratischen Grundfläche von 35 Metern. Berechne mithilfe der gegeben Größen die Länge eines Stahlträgers an der Seitenkante der Pyramide.

Zeichne zur Veranschaulichung eine passende Pyramide auf dein Arbeitsblatt.
Du kannst zur Berechnung der gesuchten Seite den Satz des Pythagoras beliebig oft anwenden.
Überlege dir Hilfsdreiecke innerhalb der Pyramide, in denen du den Satz des Pythagoras anwenden kannst.

Im nachstehenden GeoGebra-Applet kannst du dir durch das Anklicken der einzelnen Boxen mögliche Hilfsdreiecke anzeigen lassen.

GeoGebra

Gegeben sind die Höhe der Pyramide mit und die Seitenlänge der Grundfläche mit .

Du kannst verschiedene Kombinationen an Hilfsdreiecken nutzen, um die Länge eines Stahlträgers zu bestimmen.

Im Folgenden zeigen wir eine dieser Möglichkeiten.

Zunächst berechnen wir Diagonalenlänge der Pyramidengrundfläche mit Hilfe des Satzes des Pythagoras:

Nun betrachten wir das Dreieck bestehend aus der Seite , der Höhe der Pyramide und der Seitenkante . Mithilfe des Satzes des Pythagoras lässt sich berechnen:

Die Länge eines Stahlträgers der Pyramide beträgt demnach etwa .

c) Ebenfalls kam die Frage auf, wie viele Quadratmeter Glasfläche die Reinigungsfirma von außen putzen muss. Beantworte die Frage durch mathematische Rechnungen.

Die Größe der Glasfläche entspricht der Mantelfläche der Pyramide.
Verwende die berechnete Länge eines Stahlträgers aus Aufgabenteil b) und bestimme damit in einem geeigneten Hilfsdreieck die Seitenhöhe der Pyramide.

Im nachstehenden GeoGebra-Applet kannst du dir durch das Anklicken der einzelnen Boxen verschiedene Hilfsdreiecke in der Pyramide anzeigen lassen. Suche das geeignete Hilfsdreieck, um die Seitenhöhe zu berechnen.

GeoGebra

Es wird der Satz des Pythagroas auf das Dreieck, welches aus einer Seitenkante der Pyramide, der Höhe der Pyramidenseite und der Hälfte der Seitenlänge der Grundfläche besteht, angewendet.

Damit folgt für die Höhe der Pyramidenseite :

Die Fläche einer Glaswand wird wie folgt berechnet:

Die gesamte Glasfläche der Pyramide besteht aus vier identischen Glaswandflächen :

Damit besitzt eine Glaswand eine Fläche von etwa . Die gesamte Glasfläche der Pyramide beträgt demnach rund .

d) Vergleiche deine Vorgehensweise in den Aufgabenteilen b) und c) hinsichtlich gemeinsamer Teilschritte. Markiere und benenne diese in deinen Aufzeichnungen.


Aufgabe 3: Checkliste zur Bestimmung der Mantelfläche

In Aufgabe 2 hast du bereits eine Möglichkeit zur Bestimmung der Mantelfläche einer Pyramide erkundet und in Aufgabenteil 2d) auch schon angefangen, die dazu nötige Vorgehensweise zu beschreiben.

a) In dem folgenden Applet wird die allgemeine Vorgehensweise noch einmal zusammengefasst. Bringe die einzelnen Teilschritte in die richtige Reihenfolge.



b) Grundlagen-bearbeiten.png zurück zum Arbeitsblatt

Übertrage die Checkliste auf das Arbeitsblatt "Pyramiden verknüpfen".


Aufgabe 4 ⭐: Sightseeing in Paris 2 - Der Eiffelturm

Grundlagen-bearbeiten.png zurück zum Arbeitsblatt

Eiffelturm

Als nächster Stopp steht der Eiffelturm auf eurer Liste.

Das Gerüst des Eiffelturms wird momentan erneuert. Damit es für die Touristen trotzdem attraktiv bleibt, ist der untere Teil bis zur ersten Etage von einem Banner bedeckt, welches den renovierten Eiffelturm darstellen soll. Du möchtest gerne wissen, wie viel Stoff für das Banner benötigt wird. Dazu entnimmst du einer Informationstafel am Eiffelturm einige wichtige Maße des Bauwerks und bemerkst dabei, dass dir noch Daten zur Berechnung fehlen. Zunächst nimmst du an, dass die erste Etage um die Breite eines Fußes eingerückt ist. Berechne näherungsweise die Stoffmenge des Banners und triff gegebenenfalls weitere Annahmen.

