Digitale Werkzeuge in der Schule/Pyramiden entdecken/Pyramiden konstruieren: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Pyramiden_entdecken}}
{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du
{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du
* wie du '''Netze''' von Pyramiden zeichnen kannst.
* wie du '''Netze''' von Pyramiden zeichnen kannst.
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* wie du '''Schrägbilder''' von Pyramiden zeichnen kannst.
* wie du '''Schrägbilder''' von Pyramiden zeichnen kannst.


Am Ende folgt eine Sicherung der in diesem Kapitel behandelten Themen. Wir wünschen dir viel Erfolg beim Bearbeiten den Aufgaben!
Am Ende folgt eine Sicherung der in diesem Kapitel behandelten Themen. Wir wünschen dir viel Erfolg beim Bearbeiten der Aufgaben!


Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
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Viel Erfolg!
Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
|3=Kurzinfo}}
==='''Rückblick und Motivation'''===
===Rückblick und Motivation===
[[Datei:Pyramide Neuer-Garten-Potsdam.jpg|mini|Pyramide in Potsdam.]]
[[Datei:Pyramide Neuer-Garten-Potsdam.jpg|mini|Pyramide in Potsdam.]]
Pyramiden begegnen uns nicht nur im Mathematikunterricht, sondern auch in der realen Welt, wie z.B. in Architektur (Bild rechts) und Bauingenieurwesen (Konstruktion und Betrieb von Bauwerken des Hoch-, Verkehrs-, Tief- und Wasserbaus). Du kannst bereits Pyramiden im Alltag erkennen und Beispiele dafür nennen.
Pyramiden begegnen uns nicht nur im Mathematikunterricht, sondern auch in der realen Welt, wie z.B. in Architektur (Bild rechts) und Bauingenieurwesen (Konstruktion und Betrieb von Bauwerken des Hoch-, Verkehrs-, Tief- und Wasserbaus). Du kannst bereits Pyramiden im Alltag erkennen und Beispiele dafür nennen.
<br />


==='''Einführung'''===
===Einführung===


{{Box|1=Definition: Netz eines Körpers|2=Das Netz eines Körpers stellt diesen "auseinandergefaltet", also mit ausgebreiteten Flächen dar. Diese Darstellung erleichtert z.B. die Herstellung eines solchen Körpers aus Papier.|3=Merksatz}}
{{Box | Merksatz: Netz eines Körpers|2=Das Netz eines Körpers stellt diesen "auseinandergefaltet", also mit ausgebreiteten Flächen dar. Diese Darstellung erleichtert z.B. die Herstellung eines solchen Körpers aus Papier.|3=Merksatz | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}
{{Box|Aufgabe 1: Zuordnung|Ordne den unten dargestellten Netzen die Körper zu, die daraus hergestellt werden können. Halte deine Ergebnisse auf dem Arbeitsblatt fest.
{{Box|Aufgabe 1: Zuordnung|Ordne den unten dargestellten Netzen die Körper zu, die daraus hergestellt werden können.
{{Lösung versteckt|1=Mögliche Körper sind: Würfel, Zylinder, Tetraeder (Pyramide mit dreieckiger Grundfläche), Quader, Dreiecksprisma, Pyramide mit quadratischer Grundfläche, Kegel.|2=Tipp|3=Ausblenden}}[[Datei:Netze farbig.png|zentriert|gerahmt]]|Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}


{{Lösung versteckt|1=Gelbes Netz: Dreiecksprisma, hellblaues Netz: Tetraeder, braunes Netz: Würfel, grünes Netz: Quader, lila Netz: Pyramide quadratischer Grundfläche|2=Lösung|3=Ausblenden}}<br />
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''Halte deine Ergebnisse auf dem Arbeitsblatt fest.'''
==='''Netze entwerfen'''===


