Digitale Werkzeuge in der Schule/Mathematik im Beruf/Tischlerinnen und Tischler

Info

In diesem Lernpfadkapitel kannst du dein bereits erworbenes Wissen zum Thema rechtwinklige Dreiecke vertiefen. Zudem lernst du, mithilfe des Satzes von Pythagoras verschiedene Größen eines Dreiecks zu berechnen.

Für die Bearbeitung dieses Kapitels benötigst du dein Tablet, das zum Lernpfad gehörende Arbeitsblatt Tischlerin und Tischler und einen Taschenrechner.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

• In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
• Aufgaben in pinker Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
• Und Aufgaben mit lilanem Streifen sind Knobelaufgaben.

Viel Erfolg!

Dein Praktikum bei Herrn Meier

Herr Meier ist Tischler. Weil du dich für den Beruf des Tischlers oder der Tischlerin interessierst, begleitest du ihn heute bei seiner Arbeit. Ihr besucht heute ein Grundstück, für das Herr Meier gerade zuständig ist. Dabei habt ihr verschiedene Aufgaben zu erledigen, so müsst ihr einige fertige Möbel aufbauen und anbringen sowie neue Konstruktionen planen.

Aufgabe 1: Probleme sammeln

Sammle Ideen, welche Probleme dir während deines Praktikums bei Herrn Meier begegnen könnten, bei denen die Mathematik dir hilft.

Gib drei mögliche Probleme auf deinem Arbeitsblatt unter "Probleme sammeln" an.

• 

  Hütte aus Holz

• 

  Dachgiebel

• 

  Dachstütze

Vorwissen

Um Herrn Meier behilflich zu sein, musst du dich an einige Inhalte aus dem Mathematikunterricht erinnern. Bearbeite dazu die folgenden Aufgaben.

Aufgabe 2: Das rechtwinklige Dreieck

Um den Aufbau eines rechtwinkligen Dreiecks zu beschreiben, verwendet man die Begriffe "Kathete" und "Hypotenuse". Ordne bei dem abgebildeten Dreieck zu, welche Seiten die Katheten sind und welche Seite die Hypotenuse ist. Klicke dazu auf die roten Markierungen, um eine Antwort auszuwählen. Bei diesem Symbol bekommst du einen Hinweis.

Aufgabe 3: Satz des Pythagoras

Wähle die richtigen Bestandteile der Formel aus, um den Satz des Pythagoras zu bilden.

Aufgabe 4: Lückentext

Fülle den Lückentext hier im Lernpfad aus. Wenn alle deine Antworten als richtig angezeigt werden, trage sie auf dem Arbeitsblatt in den Lückentext (Aufgabe 2) ein.

Aufgaben im Praktikum

Jetzt geht es los: An deinem Praktikumstag hat Herr Meier einige Aufgaben für dich. Ihr fahrt zum Grundstück eines Hauses, das noch nicht fertig gestellt ist. Zunächst müsst ihr Dachstützen für das Dach des Hauses konstruieren, danach eine Hütte im Garten bauen und Teile dafür zuschneiden. Dann sollt ihr einen Eckschrank planen, der im Wohnzimmer des Hauses stehen wird, und zuletzt berechnet ihr die Maße für einen Schrank im Haus.

Notiere dir die Rechnungen für die folgenden Aufgaben auf deinem Arbeitsblatt auf den Seiten 3 und 4 für weitere Rechnungen. Da man Längen in der Praxis nicht genauer messen oder zuschneiden könnte, reicht es, wenn du die Ergebnisse der Aufgaben, die in cm angegeben sind, auf eine Nachkommastelle rundest.

Dachstützen konstruieren

Aufgabe 5: Dachstütze

Eine Dachstütze - So soll das fertige Bauteil aussehen.

a) Zuerst sollst du ein Bauteil für einen Dachstuhl verleimen und zwar als rechtwinkliges Dreieck. Damit das Dreieck rechtwinklig ist, musst du geeignete Längen verwenden. Herr Meier gibt dir den Tipp, die Längen $3$ dm, $4$ dm und $5$ dm zu verwenden. Diese Maße werden im Beruf des Tischlers und der Tischlerin häufig genutzt, man nennt dieses Seitenverhältnis 3:4:5 auch Maurerdreieck. Überprüfe, warum dieses Seitenverhältnis nützlich ist, indem du zeigst, dass du mit diesen Längen ein rechtwinkliges Dreieck konstruieren kannst.

