Digitale Werkzeuge in der Schule/Funktioniert's? Übergang von der SI zur SII/Quadratische Funktionen

In diesem Lernpfad geht es darum, dass du im Bereich der quadratischen Funktionen noch etwas sicherer wirst. Im Laufe dieses Lernpfads kannst du also noch einmal die Scheitelpunktform und die Normalform der quadratischen Funktion wiederholen und einige Übungsaufgaben dazu erledigen. Am Ende dieses Lernpfads erwartet dich dann noch eine Anwendungsaufgabe zu diesem Themengebiet.

Die Scheitelpunktform

Die Parameter der Scheitelpunktform

In diesem Aufgabenteil geht es um das Verständnis der Scheitelpunktform der quadratischen Funktion.

Aufgabe 1 Die Parameter der Scheitelpunktform erkunden

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Scheitelpunktformen und ihre Graphen

In diesem Abschnitt wiederholen wir noch einmal die Scheitelpunktform und ihre dazugehörigen Graphen.

Scheitelpunktformen erkennen

Aufgabe 2 Zuordnung von Scheitelpunktformen zu ihren Graphen

Ordne den angegebenen Graphen ihre Scheitelpunktform zu.

Scheitelpunktformen zeichnen

Aufgabe 3 Zeichnen von Graphen anhand der Scheitelpunktform

Zeichne die angegebenen Funktionen als Graphen auf ein Blatt Papier:

$1.\quad f(x)=3(x-2)^2+1$
$2.\quad g(x)=-0,5(x+1)^2-2$ <popup name="Lösungen zu den Graphen">Error: www.geogebra.org is not an authorized iframe site.</popup>

Funktionsgleichungen mit Hilfe der Scheitelpunktform aufstellen

Aufgabe 4 Funktionsgleichungen aufstellen

Stelle mit Hilfe der angegebenen Punkte die Funktionsgleichung auf:

Wanted: Parabel

1) Wir suchen die Parabel f mit dem Scheitelpunkt S(-3|1), die durch den Punkt P(2|6) verläuft.
2) Gesucht ist die Parabel g, die die y-Achse bei -4 schneidet, und die ihren Scheitelpunkt bei S(1|-1) hat.

<popup name="Lösung zu f"> Scheitelpunkt in die Scheitelpunktform einsetzen:
$f(x)=a(x-(-3))^2+1=a(x+3)^2+1$
P einsetzen und nach a auflösen:
$f(2)=6$
$\Leftrightarrow a(2+3)^2+1=6$
$\Leftrightarrow 25a+1=6 \mid -1$
$\Leftrightarrow 25a=5 \mid :25$
$\Leftrightarrow a=\frac{1}{5}$
a einsetzen:
$\Rightarrow f(x)=\frac{1}{5}(x-3)^2+1$

</popup> <popup name="Lösung zu g"> Scheitelpunkt einsetzen:
$g(x)=a(x-1)^2-1$
Schnittpunkt mit der y-Achse P(0|-4) einsetzen, nach a auflösen:
$g(0)=-4$
$a(0-1)^2-1=-4$
$1a-1=-4 \mid +1$
$a=-3$
a einsetzen:
$\Rightarrow g(x)=-3(x-1)^2-1$ </popup>

Scheitelpunktform und Normalform

Umrechnung in die jeweils andere Form

Aufgabe 5 Rechnen mit der Scheitelpunktform und der Normalform

Überlege dir noch einmal, wie die Scheitelpunktform in die Normalform und die Normalform in die Scheitelpunktform umgerechnet wird.

Von der Scheitelpunktform zur Normalform

Aufgabe 6 Umformung von der Scheitelpunktform zur Normalform

Forme die folgenden Scheitelpunktformen in deinem Heft in die Normalenformen um und klicke dann das richtige Ergebnis an.

<popup name="Tipp 1"> Benutze zum Lösen die 1. oder 2. Binomische Formel! </popup> <popup Name="Tipp 2"> Behalte im Hinterkopf: 1. Punkt-vor-Strich-Rechnung und 2."Eine Klammer wird zuerst berechnet". </popup> <popup Name="Tipp 3"> 1. Binomische Formel: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$

2. Binomische Formel: $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$ </popup> <popup name="Lösungen mit Lösungsweg"> $\begin{matrix} f(x)&=&(x+3)^2 &|1. Binomische\, Formel\, anwenden \\ &=&x^2+6x+9 \end{matrix}$

$\begin{matrix} g(x)&=&2(x-3)^2 &|2. Binomische\, Formel\, anwenden \\ &=&2(x^2-6x+9) &|Klammer\, ausmultiplizieren \\ &=&2x^2-12x+18 \end{matrix}$