===='''Netz einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche zeichnen'''====
{{Lösung versteckt|1=Mögliche Körper sind: Würfel, Zylinder, gleichseitiger Tetraeder (Pyramide mit dreieckiger Grundfläche), Quader, Dreiecksprisma, quadratische Pyramide (Pyramide mit quadratischer Grundfläche), Kegel.|2=Tipp|3=Ausblenden}}
{{Box |Aufgabe 1: Pyramidennetz zeichnen|Zeichne auf dem Arbeitsblatt das Netz einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche. Deine Zeichnung soll im Wesentlichen so aussehen wie das lila dargestellte Netz aus der obigen Abbildung.
{{Lösung versteckt|1=Anleitung:


a) Zeichne zuerst ein Quadrat.
[[Datei:Netze farbig.png|zentriert|gerahmt]]


b) Zeichne nun in das Quadrat die beiden Diagonalen ein; deren Schnittpunkt kennzeichnest du mit einem S.
{{Lösung versteckt|1={{(!}} class=wikitable
! Farbe des Netzes
! Daraus herstellbarer Körper
{{!-}}
{{!}} Gelb
{{!}} Dreiecksprisma
{{!-}}
{{!}} Hellblau
{{!}} (gleichseitiger) Tetraeder '''oder''' Pyramide mit dreieckiger Grundfläche
{{!-}}
{{!}} Grün
{{!}} Quader
{{!-}}
{{!}} Lila
{{!}} quadratische Pyramide '''oder''' Pyramide mit quadratischer Grundfläche
{{!-}}
{{!}} Braun
{{!}} Würfel
{{!)}}|2=Lösung|3=Ausblenden}}|Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}


c) Tu folgendes für alle vier Seiten des Quadrats: Lege das Geo-Dreieck so, dass eine Gerade entsteht, die durch S und senkrecht durch die jeweilige Seite verläuft. Somit erhältst du die vier Punkte, die mittig auf den Seiten liegen. Zeichne diese Punkte ein und nenne sie A, B, C bzw. D.
===Netze entwerfen===


d) Zeichne jetzt, von den vier mittig auf den Seiten liegenden Punkten A bis D ausgehend, jeweils eine 4cm-lange Strecke ein; diese beginnt jeweils in den Punkten A (bzw. B, C, D), steht senkrecht auf der jeweiligen Seite des Quadrats und führt vom Quadrat weg.
====Netz einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche zeichnen====
{{Box |Aufgabe 2: Pyramidennetz zeichnen|Zeichne auf einem separaten Blatt (nicht das Arbeitsblatt!) das Netz einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche. Die Länge der Grundkante soll dabei <math>5</math> cm betragen und die Länge der Seitenhöhe soll <math>6</math> cm sein.
{{Lösung versteckt|1='''Anleitung:'''


e) Verbinde nun die "Enden" der soeben erstellten Strecken mit den nächstliegenden Ecken des Quadrats, sodass vier Dreiecke entstehen, die das Quadrat umschließen.|2=Tipp|3=Ausblenden}}
# Zeichne zuerst ein Quadrat mit Seitenlänge <math>5</math> cm.
{{Lösung versteckt|1=Deine Zeichnung sollte so aussehen wie das lila dargestellte Netz aus der obigen Abbildung.|2=Lösung|3=Ausblenden}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}}}}
# Zeichne nun in das Quadrat die beiden Diagonalen ein; deren Schnittpunkt kennzeichnest du mit einem M.
# Tu folgendes für alle vier Seiten des Quadrats: Lege das Geo-Dreieck so, dass eine Gerade entsteht, die durch M und senkrecht durch die jeweilige Seite verläuft. Somit erhältst du die vier Punkte, die mittig auf den Seiten liegen. Zeichne diese Punkte ein und nenne sie A, B, C bzw. D.
# Zeichne jetzt, von den vier mittig auf den Seiten liegenden Punkten A bis D ausgehend, jeweils eine <math>6</math> cm-lange Strecke ein; diese beginnt jeweils in den Punkten A (bzw. B, C, D), steht senkrecht auf der jeweiligen Seite des Quadrats und führt vom Quadrat weg.
# Verbinde nun die "Enden" der soeben erstellten Strecken mit den beiden nächstliegenden Ecken des Quadrats, sodass vier Dreiecke entstehen, die das Quadrat umschließen.|2=Tipp|3=Ausblenden}}
{{Lösung versteckt|1=Deine Zeichnung sollte im Wesentlichen so aussehen wie das lila dargestellte Netz aus der Abbildung in Aufgabe 1.|2=Lösung|3=Ausblenden}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}}}}


