Digitale Werkzeuge in der Schule/Funktioniert's? Übergang von der SI zur SII/Quadratische Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen
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\begin{array}{rlll} | \begin{array}{rlll} | ||
f(x)&=&(x+3)^2 & \mid 1.\ | f(x)&=&(x+3)^2 & \mid 1.\.Binomische\. Formel\. anwenden | ||
\\ &=&x^2+6x+9 \\ | \\ &=&x^2+6x+9 \\ | ||
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g(x)&=&2(x-3)^2 & \mid 2.\ | g(x)&=&2(x-3)^2 & \mid 2.\. Binomische\. Formel\. anwenden | ||
\\ &=&2(x^2-6x+9) & \mid Klammer\ | \\ &=&2(x^2-6x+9) & \mid Klammer\. ausmultiplizieren | ||
\\ &=&2x^2-12x+18 \\ | \\ &=&2x^2-12x+18 \\ | ||
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h(x)&=&4(x+1)^2-6 & \mid 1.\ | h(x)&=&4(x+1)^2-6 & \mid 1.\. Binomische\. Formel\. anwenden | ||
\\ &=&4(x^2+2x+1)-6 & \mid Klammer\ | \\ &=&4(x^2+2x+1)-6 & \mid Klammer\. ausmultiplizieren | ||
\\ &=&4x^2+8x+4-6 & \mid zusammenrechnen | \\ &=&4x^2+8x+4-6 & \mid zusammenrechnen | ||
\\&=&4x^2+8x-2 \\ | \\&=&4x^2+8x-2 \\ | ||
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\begin{array}{rlll} | \begin{array}{rlll} | ||
i(x)&=&-0,5(x-2)^2+6 & \mid 2.\ | i(x)&=&-0,5(x-2)^2+6 & \mid 2.\. Binomische\. Formel\. anwenden | ||
\\ &=&-0,5(x^2-4x+4)+6 & \mid Klammer\ | \\ &=&-0,5(x^2-4x+4)+6 & \mid Klammer\. ausmultiplizieren | ||
\\ &=&-0,5x^2+2x-2+6 & \mid zusammenrechnen | \\ &=&-0,5x^2+2x-2+6 & \mid zusammenrechnen | ||
\\&=&-0,5x^2+2x+4 \\ | \\&=&-0,5x^2+2x+4 \\ |
Version vom 4. Mai 2018, 13:04 Uhr
In diesem Lernpfad geht es darum, dass du im Bereich der quadratischen Funktionen noch etwas sicherer wirst. Im Laufe dieses Lernpfads kannst du also noch einmal die Scheitelpunktform und die Normalform der quadratischen Funktion wiederholen und einige Übungsaufgaben dazu erledigen. Am Ende dieses Lernpfads erwartet dich dann noch eine Anwendungsaufgabe zu diesem Themengebiet.
Die Scheitelpunktform
Die Parameter der Scheitelpunktform
In diesem Aufgabenteil geht es um das Verständnis der Scheitelpunktform der quadratischen Funktion.
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Scheitelpunktformen und ihre Graphen
In diesem Abschnitt wiederholen wir noch einmal die Scheitelpunktform und ihre dazugehörigen Graphen.
Scheitelpunktformen erkennen
Scheitelpunktformen zeichnen
<popup name="Lösungen zu den Graphen">Error: www.geogebra.org is not an authorized iframe site.</popup>
Funktionsgleichungen mit Hilfe der Scheitelpunktform aufstellen
1) Wir suchen die Parabel f mit dem Scheitelpunkt S(-3|1), die durch den Punkt P(2|6) verläuft.
2) Gesucht ist die Parabel g, die die y-Achse bei -4 schneidet, und die ihren Scheitelpunkt bei S(1|-1) hat.
<popup name="Lösung zu f">
Scheitelpunkt in die Scheitelpunktform einsetzen:
P einsetzen und nach a auflösen:
a einsetzen:
</popup>
<popup name="Lösung zu g">
Scheitelpunkt einsetzen:
Schnittpunkt mit der y-Achse P(0|-4) einsetzen, nach a auflösen:
a einsetzen:
</popup>
Scheitelpunktform und Normalform
Umrechnung in die jeweils andere Form
Von der Scheitelpunktform zur Normalform
<popup name="Tipp 1">
Benutze zum Lösen die 1. oder 2. Binomische Formel!
</popup>
<popup Name="Tipp 2">
Behalte im Hinterkopf: 1. Punkt-vor-Strich-Rechnung und 2."Eine Klammer wird zuerst berechnet".
</popup>
<popup Name="Tipp 3">
1. Binomische Formel:
2. Binomische Formel:
</popup>
<popup name="Lösungen mit Lösungsweg">
Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \begin{array}{rlll} f(x)&=&(x+3)^2 & \mid 1.\.Binomische\. Formel\. anwenden \\ &=&x^2+6x+9 \\ \end{array} }
Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \begin{array}{rlll} g(x)&=&2(x-3)^2 & \mid 2.\. Binomische\. Formel\. anwenden \\ &=&2(x^2-6x+9) & \mid Klammer\. ausmultiplizieren \\ &=&2x^2-12x+18 \\ \end{array} }
Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \begin{array}{rlll} h(x)&=&4(x+1)^2-6 & \mid 1.\. Binomische\. Formel\. anwenden \\ &=&4(x^2+2x+1)-6 & \mid Klammer\. ausmultiplizieren \\ &=&4x^2+8x+4-6 & \mid zusammenrechnen \\&=&4x^2+8x-2 \\ \end{array} }
Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \begin{array}{rlll} i(x)&=&-0,5(x-2)^2+6 & \mid 2.\. Binomische\. Formel\. anwenden \\ &=&-0,5(x^2-4x+4)+6 & \mid Klammer\. ausmultiplizieren \\ &=&-0,5x^2+2x-2+6 & \mid zusammenrechnen \\&=&-0,5x^2+2x+4 \\ \end{array} }
</popup>
Von der Normalform zur Scheitelpunktform
<popup name="Lösungen für f"> </popup>
<popup name="Tipp für g und h"> Denke daran, den Faktor vor dem zunächst auszuklammern! </popup>
<popup name="Lösungen für g"> </popup>
<popup name="Lösungen für h"> </popup>
Anwendungsaufgabe "Turm"
<popup name="Lösung zu Aufgabe 1">
Turmhöhe als Schnittpunkt mit der y-Achse:
Der Turm ist 15m hoch.
</popup>
<popup name="Lösung zu Aufgabe 2">
Umwandeln in die Scheitelpunktform:
5 Meter vom Turm entfernt erreicht der Stein die maximale Höhe von 17 Metern.
</popup>
<popup name="Lösung zu Aufgabe 3">
Nullstellen berechnen:
Lösungsweg 1: Lösen mit der pq-Formel:
und
Lösungsweg 2: Lösen mit der Scheitelpunktform:
und
Der Stein trifft nach 19.58 Metern auf den Boden.
</popup>