Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Terme: Unterschied zwischen den Versionen

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=====Was sind die binomischen Formeln?=====
=====Was sind die binomischen Formeln?=====
{{Box | Definition | Die folgenden drei Umformungen bilden die sogenannten binomischen Formeln:
{{Box | Definition | Die folgenden drei Umformungen bilden die sogenannten binomischen Formeln:
1. binomische Formel: (<span style="color: red">a</span>+<span style="color: green">b</span>)² = <span style="color: red">a</span>²+2<span style="color: red">a</span><span style="color: green">b</span>+<span style="color: green">b</span>²
1. binomische Formel: <math>(<span style="color: red">a</span>+<span style="color: green">b</span>)² = <span style="color: red">a</span>²+2<span style="color: red">a</span><span style="color: green">b</span>+<span style="color: green">b</span>² </math>
2. binomische Formel: (<span style="color: red">a</span>-<span style="color: green">b</span>)² = <span style="color: red">a</span>²-2<span style="color: red">a</span><span style="color: green">b</span>+<span style="color: green">b</span>²  
2. binomische Formel: <math>(<span style="color: red">a</span>-<span style="color: green">b</span>)² = <span style="color: red">a</span>²-2<span style="color: red">a</span><span style="color: green">b</span>+<span style="color: green">b</span>² </math>
3. binomische Formel: (<span style="color: red">a</span>+<span style="color: green">b</span>)(<span style="color: red">a</span>-<span style="color: green">b</span>) = <span style="color: red">a</span>²-<span style="color: green">b</span>²  | Merksatz}}
3. binomische Formel: <math>(<span style="color: red">a</span>+<span style="color: green">b</span>)(<span style="color: red">a</span>-<span style="color: green">b</span>) = <span style="color: red">a</span>²-<span style="color: green">b</span>²  | Merksatz}}</math>
=====Herleitung der binomischen Formeln=====
=====Herleitung der binomischen Formeln=====
Bei der Herleitung der binomischen Formeln werden die Terme in den Klammern ausmultipliziert.
Bei der Herleitung der binomischen Formeln werden die Terme in den Klammern ausmultipliziert.

Version vom 16. November 2020, 07:46 Uhr

Info

In diesem Lernpfadkapitel lernst du Grundlagen über Terme und binomische Formeln kennen. Kurzbeschreibung des Aufbaus.Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

  • In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
  • Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
  • Und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.
Viel Erfolg!

1) Terme zusammenfassen

Einführung

Wie kann ich Terme zusammenfassen?
Rechenregeln
Beim zusammenfassen von Termen musst du beachen: 

1. Gleiches darf zusammengefasst werden. Bei der Addition müssen die Variablen in der selben Potenz sein. Beispiel: 2. Ungleiches darf nicht zusammengefasst werden.

Beispiel:

Aufgabenteil

Aufgabe 1:



Aufgabe 2:
Fasse den folgenden Term zusammen: 
Zuerst musst du die Klammern auflösen, dann die Summanden nach ihren Variablen ordnen. Danach musst du noch die Brüche gleichnamig machen um danach alles zusammenfassen zu können.


Aufgabe 3:
Das magische Quadrat: Die Summe jeder Zeile, Spalte und Diagonale des magischen Quadrats ergeben gleichwertige Terme. Ergänze die fehlenden Terme.
magisches Quadrat
5a+5
a+2 3a+1
3a-4
{

}

2) Terme ausmultiplizieren und faktorisieren

Einführung

Terme ausmultiplizieren
Titel
Das Ausmultiplizieren hat zum Ziel, eine Klammer aufzulösen. Um einen Faktor (im Bsp. 2) mit einer Klammer, in der eine Summe oder Differenz steht (im Bsp. 5 + 3), zu multiplizieren, muss der Faktor mit jedem Glied in der Klammer multipliziert werden:

.

Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht:

.

Achte darauf, ob in der Klammer eine Summe oder Differenz steht, denn:

.

Die gleichen Rechenregeln gelten für Variablen:

.

Das kann man sich auch anhand von Flächen mit den Seitenlängen a, b und c veranschaulichen:

Illustration of distributive property with rectangles.svg

Besonders aufpassen muss man bei Minusklammern, also wenn vor der Klammer ein negativer Faktor steht. Denn dann drehen sich die Vorzeichen von jedem Glied in der Klammer um:

.

.

Hierfür galt:

+ und + ergibt: +

– und – ergibt: +

– und + ergibt: –

Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert:

.

.

.

.

.

Um das Ausmultiplizieren zu üben, gehe zu Aufgabe 1.

Terme faktorisieren
Titel
Beim Faktorisieren (auch genannt: Ausklammern) geht es genau umgekehrt wie beim Ausmultiplizieren darum, eine Klammer zu erstellen. Wie das funktioniert, erklärt dir Lehrer Schmidt in folgendem Video: 


3) Binomische Formeln

Einführung

Was sind die binomischen Formeln?

{{Box | Definition | Die folgenden drei Umformungen bilden die sogenannten binomischen Formeln: 1. binomische Formel: 2. binomische Formel: 3. binomische Formel: Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle (<span style="color: red">a</span>+<span style="color: green">b</span>)(<span style="color: red">a</span>-<span style="color: green">b</span>) = <span style="color: red">a</span>²-<span style="color: green">b</span>² | Merksatz}}}

Herleitung der binomischen Formeln

Bei der Herleitung der binomischen Formeln werden die Terme in den Klammern ausmultipliziert.

Übung: Binomische Formeln herleiten
Versuche, die erste binomische Formel in deinem Heft rechnerisch herzuleiten.
Beginne mit dem Ausgangsterm (a+b)² und schreibe die Potenz wiefolgt aus: (a+b)(a+b). Dies kannst du nun nach den bekannten Regeln ausmultiplizieren.
(a+b)² = (a+b)\cdot(a+b) = aa+ab+ba+bb = a²+2ab+b²
Herleitung über Flächen von Quadraten
GeoGebra

Aufgabenteil

Aufgabe 1:
...
Aufgabe 2:
...
Aufgabe 3:
...