====Der regelmäßige Tetraeder====
Nicht alle Pyramiden haben eine quadratische Grundfläche. Ein Rechteck, ein Dreieck, ein Sechseck oder andere Vielecke als Grundfläche sind ebenfalls möglich. Ein besonderer Fall ist die Pyramide, die aus vier gleichseitigen Dreiecken besteht (womit die Grundfläche auch dreieckig ist). Dieser Körper heißt ''regelmäßiger Tetraeder''.


{{Box| Merksatz: Regelmäßiger Tetraeder|2=Ein regelmäßiger Tetraeder ist eine Pyramide, die aus vier gleichseitigen Dreiecken besteht (gleichseitige Dreiecke sind auch gleichwinklig; alle drei Innenwinkel betragen jeweils <math>60^{\circ}</math>).
[[Datei:Triangular Pyramid (Tetrahedron).svg|mittig|zentriert|Schrägbild eines Tetraeders]]|3=Merksatz | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}
{{Box|Aufgabe 3: Netz eines regelmäßigen Tetraeders|Zeichne nun das Netz eines regelmäßigen Tetraeders.
{{Lösung versteckt|1=Wie sehen alle Flächen eines regelmäßigen Tetraeders aus?|2=Tipp|3=Ausblenden}}
{{Lösung versteckt|1=Deine Zeichnung sollte dem hellblauen Netz im Bild der Aufgabe 1 ähnlich sein.|2=Lösung|3=Ausblenden}}
|Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}


===='''Tetraeder erkunden'''====
===Körper herstellen===
Nicht alle Pyramiden haben eine quadratische Grundfläche; ein Rechteck, Dreieck, Sechseck usw. als Grundfläche ist ebenfalls möglich. Ein besonderer Fall ist die Pyramide, die aus vier gleichseitigen Dreiecken besteht (womit die Grundfläche auch dreieckig ist); dieser Körper heißt ''Tetraeder''.


{{Box|1=Definition: Tetraeder|2=Ein (regelmäßiger) Tetraeder ist eine Pyramide, die aus vier gleichseitigen (sowie gleichzeitig geichwinkligen) Dreiecken besteht. Somit ist auch die Grundfläche ein Dreieck.
====Vom Netz zum Körper====
[[Datei:Triangular Pyramid (Tetrahedron).svg|mittig|zentriert|Schrägbild eines Tetraeders]]|3=Merksatz}}
Eben hast du (mindestens) ein Körpernetz gezeichnet. Nun soll daraus ein dreidimensionaler Körper hergestellt werden. Nachfolgend ist die Herstellung einer Pyramide dargestellt.  
{{Box|Aufgabe 2: Tetraedernetz zeichnen|Zeichne nun das Netz eines Tetraeders, der aus gleichseitigen Dreiecken besteht.|Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}
 
<br />


==='''Körper herstellen'''===
{{Box|Aufgabe 4: Vom Netz zum Körper|
'''a)''' Bewege den Schieberegler, um die Seitenflächen der Pyramide aufzurichten oder abzusenken. Durch Verschieben der Eckpunkte kannst du die Gestalt der Pyramide verändern.


===='''Vom Netz zum Körper'''====
<ggb_applet id="Jhc3FeP8" width="1000" height="733" />
Eben hast du (mindestens) ein Körpernetz gezeichnet. Nun soll daraus ein dreidimensionaler Körper hergestellt werden. Nachfolgend ist die Herstellung einer Pyramide dargestellt.