$\begin{matrix} h(x)&=&4(x+1)^2-6 &|1. Binomische\, Formel\, anwenden \\ &=&4(x^2+2x+1)-6 &|Klammer\, ausmultiplizieren \\ &=&4x^2+8x+4-6 &|zusammenrechnen \\&=&4x^2+8x-2 \end{matrix}$

$\begin{matrix} i(x)&=&-0,5(x-2)^2+6 &|2. Binomische\, Formel\, anwenden \\ &=&-0,5(x^2-4x+4)+6 &|Klammer ausmultiplizieren \\ &=&-0,5x^2+2x-2+6 &|zusammenrechnen \\&=&-0,5x^2+2x+4 \end{matrix}$ </popup>

Von der Normalform zur Scheitelpunktform

Aufgabe 7

<popup name="Lösungen für f"> $\begin{matrix} f(x)&=&x^2-8x+18 \\ &=&x^2-8x+4^2-4^2+18 \\ &=&(x-4)^2-16+18 \\ &=&(x-4)^2+2 \end{matrix}$ </popup>

<popup name="Tipp für g und h"> Denke daran, den Faktor vor dem $x^2$ zunächst auszuklammern! </popup>

<popup name="Lösungen für g"> $\begin{matrix} g(x)&=&5x^2+30x+43 \\ &=&5(x^2+6x+8.6) \\ &=&5(x^2+6x+3^2-3^2+8.6) \\ &=&5[(x+3)^2-3^2+8.6] \\ &=&5[(x+3)^2-0.4] \\ &=&5(x+3)^2-2 \end{matrix}$ </popup>

<popup name="Lösungen für h"> $\begin{matrix} h(x)&=&0.2x^2-0.6x+0.45 \\ &=&0.2(x^2-3x+2.25) \\ &=&0.2(x^2-3x+1.5^2-1,5^2+2.25) \\ &=&0.2(x-1.5)^2 \end{matrix}$ </popup>

Anwendungsaufgabe "Turm"

Aufgabe 8 Turm

Von einem Turm aus wird ein Stein geworfen. Die Wurfbahn ist parabelförmig und kann mit der Gleichung
$f(x)=-0.08x^2-0.8x+15$
beschrieben werden ( x und f(x) in Metern).
Fertige zunächst eine Skizze an und beantworte dann folgende Fragen:
1. Wie hoch ist der Turm?
2. Welche maximale Höhe erreicht der Stein? Wie weit ist er dann von dem Turm entfernt.

3. In welcher Entfernung vom Turm schlägt der Stein auf den Boden auf?

<popup name="Lösung zu Aufgabe 1"> Turmhöhe als Schnittpunkt mit der y-Achse:
$\begin{array}{rll} f(0)&=&-0,08 \cdot 0^2+0,8 \cdot 0+15 \\ &=& 15 \end{array}$
Der Turm ist 15m hoch.

</popup> <popup name="Lösung zu Aufgabe 2"> Umwandeln in die Scheitelpunktform:
$\begin{array}{rll} f(x)&=&-0,08x^2+0,8x+15 \\ &=&-0,08(x^2-10x-187,5) \\ &=&-0,08((x-5)^2-25-187,5) \\ &=&-0,08(x-5)^2+17 \end{array}$

</popup> <popup name="Lösung zu Aufgabe 3"> Nullstellen berechnen:
Lösungsweg 1: Lösen mit der pq-Formel:

$\begin{array}{rlll} 0&=&f(x)& \\ &=&-0,08x^2+0,8x+15 & \mid :-0,08 \\ &=&x^2-10x-187,5 & \\ \end{array}$

$\Rightarrow p=-10, q=-187,5$

$\begin{array}{rll} x_{1/2} &=& -\frac{-10}{2} \pm \sqrt{{\left ( \frac{-10}{2} \right )}^2 -(-187,5)} \\ &=& 5 \pm 14.58 \\ \end{array}$ $<br> \Rightarrow x_1=14.58+5=19.58$ und $x_2=-14.58+5=-9.58$

Lösungsweg 2: Lösen mit der Scheitelpunktform:
$\begin{array}{rlll} 0 & = & -0,08(x-5)^2+17 & \mid :-0,08 \\ &=& (x-5)^2-212.5 & \mid +212.5 \\ 212.5 &=& (x-5)^2 & \mid \sqrt{ } \\ \pm 14.58 &=& x-5 & \mid +5 \\ \pm 14.58+5 &=& x & \\ \end{array}$
$\Rightarrow x_1=14.58+5=19.58$ und $x_2=-14.58+5=-9.58$ </popup>