Digitale Werkzeuge in der Schule/Funktioniert's? Übergang von der SI zur SII/Quadratische Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen
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<popup name="Tipp 1"> Überlege dir, welchen Wert f(x) annehmen muss, wenn die Rakete auf den Boden auftritt. </popup> | <popup name="Tipp 1"> Überlege dir, welchen Wert f(x) annehmen muss, wenn die Rakete auf den Boden auftritt. </popup> | ||
<popup name="Tipp 2"> Setze f(x)=0 und berechne die Nullstellen mithilfe der p-q-Formel. </popup> | <popup name="Tipp 2"> Setze f(x)=0 und berechne die Nullstellen mithilfe der p-q-Formel. </popup> | ||
<popup name="Tipp 3"> <math> | <popup name="Tipp 3"> '''Die p-q-Formel:'''Für eine Gleichung 0=x^2+px+q liefert die p-q-Formel die Lösungen: <math> | ||
x_{1/2}= -\frac{ | x_{1/2}= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{{\left ( \frac{p}{2} \right )}^2 -q} | ||
</math><br> </popup> | </math>. Denke daran, dass dabei vor dem x^2 kein Vorfaktor stehten darf. Dieser muss also durch Division eliminiert werden.<br> </popup> | ||
c) Nach wieviel Metern erreicht die Rakete ihre maximale Höhe? Welche Höhe erreicht sie?<br /> | c) Nach wieviel Metern erreicht die Rakete ihre maximale Höhe? Welche Höhe erreicht sie?<br /> | ||
d) Bei gleichbleibendem Startpunkt soll die Flugbahn so verändert werden, dass nach 10 m Entfernung vom Startpunkt die maximale Höhe von 120 m erreicht wird. Bestimme eine Funktionsgleichung für diese neue Flugbahn. | d) Bei gleichbleibendem Startpunkt soll die Flugbahn so verändert werden, dass nach 10 m Entfernung vom Startpunkt die maximale Höhe von 120 m erreicht wird. Bestimme eine Funktionsgleichung für diese neue Flugbahn. | ||
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<popup name="Lösung zu b)"> | <popup name="Lösung zu b)"> | ||
Nullstellenberechnung:<br /> | Nullstellenberechnung:<br /> | ||
Dafür müssen wir im ersten Schritt beim Summanden <math>x^2</math> den | Dafür müssen wir im ersten Schritt beim Summanden <math>x^2</math> den Vorfaktor eliminieren.<br /> | ||
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\begin{array}{rlll} | \begin{array}{rlll} |
Version vom 31. Mai 2018, 09:44 Uhr
In diesem Lernpfad geht es darum, dass du im Bereich der quadratischen Funktionen noch etwas sicherer wirst. Im Laufe dieses Lernpfads kannst du also noch einmal die Scheitelpunktform und die Normalform der quadratischen Funktion wiederholen und einige Übungsaufgaben dazu erledigen. Am Ende dieses Lernpfads erwartet dich dann noch eine Anwendungsaufgabe zu diesem Themengebiet. |
Die Scheitelpunktform
Die Parameter der Scheitelpunktform
Scheitelpunktformen und ihre Graphen
Funktionsgleichungen aufstellen
Scheitelpunktform und Normalform
Von der Scheitelpunktform zur Normalform
<popup name="Tipp 1">
Benutze zum Lösen die 1. oder 2. Binomische Formel!
</popup>
<popup Name="Tipp 2">
Behalte im Hinterkopf: 1. Punkt-vor-Strich-Rechnung und 2."Eine Klammer wird zuerst berechnet".
</popup>
<popup Name="Tipp 3">
1. Binomische Formel:
2. Binomische Formel:
</popup>
<popup name="Lösung">
</popup>
Von der Normalform zur Scheitelpunktform
In Aufgabe 5 hast du wiederholt, wie man die Normalform in die Scheitelpunktform überführt. Das kannst du in Aufgabe 9 üben. Zuerst wollen wir uns aber noch einmal genau ansehen, was die quadratische Ergänzung ist und warum man sie für die Umwandlung braucht. Wenn du dich mit der quadratischen Ergänzung schon sicher fühlst, kannst du direkt Aufgabe 9 bearbeiten.
Die quadratische Ergänzung ist ein Trick, den man benutzt, wenn die man die 1. oder 2. binomische Formel rückwärts anwenden anwenden möchte.
Zur Erinnerung:
Wir wollen jetzt also nicht die Klammer ausmultiplizieren, sondern den Term zu so einem Klammerausdruck umformen, z.B. den Term .
Wie das funktioniert, kannst du in dieser Aufgabe noch mal wiederholen:
Wichtig: Wenn for dem x2 ein Faktor steht, muss dieser zunächst ausgeklammert werden:
| Faktor 3 ausklammern
| Faktor 2 "herausziehen"
| quadratische Ergänzung
| 2. Binomische Formel
| zusammenfassen
| ausmultiplizieren
<popup name="Tipp">
Denke daran, bei den Funktionsgleichungen von g und h den Faktor vor dem zunächst auszuklammern!
</popup>
<popup name="Lösung">
</popup>
Anwendungsaufgabe "Rakete"
<popup name="Lösung zu a)">
Das Dach, von dem die Rakete abgeschossen wird, ist 18 Meter hoch.
</popup>
<popup name="Lösung zu b)">
Nullstellenberechnung:
Dafür müssen wir im ersten Schritt beim Summanden den Vorfaktor eliminieren.
Im zweiten Schritt benutzen wir die p-q-Formel, um die Nullstellen der Funktion zu bestimmen.
und
Da wir wissen wollen, wie weit die Rakete fliegen würde, bis sie auf dem Boden aufkommt, müssen wir nur den größeren x-Wert betrachten. Also kommt die Rakete nach ca. 42.14 Metern auf dem Boden auf.
</popup>
<popup name="Lösung zu Zusatzaufgabe)">
Wir müssen also den x-Wert zum zugehörigen f(x)=30 berechnen.
und
Die Rakete hat also nach ca. 1.56 Metern und nach ca. 38.44 Metern eine Flughöhe von 30 Metern.
</popup>
<popup name="Lösung zu c)"> Eine Möglichkeit wäre es, die Funktion in ihre Scheitelpunktform zu übersetzen und den Scheitelpunkt dann abzulesen. Der Scheitelpunkt beschreibt in diesem Fall den höchsten Punkt der Flugbahn.
</popup>
<popup name="Lösung zu d)">
</popup>