{{Box|Aufgabe 3: Vom Netz zum Körper|Bewege den Schieberegler, um die Seitenflächen des Tetraeders aufzurichten oder abzusenken. Durch Verschieben der Eckpunkte kannst du die Gestalt der Pyramide verändern.|Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}
'''b)''' Stelle aus dem in Aufgabe 2 angefertigten Netz eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche her. Fixiere die Mantelfläche mit Klebeband, um zu verhindern, dass sich die Pyramide wieder "öffnet".
<ggb_applet id="Jhc3FeP8" width="1000" height="733" border="888888" /><br />
|Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}
===='''Pyramide mit quadratischer Grundfläche herstellen'''====
{{Box|Aufgabe 4: Pyramide herstellen|Stelle aus dem in Aufgabe 1 angefertigten Netz eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche her. Fixiere die Mantelfläche mit Klebeband, um zu verhindern, dass sich die Pyramide wieder "öffnet".|Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}
==='''Schrägbilder zeichnen'''===


{{Box | Merksatz: Schrägbild |
===Schrägbilder zeichnen===


{{Box | Merksatz: Schrägbild |
Schrägbilder stellen dreidimensionale Körper zweidimensional dar.
Schrägbilder stellen dreidimensionale Körper zweidimensional dar.


[[Datei:Schrägbild Würfel.png|zentriert|mini]] | Merksatz | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}
[[Datei:Schrägbild Würfel.png|zentriert|mini]] | Merksatz | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}


===='''Schrägbild einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche zeichnen'''====
====Schrägbild einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche zeichnen====
{{Box | Aufgabe 5: Schrägbild einer Pyramide |
{{Box | Aufgabe 5: Schrägbild einer Pyramide |
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''Bearbeite diese Aufgabe wieder auf dem Arbeitsblatt.'''


Zeichne das Schrägbild einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche mit Grundflächenkantenlänge <math>a = 5</math> cm und Körperhöhe <math>b = 6</math> cm, indem du wie folgt vorgehst:
Zeichne das Schrägbild einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche mit Grundflächenkantenlänge <math>a = 5</math> cm und Körperhöhe <math>h = 6</math> cm, indem du wie folgt vorgehst:


'''a)''' Zeichne zuerst die Grundfläche. Stell dir vor, die Grundfläche würde "nach hinten weggehen". Diese perspektivische Darstellung gelingt dir, indem du 1. die "nach hinten weggehenden" Kanten nur halb so lang wie eigentlich und 2. unter einem Winkel von <math>45^{\circ}</math> (Verzerrungswinkel) zeichnest (siehe Abbildung oben).  
# Zeichne zuerst die Grundfläche. Stell dir vor, die Grundfläche würde "nach hinten weggehen". Diese perspektivische Darstellung gelingt dir, indem du die "nach hinten weggehenden" Kanten
#* nur halb so lang wie eigentlich und
#* unter einem Winkel von <math>45^{\circ}</math> (Verzerrungswinkel) zeichnest (siehe Abbildung oben).
# Vervollständige das Schrägbild. Zeichne dazu die Diagonalen als Hilfslinien ein. Zeichne die Höhe der Pyramide ein. Verbinde die Spitze mit den Eckpunkten der Grundfläche.


'''b)''' Vervollständige das Schrägbild. Zeichne dazu die Diagonalen als Hilfslinien ein. Zeichne  die Höhe der Pyramide ein. Verbinde die Spitze mit den Eckpunkten der Grundfläche.{{Lösung versteckt|1=Die in die Tiefe, also nach hinten gehenden Seiten werden unter einem <math>45^{\circ}</math> Winkel gezeichnet; nicht sichtbare Kanten werden gestrichelt dargestellt. Zeichne auf der Fläche, der der Grundfläche gegenüberliegt, die beiden Diagonalen ein. Bezeichne deren Schnittpunkt mit S. Verbinde S mit den unteren vier Ecken des Quaders.                       
{{Lösung versteckt|1=Die in die Tiefe, also nach hinten gehenden Seiten werden unter einem <math>45^{\circ}</math> Winkel gezeichnet; nicht sichtbare Kanten werden gestrichelt dargestellt.
<div style="width:calc(100% - 1rem); height:0; padding-bottom:47%;"><ggb_applet id="Z57aCNpm" width="1000" height="622"/></div>


|2=Tipp zu b)|3=Tipp verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
<div style="width:calc(100% - 1rem); height:0; padding-bottom:62.2%;"><ggb_applet id="Z57aCNpm" width="1000" height="622"/></div>
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}


