Digitale Werkzeuge in der Schule/Funktioniert's? Übergang von der SI zur SII/Quadratische Funktionen

In diesem Lernpfad geht es darum, dass du im Bereich der quadratischen Funktionen noch etwas sicherer wirst. Im Laufe dieses Lernpfads kannst du also noch einmal die Scheitelpunktform und die Normalform der quadratischen Funktion wiederholen und einige Übungsaufgaben dazu erledigen. Am Ende dieses Lernpfads erwartet dich dann noch eine Anwendungsaufgabe zu diesem Themengebiet.

Die Scheitelpunktform

Die Parameter der Scheitelpunktform

Aufgabe 1 Die Parameter der Scheitelpunktform erkunden

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Scheitelpunktformen und ihre Graphen

Aufgabe 2 Zuordnung von Scheitelpunktformen zu ihren Graphen

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Aufgabe 3 Zeichnen von Graphen anhand der Scheitelpunktform

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Funktionsgleichungen aufstellen

Aufgabe 4 Funktionsgleichungen aufstellen

-4) einsetzen, nach a auflösen:
$g(0)=-4$
$a(0-1)^2-1=-4$
$1a-1=-4 \mid +1$
$a=-3$
a einsetzen:
$\Rightarrow g(x)=-3(x-1)^2-1$

</popup>

Scheitelpunktform und Normalform

Aufgabe 5 Rechnen mit der Scheitelpunktform und der Normalform

Überlege dir noch einmal, wie die Scheitelpunktform in die Normalform und die Normalform in die Scheitelpunktform umgerechnet wird.

Von der Scheitelpunktform zur Normalform

Aufgabe 6 Umformung von der Scheitelpunktform zur Normalform

Forme die folgenden Scheitelpunktformen in deinem Heft in die Normalenformen um und klicke dann das richtige Ergebnis an.

<popup name="Tipp 1"> Benutze zum Lösen die 1. oder 2. Binomische Formel! </popup> <popup Name="Tipp 2"> Behalte im Hinterkopf: 1. Punkt-vor-Strich-Rechnung und 2."Eine Klammer wird zuerst berechnet". </popup> <popup Name="Tipp 3"> 1. Binomische Formel: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$

2. Binomische Formel: $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$ </popup> <popup name="Lösung"> $\begin{array}{rlll} f(x)&=&(x+3)^2 & \mid 1.\,Binomische\, Formel\, anwenden \\ &=&x^2+6x+9 \\ \end{array}$

$\begin{array}{rlll} g(x)&=&2(x-3)^2 & \mid 2.\, Binomische\, Formel\, anwenden \\ &=&2(x^2-6x+9) & \mid Klammer\, ausmultiplizieren \\ &=&2x^2-12x+18 \\ \end{array}$

$\begin{array}{rlll} h(x)&=&4(x+1)^2-6 & \mid 1.\, Binomische\, Formel\, anwenden \\ &=&4(x^2+2x+1)-6 & \mid Klammer\, ausmultiplizieren \\ &=&4x^2+8x+4-6 & \mid zusammenfassen \\&=&4x^2+8x-2 \\ \end{array}$

$\begin{array}{rlll} i(x)&=&-0,5(x-2)^2+6 & \mid 2.\, Binomische\, Formel\, anwenden \\ &=&-0,5(x^2-4x+4)+6 & \mid Klammer\, ausmultiplizieren \\ &=&-0,5x^2+2x-2+6 & \mid zusammenfassen \\&=&-0,5x^2+2x+4 \\ \end{array}$ </popup>

Von der Normalform zur Scheitelpunktform

In Aufgabe 5 hast du wiederholt, wie man die Normalform in die Scheitelpunktform überführt. Das kannst du in Aufgabe 9 üben. Zuerst wollen wir uns aber noch einmal genau ansehen, was die quadratische Ergänzung ist und warum man sie für die Umwandlung braucht. Wenn du dich mit der quadratischen Ergänzung schon sicher fühlst, kannst du direkt Aufgabe 9 bearbeiten.