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Schätze anhand der obigen Skizze des Eiffelturms die Breite der 1. Etage.
Kannst du im Eiffelturm eine Pyramide entdecken?

Der Eiffelturm besitzt bis zur 1. Etage die Form eines Pyramidenstumpfes. Den Pyramidenstumpf kannst du der unten stehenden Skizze entnehmen. Überlege dir anhand der Skizze welche Größen du schon kennst und welche Größen du noch bestimmen musst.

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Zur Berechnung des Flächeninhalts eines Trapezes benötigst du die Seitenhöhe des Pyramidenstumpfes. Die Seitenhöhe entspricht der lila Strecke in der unterstehenden Skizze. Konstruiere ein passendes Hilfsdreieck und wende den Satz des Pythagoras an.

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Der Flächeninhalt eines Trapezes wird über die folgende Formel berechnet: .

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Die Breite der ersten Etage kann anhand der Breite des Torbogens auf geschätzt werden. Die Länge eines Fußes des Eiffelturms wird über die folgende Gleichung bestimmt: . Die Seitenhöhe des Trapezes wird über den Satz des Pythagoras bestimmt. Es gilt:

Nun kann der Flächeninhalt des Trapezes berechnet werden:

Der Flächeninhalt der vier Trapeze entspricht somit:

Die benötigte Fläche der vier Banner beträgt somit .


Aufgabe 5 ⭐: Der Würfel

Grundlagen-bearbeiten.png zurück zum Arbeitsblatt

Der unten abgebildete Würfel lässt sich aus 6 regelmäßigen, gleichartigen Pyramiden zusammensetzen.

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a) Beschreibe wie sich der Würfel aus den Pyramiden zusammensetzen lässt und wie diese Pyramiden aussehen.

Überlege dir eine naheliegende Form für die Grundfläche der Pyramiden.
Die Seitenfläche des Würfels entspricht der quadratischen Grundfläche der Pyramiden.

Schau dir das Applet an und setze Haken an den verschieden nummerierten Pyramiden, indem du in die leeren Kästchen klickst. Du siehst nun wie die jeweilige Pyramide in dem Würfel liegt und wie alle Pyramiden ihn zusammen ausfüllen.

Kannst du dir nun besser vorstellen, wie die gesuchte Pyramide aussieht?

GeoGebra

Hast du als Lösung eine Zeichnung angefertigt, dann sollte diese ungefähr so aussehen:

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Es ist auch eine Möglichkeit das Aussehen der Pyramiden und die Lage der 6 Pyramiden im Würfel mit Worten zu beschreiben. Dies könnte wie folgt lauten:

Die Pyramiden besitzen eine quadratische Grundfläche mit einer Seitenlänge von 6 cm und sind symmetrisch.

Der Würfel lässt sich aus 6 solchen Pyramiden zusammensetzen, indem die Seitenflächen des Würfels die Grundflächen der Pyramiden darstellen. Die Spitzen der 6 Pyramiden treffen sich im Mittelpunkt des Würfels.

b) Welche Höhe hat die Pyramide?

Sieh dir noch einmal den Tipp 3 in Teilaufgabe a) ganz genau an.
Die Spitzen der Pyramiden treffen sich im Mittelpunkt des Würfels. Somit sind zwei Pyramiden, die aufeinander stehen, genauso hoch wie der Würfel (). Daraus ergibt sich, dass die Pyramiden eine Höhe von haben.

c) Berechne die Länge der orange markierten Strecke . Runde dabei auf 2 Nachkommastellen genau.

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Anhand des Würfels und der gegebenen Seitenlänge kannst du alle Größen herausfinden, die du zur Berechnung benötigst. Du brauchst die Seitenlänge der Grundfläche, sowie die Höhe der Pyramide.
Du benötigst den Satz des Pythagoras zur Berechnung der Länge der Seite .
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Mit Hilfe des Satzes des Pythagoras ergibt sich die folgende Formel:

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Setzen wir nun, die uns bekannten Werte für und ein, so erhalten wir:

Die orangene Strecke ist lang.