===='''Schrägbild eines Tetraeders'''====
====Schrägbild eines regelmäßigen Tetraeders====
{{Box | Aufgabe 6: Schrägbild eines Tetraeders |  
{{Box | Aufgabe 6: Schrägbild eines Tetraeders |  
 
Zeichne das Schrägbild eines regelmäßigen Tetraeders. Die Kanten der Grundfläche sind <math>4</math> cm lang und die Höhe der Pyramide soll <math>6</math> cm betragen. Beachte beim Zeichnen die Merkmale dieser besonderen Pyramide.
Zeichne das Schrägbild eines Tetraeders. Die Kanten der Grundfläche sind <math>4</math> cm lang und die Höhe der Pyramide soll <math>6</math> cm betragen. Beachte beim Zeichnen die Merkmale dieser besonderen Pyramide.


{{Lösung versteckt|1=Fertige dir eine Hilfszeichnung an mit deiner Grundfläche an, um die passende Verzerrung des Schrägbildes zu ermitteln. Tipp: Die Grundfläche ist gleichwinklig.
{{Lösung versteckt|1=Fertige dir eine Hilfszeichnung an mit deiner Grundfläche an, um die passende Verzerrung des Schrägbildes zu ermitteln. Tipp: Die Grundfläche ist gleichwinklig.
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{{Lösung versteckt|1=Wenn du weitere Hilfestellung benötigst, schaue dir dieses Video bis zur <math>4.</math> Minute an. [https://www.youtube.com/watch?v=HmXIOIdtDU8]
{{Lösung versteckt|1=Wenn du weitere Hilfestellung benötigst, schaue dir dieses Video bis zur <math>4.</math> Minute an. [https://www.youtube.com/watch?v=HmXIOIdtDU8]
Hinweis: Es gibt auch die Möglichkeit, die Grundfläche mit Hilfe von Winkelmessungen anstatt mit dem Zirkel zu zeichnen, da die Grundfläche gleichwinklig ist und somit alle Winkel <math>90^{\circ}</math> betragen.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}
Hinweis: Es gibt auch die Möglichkeit, die Grundfläche mit Hilfe von Winkelmessungen anstatt mit dem Zirkel zu zeichnen, da die Grundfläche gleichwinklig ist und somit alle Winkel <math>60^{\circ}</math> betragen.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}


{{Lösung versteckt|1=Du kannst dir folgendes Video zum Vergleich deiner Lösung ansehen (ab Minute <math>4</math>): [https://www.youtube.com/watch?v=HmXIOIdtDU8]|2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}}
{{Lösung versteckt|1=Du kannst dir folgendes Video zum Vergleich deiner Lösung ansehen (ab Minute <math>4</math>): [https://www.youtube.com/watch?v=HmXIOIdtDU8]|2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}}


==='''Sicherung'''===
===Sicherung===


===='''Lückentext'''====
====Lückentext====
{{Box | Aufgabe 7: Lückentext Pyramiden |  
{{Box | Aufgabe 7: Lückentext Pyramiden |  
'''a)''' Vervollständige den Lückentext.


Vervollständige den folgenden Lückentext.
Folgende Begriffe kannst du einsetzen:


Folgende Begriffe kannst du einsetzen:
''dreidimensional; halb so lang; beliebig viele Ecken; <math>90^{\circ}</math>; unverzerrt; gleichseitig; <math>45^{\circ}</math>; Tetraeder; Körper; Schrägbild; zweidimensional; Quader; Verzerrungswinkel; <math>60^{\circ}</math>; doppelt so groß; verzerrt; rechter Winkel''


dreidimensional; halb so lang; beliebig viele Ecken; <math>90^{\circ}</math>; unverzerrt; gleichseitig; <math>45^{\circ}</math>; Tetraeder; Körper; Schrägbild; zweidimensional; Quader; Verzerrungswinkel; <math>60^{\circ}</math>°; doppelt so groß; verzerrt
{{LearningApp|width=100%|height=330px|app=27548524}}


