Digitale Werkzeuge in der Schule/Funktioniert's? Übergang von der SI zur SII/Lineare Funktionen

In diesem Lernpfad kannst du dein Wissen über lineare Funktionen vertiefen und dieses anwenden. In Aufgabe 1-5 wiederholst du dabei noch einmal, wie lineare Funktionsgleichungen aufgestellt werden und wie man einen Graphen skizziert. Außerdem kannst du dich in Aufgabe 3 noch einmal mit Wertetabellen zu linearen Zuordnungen beschäftigen. Die Aufgaben 6 und 7 bieten dir die Möglichkeit, das Gelernte im Sachkontext anzuwenden.

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Lineare Funktionen im Überblick

Aufgabe 1

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Vom Graphen zur Funktionsgleichung

Aufgabe 2

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Wertetabellen und lineare Funktionen

Aufgabe 3

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Schnittpunkt zweier Geraden

Aufgabe 4

Bestimme die Schnittpunkte von zwei Geraden zuerst zeichnerisch und dann rechnerisch in deinem Heft.

a)	$f(x)=-0,5x+2,5$	$g(x)=4x-11$
b)	$f(x)=0,5x$	$g(x)=x-1,5$

<popup Name="Tipp 1">Für den rechnerischen Weg: Gesucht ist ein Punkt (x/y), der gleichzeitig beide Funktionsvorschriften erfüllt.</popup> <popup Name="Tipp 2">Um diesen Punkt zu finden, kann man zum Beispiel beide Funktionsvorschriften gleichsetzen.</popup>

<popup Name="Lösung">

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Funktionsgleichung aufstellen anhand zweier vorgegebener Punkte

Aufgabe 5

Bestimme rechnerisch die Funktionsgleichungen der linearen Funktion, die jeweils durch die angegebenen Punkte verläuft. Berechne jeweils die Nullstellen dieser Funktionen und bestimme, für welchen x-Wert die Funktionen jeweils den Wert 12 annehmen. Notiere deine Rechnung und Antwort in deinem Heft.

a)	$P(-2|1)$	$Q(3|6)$
b)	$P(3|-4)$	$Q(5|-1)$
c)	$P(2|12)$	$Q(0|2)$

<popup Name="Tipp 1">Nutze den Differenzenquotienten um die Steigung zu berechnen.</popup> <popup Name="Tipp 2">Differenzenquotient: Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}</popup> <popup Name="Tipp 3">Um n zu berechnen, setze einen Punkt in die Funktionsgleichung ein.</popup> <popup Name="Lösung">{| ! style="width:2.5em" | ! style="width:15em" | ! style="width:15em" | |- |'''a)''' | <math>f(x)=x+3} | Nullstelle: $x=-3$ | an der Stelle $x=9$ |- |b) | $f(x)=\frac{3}{2}x-8,5$ | Nullstelle: $x=5\frac{2}{3}$ | an der Stelle $x=13\frac{2}{3}$ |- |c) | $f(x)=5x+2$ | Nullstelle: $x=-0,4$ | an der Stelle $x=2$ |}</popup> <br\><br\>

Textaufgaben

Aufgabe 6

Eine 15cm lange Kerze braucht 10 Stunden, um vollständig abzubrennen. Eine weitere und dünnere Kerze ist 20cm lang und brennt in nur 8 Stunden vollständig ab.

a)	Stelle für jede Kerze eine Funktionsgleichung auf und zeichne einen Graphen.	<popup Name="Tipp">Leite aus dem Text zwei Punkte her, mit denen du die Funktionsgleichung aufstellen kannst.</popup>
b)	Die Kerzen werden gleichzeitig angezündet. Nach wie viele Stunden sind die Kerzen gleich hoch? Löse die Aufgabe zeichnerisch, rechnerisch und mittels Wertetabelle. Vergleiche die drei Methoden und überlege dir, welche Vor- und Nachteile diese Methoden haben.	<popup Name="Tipp 1">Rechnerisch: Setze die beiden Funktionen gleich.</popup>	<popup Name="Tipp 2">Wertetabelle: Erstelle zwei Wertetabellen und lies den x-Wert ab, an dem die beiden Kerzen den gleichen y-Wert (Kerzenhöhe) haben.</popup>
c)	Welche Höhe haben die Kerzen nach 3 Stunden?	<popup Name="Tipp">Setze in beiden Gleichungen den Gesuchten x-Wert ein.</popup>

<popup Name="Lösung">{|

a)

Kerze A: $f(x)=-1,5x+15$ 
 Kerze B: $g(x)=-2,5x+20$

b)

$f(x)=g(x)$ 
 $-1,5x+15=-2,5x+20$ 
 $x=5$  

Nach 5 Stunden sind sie gleich lang.

c) Kerze A: f(3)=10,5cm ; Kerze B: g(3)=12,5cm</popup> <br\>

Aufgabe 7

Aus einer zylinderförmigen Regentonne wird das Wasser gleichmäßig abgelassen. Nach 6 Minuten beträgt die Wasserhöhe noch 75cm, nach weiteren 15 Minuten sind es noch 55cm

a)	Stelle die Funktionsgleichung für die Wasserhöhe auf und fertige eine Skizze des Funktionsgraphen an.	<popup Name="Tipp">Leite aus dem Text zwei Punkte her und stelle die Funktionsgleichung auf</popup>
b)	Bestimme den Zeitpunkt, in dem das Wasser vollständig abgelaufen ist.	<popup Name="Tipp">Setze die Funktionsgleichung gleich null.</popup>
c)	Zu welchem Zeitpunkt beträgt die Wasserhöhe 51cm?	<popup Name="Tipp">Setze die Funktionsgleichung gleich 51 und löse nach x auf.</popup>

<popup Name="Lösung">{| ! style="width:2.5em" | ! style="width:15em" | ! style="width:15em" | |- |a) | $-\frac{4}{3}x+83$

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Textaufgabe lineare Funktionen

|- |b) | $-\frac{4}{3}x+83=0$ <br\> $x=62,25$ <br\> Nach 62 Minuten und 15 Sekunden ist das Wasser vollständig abgelaufen. |- | |- | |- | |- | |- | |- |c) | $-\frac{4}{3}x+83=51$ <br\> $x=24$ <br\> Nach 24 Minuten ist ein Wasserstand von 51 cm erreicht. |}</popup>