Überlege zuerst, welche Seiten die Katheten sind und welche die Hypotenuse ist. Setze zwei Seitenlängen des Dreiecks in den Satz des Pythagoras ein und überprüfe, ob die Gleichheit erfüllt ist.

Die längste Seite ist die Hypotenuse, also haben wir $c = 5$ dm und die beiden anderen Seiten sind die Katheten mit $a = 3$ dm und $b = 4$ dm. Also muss gelten:

$\begin{align} &&a^2 + b^2 &=c^2\\ \Leftrightarrow &&3^2 + 4^2&=5^2 \end{align}$

Wir rechnen nach:

$\begin{align} a^2 + b^2 &= 3^2 + 4^2\\ &= 9 + 16\\ &= 25\\ &= 5^2 = c^2 \end{align}$

Also kann man mit Holzbalken, die Längen im Verhältnis 3:4:5 haben, ein rechtwinkliges Dreieck konstruieren.

Die geplante Kopfbandkonstruktion

b) Für eine Kopfbandkonstruktion nennt dir Herr Meier eine Höhe von $45$ cm und eine Breite von $45$ cm. Du sollst nun das Kopfband zuschneiden. Die Länge dessen ist nicht bekannt und die gesamte Konstruktion muss noch angefertigt werden, sodass du die Länge nicht ausmessen kannst. Berechne die Länge des Kopfbandes.

Die gesuchte Seite ist die Hypotenuse.

$\begin{align} & & 45^2 + 45^2 &= c^2 & &\mid \text{Termumformung}\\ \Leftrightarrow & & 4.050 &= c^2 & &\mid \surd\\ \Leftrightarrow & & \sqrt{4.050} &= c \\ \Leftrightarrow & & c &\approx 63{,}6 \end{align}$

Also musst du ein Kopfband von $63{,}6$ cm Länge zuschneiden.

Ein Gartenhäuschen bauen

Aufgabe 6: Gartenhäuschen

Im Garten soll ein Spielhäuschen aufgebaut werden. Als Dach sollen zwei Holzplatten dienen, die jeweils rechts und links an den Dachgiebel angebracht werden. Berechne wie lang die rot makierte Seite der Holzplatte sein muss, wenn das Häuschen insgesamt $1{,}5$ m breit und $1{,}5$ m hoch ist. Die Höhe des Häuschens ohne das Dach beträgt $1{,}1$ m.

Der Plan des Gartenhäuschens

Überlege, wo du in diesem Konstrukt ein rechtwinkliges Dreieck findest, was dir zur Berechung helfen kann.

Das gefragte Dreieck ist in grün eingezeichnet. Überlege, welche Längen der Seiten des Dreiecks du dir aus den Beschriftungen erschließen kannst.

Rechtwinkliges Dreieck im Dachgiebel

Wir betrachten die waagerechte Seite $a = 75$ cm und die senkrechte Seite $b = 40$ cm. Diese Längen setzen wir in den Satz des Pythagoras ein:

$\begin{align} & & 40^2 + 75^2 &= c^2 & &\mid \text{Termumformung}\\ \Leftrightarrow & & 7.225 &= c^2 & &\mid \surd\\ \Leftrightarrow & & 85 &= c \end{align}$

Also ist die gefragte Länge $85$ cm.

Einen Eckschrank planen

Info

Bei Aufgabe 7 kannst du zwischen der Aufgabe 7a oder Aufgabe 7b wählen. Beachte, dass die Aufgaben 7a und 7b verschiedene Schwierigkeitsstufen haben.

Aufgabe 7a: Eckschrank

Nach den Arbeiten im Garten seid ihr nun im zukünftigen Wohnzimmer. Hier soll ein Eckschrank konstruiert werden. Die Tür dieses Schranks soll in der Mitte zu öffnen sein und dann zu beiden Seiten aufgehen. Der Schrank endet an den Wänden und zwar jeweils $55$ cm von der Zimmerecke entfernt. Fertige zunächst eine Skizze an und vergleiche diese mit der Skizze im Kasten unten. Berechne dann die Länge einer Tür.