{{LearningApp|width=100%|height=330px|app=27548524}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
'''b)''' [[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''Übertrage die richtige Lösung auf dein Arbeitsblatt.'''
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}


===='''Praktische Sicherung'''====
====Praktische Sicherung====
{{Box | Aufgabe 8: Auf dem Dach |  
{{Box | Aufgabe 8: Auf dem Dach |  
Eine Scheune ist <math>40</math> m lang und ebenso breit. Sie hat ein pyramidenförmiges, <math>15</math> m hohes Dach. Die Seitenflächen dieses Dachs haben eine Seitenflächenhöhe von <math>25</math> m.
'''a)''' Zeichne das Netz des Daches im Maßstab <math>1:1000</math>.
{{Lösung versteckt|1=Im Maßstab <math>1:1000</math> entsprechen <math>10</math> m in der Realität <math>1</math> cm in deiner Skizze.|2=Tipp zu a)|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Folgende Skizze zeigt eine mögliche Lösung.


'''a)''' Eine Scheune ist <math>40</math> m lang, <math>30</math> m breit. Die Seitenflächen des Dachs haben eine Höhe von <math>10</math> m. Das Dach dieser Scheune hat die Form einer Pyramide. Zeichne das Netz des Daches im Maßstab <math>1:100</math>.
[[Datei:Netz Scheunendach.pdf|zentriert|mini]]|2=Lösung zu a)|3=Lösung verbergen}}


{{Lösung versteckt|1=Im Maßstab <math>1:100</math> entspricht <math>1</math> m in der Realität <math>1</math> cm in deiner Skizze.|2=Tipp zu a)|3=Tipp verbergen}}
'''b)''' Zeichne ein maßstabsgetreues Schrägbild des Scheunendaches im Maßstab <math>1:1000</math>.


'''b)''' Zeichne nun das Dach dieser Pyramide ebenfalls maßstabsgetreu.
{{Lösung versteckt|1=Achte beim Vergleich mit deiner Lösung darauf, ob...
# du die nicht sichtbaren Linien gestrichelt eingezeichnet hast.
# dein Verzerrungswinkel <math>45^{\circ}</math> beträgt.
 
[[Datei:Schrägbild Scheunendach.pdf|zentriert|mini]]|2=Lösung zu b)|3=Lösung verbergen}}


  | Arbeitsmethode | Farbe=#CD2990 }}
  | Arbeitsmethode | Farbe=#CD2990 }}


{{Fortsetzung|weiter=weiter zum nächsten Kapitel|weiterlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Pyramiden entdecken/Pyramiden vermessen}}
{{Fortsetzung|weiter=weiter zum nächsten Kapitel|weiterlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Pyramiden entdecken/Pyramiden vermessen}}

Aktuelle Version vom 1. Dezember 2022, 07:46 Uhr

Info

In diesem Lernpfadkapitel lernst du

  • wie du Netze von Pyramiden zeichnen kannst.
  • wie du aus einem Netz einen Körper falten kannst.
  • wie du Schrägbilder von Pyramiden zeichnen kannst.

Am Ende folgt eine Sicherung der in diesem Kapitel behandelten Themen. Wir wünschen dir viel Erfolg beim Bearbeiten der Aufgaben!

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

  • In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
  • Aufgaben in pinker Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
  • Und Aufgaben mit lilanem Streifen sind Knobelaufgaben.
Viel Erfolg!

Rückblick und Motivation

Pyramide in Potsdam.

Pyramiden begegnen uns nicht nur im Mathematikunterricht, sondern auch in der realen Welt, wie z.B. in Architektur (Bild rechts) und Bauingenieurwesen (Konstruktion und Betrieb von Bauwerken des Hoch-, Verkehrs-, Tief- und Wasserbaus). Du kannst bereits Pyramiden im Alltag erkennen und Beispiele dafür nennen.