Die quadratische Ergänzung ist ein Trick, den man benutzt, wenn die man die 1. oder 2. binomische Formel rückwärts anwenden anwenden möchte.
Zur Erinnerung:

Merke

1. Binomische Formel: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

2. Binomische Formel: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

Wir wollen jetzt also nicht die Klammer ausmultiplizieren, sondern den Term zu so einem Klammerausdruck umformen, z.B. den Term $x^2+6x+15$.
Wie das funktioniert, kannst du in dieser Aufgabe noch mal wiederholen:

Aufgabe 7 Die quadratische Ergänzung wiederholen

Wichtig: Wenn for dem x² ein Faktor steht, muss dieser zunächst ausgeklammert werden:

Aufgabe 8 Quadratische Ergänzung bei Vorfaktor

Ergänze in dem folgenden Beispiel die Umformungsschritte, indem du sie an die richtige Stelle ziehst.

$3x^2-24x+60$ | Faktor 3 ausklammern
$3(x^2-8x+20)$ | Faktor 2 "herausziehen"
$3(x^2-2 \cdot x \cdot 4 +20)$ | quadratische Ergänzung
$3(x^2-2 \cdot x \cdot 4 + 4^2-4^2+20)$ | 2. Binomische Formel
$3((x-4)^2-4^2+20)$ | zusammenfassen
$3((x-4)^2+4)$ | ausmultiplizieren
$3(x-4)^2+12$

Aufgabe 9 Umformung von der Normalform zur Scheitelpunktform

<popup name="Tipp"> Denke daran, bei den Funktionsgleichungen von g und h den Faktor vor dem $x^2$ zunächst auszuklammern! </popup>

<popup name="Lösung"> $f(x):$ [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

$\begin{array}{rll} f(x)&=&x^2-8x+18 \\ &=&x^2-8x+4^2-4^2+18 \\ &=&(x-4)^2-16+18 \\ &=&(x-4)^2+2 \\ \end{array}$

$g(x):$ [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

$\begin{array}{rll} g(x)&=&5x^2+30x+43 \\ &=&5(x^2+6x+8.6) \\ &=&5(x^2+6x+3^2-3^2+8.6) \\ &=&5[(x+3)^2-3^2+8.6] \\ &=&5[(x+3)^2-0.4] \\ &=&5(x+3)^2-2 \end{array}$

$h(x):$ [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

$\begin{array}{rll} h(x)&=&0.2x^2-0.6x+0.45 \\ &=&0.2(x^2-3x+2.25) \\ &=&0.2(x^2-3x+1.5^2-1,5^2+2.25) \\ &=&0.2(x-1.5)^2 \end{array}$

</popup>

Anwendungsaufgabe "Rakete"

Aufgabe 8 Turm

Von einem Turm aus wird ein Stein geworfen. Die Wurfbahn ist parabelförmig und kann mit der Gleichung
$f(x)=-0.08x^2-0.8x+15$
beschrieben werden ( x und f(x) in Metern).
Fertige zunächst eine Skizze an und beantworte dann folgende Fragen:
1. Wie hoch ist der Turm?
2. Welche maximale Höhe erreicht der Stein? Wie weit ist er dann von dem Turm entfernt.

3. In welcher Entfernung vom Turm schlägt der Stein auf den Boden auf?

<popup name="Lösung zu Aufgabe 1"> Turmhöhe als Schnittpunkt mit der y-Achse:
$\begin{array}{rll} f(0)&=&-0,08 \cdot 0^2+0,8 \cdot 0+15 \\ &=& 15 \end{array}$
Der Turm ist 15m hoch.