Eckschrank

Die gesuchte Länge ist die Hälfte der Hypotenuse. Wir berechnen zunächst die gesamte Länge der Hypotenuse mit Hilfe des Satz des Pythagoras: $\begin{align} & & 55^2 + 55^2 &= c^2 & &\mid \text{Termumformung}\\ \Leftrightarrow & & 6.050 &= c^2 & &\mid \surd\\ \Leftrightarrow & & 77{,}8 &\approx c \end{align}$

Da nur nach der Länge einer Tür gefragt ist, müssen wir das Ergebnis noch durch zwei teilen. $77{,}8 : 2 = 38{,}9$

Also beträgt die Länge einer Tür $38{,}9$ cm.

Aufgabe 7b: Eckschrank zwischen Schränken

Nach den Arbeiten im Garten seid ihr nun im zukünftigen Wohnzimmer. Hier soll ein Eckschrank konstruiert werden. Dieser hat allerdings die Besonderheit, dass er sich zwischen zwei bereits vorhandenen Schränken befinden soll. Diese stehen jeweils $90$ cm von der Zimmerecke entfernt und sind jeweils $50$ cm breit. Der Eckschrank soll eine durchgängige Tür haben, die von dem einen Schrank zum anderen reicht. Fertige zunächst eine Skizze an und vergleiche diese mit der Skizze im Kasten unten. Berechne dann die Länge dieser Schranktür.

Eckschrank zwischen zwei Schränken

Lösungsskizze Aufgabe 7

In der Skizze sehen wir das rechtwinklinge Dreieck, welches man zur Berechnung der gesuchten, grün markierten Seite konsturiert hat. Durch Rechnen mit den gegebenen Werten finden wir für dieses Dreieck die notwendigen Maße. Diese betragen an beiden Seiten $40$ cm. Mit diesen wenden wir dann den Satz des Pythagoras an:

$\begin{align} & & 40^2 + 40^2 &= c^2 & &\mid \text{Termumformung}\\ \Leftrightarrow & & 3.200 &= c^2 & &\mid \surd\\ \Leftrightarrow & & 56{,}6 &\approx c \end{align}$

Somit beträgt die Länge der Schranktür $56{,}6$ cm.

Einen Schrank aufstellen

Aufgabe 8: Schrankaufbau

Zuletzt sollt ihr für den Kunden Holz für einen Schrank zuschneiden. Der Schrank soll später im Liegen zusammengebaut und dann aufgestellt werden. Herr Meier hat eine Deckenhöhe von $2{,}40$ m abgemessen und der Schrank soll eine Tiefe von $50$ cm haben. Berechne die Höhe, die der Schrank maximal haben darf, damit er nach dem Zusammenbauen noch aufgestellt werden kann. Nutze zunächst das untenstehende Geogebra-Applet und verschaffe dir einen Überblick über das Problem.

Notiere deine Rechnung dann auf deinem Arbeitsblatt bei der Aufgabe "Schrankaufbau".

Überlege, welche Anforderungen der Schrank erfüllen muss, damit er aufgestellt werden kann.

Tippe im Applet auf "Hilfslinie anzeigen". Was für eine Linie ist das?

Um die maximale Höhe des Schrankes herauszufinden, darf die Diagonale dessen höchstens der Deckenhöhe entsprechen, damit der Schrank problemlos aufgerichtet werden kann. Für das rechtwinklige Dreieck, welches von der Diagonale des Schrankes gebildet wird, ist die Länge der Hypotenuse also $2{,}40$ m und die Länge der einen Kathete $50$ cm gegeben. $2{,}40$ m entsprechen $240$ cm. Wir suchen also die Länge der zweiten Kathete und berechnen sie mithilfe des Satz des Pythagoras:

$\begin{align} & & 50^2 + b^2 &= 240^2 & &\mid -50 ^ 2\\ \Leftrightarrow & & b^2 &= 240^2 - 50^2 \\ \Leftrightarrow & & b^2 &= 55.100 & &\mid \surd\\ \Leftrightarrow & & b &\approx 234{,}7 \end{align}$

Die Höhe des Schrankes darf somit maximal $234{,}7$ cm, also $2{,}347$ m hoch sein.

Erkenntnisse aus dem Praktikum

Aufgabe 9: Erkenntnisse aus dem Praktikum

Bearbeite auf dem Arbeitsblatt die Aufgabe "Erkenntnisse aus dem Praktikum". Wie können wir potenzielle oder konkrete Probleme, die in handwerklichen Berufen auftreten, mithilfe des Werkzeugs Mathematik lösen?

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