Einführung

Merksatz: Netz eines Körpers
Das Netz eines Körpers stellt diesen "auseinandergefaltet", also mit ausgebreiteten Flächen dar. Diese Darstellung erleichtert z.B. die Herstellung eines solchen Körpers aus Papier.
Aufgabe 1: Zuordnung

Ordne den unten dargestellten Netzen die Körper zu, die daraus hergestellt werden können.

Grundlagen-bearbeiten.png Halte deine Ergebnisse auf dem Arbeitsblatt fest.

Mögliche Körper sind: Würfel, Zylinder, gleichseitiger Tetraeder (Pyramide mit dreieckiger Grundfläche), Quader, Dreiecksprisma, quadratische Pyramide (Pyramide mit quadratischer Grundfläche), Kegel.
Netze farbig.png
Farbe des Netzes Daraus herstellbarer Körper
Gelb Dreiecksprisma
Hellblau (gleichseitiger) Tetraeder oder Pyramide mit dreieckiger Grundfläche
Grün Quader
Lila quadratische Pyramide oder Pyramide mit quadratischer Grundfläche
Braun Würfel

Netze entwerfen

Netz einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche zeichnen

Aufgabe 2: Pyramidennetz zeichnen

Zeichne auf einem separaten Blatt (nicht das Arbeitsblatt!) das Netz einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche. Die Länge der Grundkante soll dabei cm betragen und die Länge der Seitenhöhe soll cm sein.

Anleitung:

  1. Zeichne zuerst ein Quadrat mit Seitenlänge cm.
  2. Zeichne nun in das Quadrat die beiden Diagonalen ein; deren Schnittpunkt kennzeichnest du mit einem M.
  3. Tu folgendes für alle vier Seiten des Quadrats: Lege das Geo-Dreieck so, dass eine Gerade entsteht, die durch M und senkrecht durch die jeweilige Seite verläuft. Somit erhältst du die vier Punkte, die mittig auf den Seiten liegen. Zeichne diese Punkte ein und nenne sie A, B, C bzw. D.
  4. Zeichne jetzt, von den vier mittig auf den Seiten liegenden Punkten A bis D ausgehend, jeweils eine cm-lange Strecke ein; diese beginnt jeweils in den Punkten A (bzw. B, C, D), steht senkrecht auf der jeweiligen Seite des Quadrats und führt vom Quadrat weg.
  5. Verbinde nun die "Enden" der soeben erstellten Strecken mit den beiden nächstliegenden Ecken des Quadrats, sodass vier Dreiecke entstehen, die das Quadrat umschließen.
Deine Zeichnung sollte im Wesentlichen so aussehen wie das lila dargestellte Netz aus der Abbildung in Aufgabe 1.

Der regelmäßige Tetraeder

Nicht alle Pyramiden haben eine quadratische Grundfläche. Ein Rechteck, ein Dreieck, ein Sechseck oder andere Vielecke als Grundfläche sind ebenfalls möglich. Ein besonderer Fall ist die Pyramide, die aus vier gleichseitigen Dreiecken besteht (womit die Grundfläche auch dreieckig ist). Dieser Körper heißt regelmäßiger Tetraeder.


Merksatz: Regelmäßiger Tetraeder

Ein regelmäßiger Tetraeder ist eine Pyramide, die aus vier gleichseitigen Dreiecken besteht (gleichseitige Dreiecke sind auch gleichwinklig; alle drei Innenwinkel betragen jeweils ).

Schrägbild eines Tetraeders
Aufgabe 3: Netz eines regelmäßigen Tetraeders

Zeichne nun das Netz eines regelmäßigen Tetraeders.

Wie sehen alle Flächen eines regelmäßigen Tetraeders aus?
Deine Zeichnung sollte dem hellblauen Netz im Bild der Aufgabe 1 ähnlich sein.

Körper herstellen

Vom Netz zum Körper

Eben hast du (mindestens) ein Körpernetz gezeichnet. Nun soll daraus ein dreidimensionaler Körper hergestellt werden. Nachfolgend ist die Herstellung einer Pyramide dargestellt.


Aufgabe 4: Vom Netz zum Körper

a) Bewege den Schieberegler, um die Seitenflächen der Pyramide aufzurichten oder abzusenken. Durch Verschieben der Eckpunkte kannst du die Gestalt der Pyramide verändern.