</popup> <popup name="Lösung zu Aufgabe 2"> Der Scheitelpunkt ist gesucht. Umwandeln in die Scheitelpunktform:
$\begin{array}{rll} f(x)&=&-0,08x^2+0,8x+15 \\ &=&-0,08(x^2-10x-187,5) \\ &=&-0,08((x-5)^2-25-187,5) \\ &=&-0,08(x-5)^2+17 \end{array}$
Scheitelpunkt ablesen: S(5|17)
5 Meter vom Turm entfernt erreicht der Stein die maximale Höhe von 17 Metern. </popup> <popup name="Lösung zu Aufgabe 3"> Nullstellen berechnen:
Lösungsweg 1: Lösen mit der pq-Formel:

$\begin{array}{rlll} 0&=&f(x)& \\ &=&-0,08x^2+0,8x+15 & \mid :-0,08 \\ &=&x^2-10x-187,5 & \\ \end{array}$

$\Rightarrow p=-10, q=-187,5$

$\begin{array}{rll} x_{1/2} &=& -\frac{-10}{2} \pm \sqrt{{\left ( \frac{-10}{2} \right )}^2 -(-187,5)} \\ &=& 5 \pm 14.58 \\ \end{array}$
$\Rightarrow x_1=14.58+5=19.58$ und $x_2=-14.58+5=-9.58$

Lösungsweg 2: Lösen mit der Scheitelpunktform:
$\begin{array}{rlll} 0 & = & -0,08(x-5)^2+17 & \mid :-0,08 \\ &=& (x-5)^2-212.5 & \mid +212.5 \\ 212.5 &=& (x-5)^2 & \mid \sqrt{ } \\ \pm 14.58 &=& x-5 & \mid +5 \\ \pm 14.58+5 &=& x & \\ \end{array}$
$\Rightarrow x_1=14.58+5=19.58$ und $x_2=-14.58+5=-9.58$
Der Stein trifft nach 19.58 Metern auf den Boden. </popup>

Aufgabe 9 Rakete

Zum Abschluss eines Volksfestes wird ein Feuerwerk vom Dach eines Parkhauses abgeschossen. Der Pyrotechniker hat für die Beschreibung der Flugbahn einer Rakete die Funktion
$f(x)=-0.2x^2+8x+18$
aufgestellt. Dabei entspricht $x$ der horizontalen Entfernung von der Abschussstelle und $f(x)$ der Höhe der Rakete; jeweils in Meter.

a) Berechne $f(0)$ und beschreibe, was dieser Wert im Anwendungskontext bedeutet.
b) Berechne, wie weit die Rakete fliegen würde, bis sie auf den Boden auftrifft. Beurteile, inwiefern das Ergebnis realistisch ist.
c) Berechne die horizontale Entfernung vom Startpunkt, in der die Rakete theoretisch eine Flughöhe von 30 m hat.
d) Erläutere, wie du den höchsten Punkt der Flugbahn berechnen könntest. (Schreibe nur den Ansatz mit Erklärung auf. Eine Rechnung ist nicht gefordert.)

e) Bei gleichbleibendem Startpunkt soll die Flugbahn so verändert werden, dass nach 10 m Entfernung vom Startpunkt die maximale Höhe von 120 m erreicht wird. Bestimme eine Funktionsgleichung für diese neue Flugbahn.

<popup name="Lösung zu a)"> $\begin{array}{rll} f(0)&=&-0,2 \cdot 0^2+8 \cdot 0+18 \\ &=& 18 \end{array}$
Das Dach, von dem die Rakete abgeschossen wird, ist 18 Meter hoch.

</popup>

<popup name="Lösung zu b)"> Nullstellenberechnung:
$\begin{array}{rlll} f(x) & = & -0,2x^2+8x+18 & \mid :-0,2 \\ &=& x^2-40x-90 \end{array}$

212.5 &=& (x-5)^2 & \mid \sqrt{ } \\ 

\pm 14.58 &=& x-5 & \mid +5 \\ \pm 14.58+5 &=& x & \\ \end{array}

</popup>