GeoGebra

b) Stelle aus dem in Aufgabe 2 angefertigten Netz eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche her. Fixiere die Mantelfläche mit Klebeband, um zu verhindern, dass sich die Pyramide wieder "öffnet".

Schrägbilder zeichnen

Merksatz: Schrägbild

Schrägbilder stellen dreidimensionale Körper zweidimensional dar.

Schrägbild Würfel.png

Schrägbild einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche zeichnen

Aufgabe 5: Schrägbild einer Pyramide

Grundlagen-bearbeiten.png Bearbeite diese Aufgabe wieder auf dem Arbeitsblatt.

Zeichne das Schrägbild einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche mit Grundflächenkantenlänge cm und Körperhöhe cm, indem du wie folgt vorgehst:

  1. Zeichne zuerst die Grundfläche. Stell dir vor, die Grundfläche würde "nach hinten weggehen". Diese perspektivische Darstellung gelingt dir, indem du die "nach hinten weggehenden" Kanten
    • nur halb so lang wie eigentlich und
    • unter einem Winkel von (Verzerrungswinkel) zeichnest (siehe Abbildung oben).
  2. Vervollständige das Schrägbild. Zeichne dazu die Diagonalen als Hilfslinien ein. Zeichne die Höhe der Pyramide ein. Verbinde die Spitze mit den Eckpunkten der Grundfläche.

Die in die Tiefe, also nach hinten gehenden Seiten werden unter einem Winkel gezeichnet; nicht sichtbare Kanten werden gestrichelt dargestellt.

GeoGebra

Schrägbild eines regelmäßigen Tetraeders

Aufgabe 6: Schrägbild eines Tetraeders

Zeichne das Schrägbild eines regelmäßigen Tetraeders. Die Kanten der Grundfläche sind cm lang und die Höhe der Pyramide soll cm betragen. Beachte beim Zeichnen die Merkmale dieser besonderen Pyramide.

Fertige dir eine Hilfszeichnung an mit deiner Grundfläche an, um die passende Verzerrung des Schrägbildes zu ermitteln. Tipp: Die Grundfläche ist gleichwinklig.

Wenn du weitere Hilfestellung benötigst, schaue dir dieses Video bis zur Minute an. [1]

Hinweis: Es gibt auch die Möglichkeit, die Grundfläche mit Hilfe von Winkelmessungen anstatt mit dem Zirkel zu zeichnen, da die Grundfläche gleichwinklig ist und somit alle Winkel betragen.
Du kannst dir folgendes Video zum Vergleich deiner Lösung ansehen (ab Minute ): [2]

Sicherung

Lückentext

Aufgabe 7: Lückentext Pyramiden

a) Vervollständige den Lückentext.

Folgende Begriffe kannst du einsetzen:

dreidimensional; halb so lang; beliebig viele Ecken; ; unverzerrt; gleichseitig; ; Tetraeder; Körper; Schrägbild; zweidimensional; Quader; Verzerrungswinkel; ; doppelt so groß; verzerrt; rechter Winkel



b) Grundlagen-bearbeiten.png Übertrage die richtige Lösung auf dein Arbeitsblatt.

Praktische Sicherung

Aufgabe 8: Auf dem Dach

Eine Scheune ist m lang und ebenso breit. Sie hat ein pyramidenförmiges, m hohes Dach. Die Seitenflächen dieses Dachs haben eine Seitenflächenhöhe von m.

a) Zeichne das Netz des Daches im Maßstab .

Im Maßstab entsprechen m in der Realität cm in deiner Skizze.

Folgende Skizze zeigt eine mögliche Lösung.

Netz Scheunendach.pdf

b) Zeichne ein maßstabsgetreues Schrägbild des Scheunendaches im Maßstab .

Achte beim Vergleich mit deiner Lösung darauf, ob...

  1. du die nicht sichtbaren Linien gestrichelt eingezeichnet hast.
  2. dein Verzerrungswinkel beträgt.
Schrägbild Scheunendach.pdf