Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Lineare Funktionen

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In diesem Lernpfadkapitel hast du die Möglichkeit, dein Wissen über lineare Funktionen zu gebrauchen, zu erweitern und dein Verständnis zu vertiefen. Das Kapitel gibt dir eine Übersicht über die Zusammenhänge zwischen linearen Funktionen, die darauf liegenden Punkte und über die Gleichungen und Graphen linearer Funktionen.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

• In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
• Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
• Und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.

Viel Spaß und Erfolg!

Wiederholung: Was ist eine Funktion?

Aufgabe 1: Was weißt du noch über Funktionen?

Zur Einführung in das Thema der linearen Funktionen wiederholen wir zunächst, was eine Funktion überhaupt ist. Versuche dazu, den folgenden Lückentext auszufüllen, indem du die Wörter unter dem Text mit der Maus an die passende Stelle im Text ziehst. Anschließend kannst du deine Antworten überprüfen.

Eine Zuordnung $x\mapsto y$ heißt Funktion, wenn jedem $x$-Wert genau ein $y$-Wert zugeordnet wird.
Durch eine Funktion $f$ wird einer Variablen $x$ ein Funktionswert $f(x)$ zugeordnet.
Wenn es einen Term zur Berechnung der Funktionswerte gibt, dann nennt man ihn den Funktionstermund die zugehörige Gleichung heißt Funktionsgleichung.
Stellt man die Zahlenpaare $(x,y)$ als Punkte $P(x|y)$ in einem Koordinatensystem dar, so erhält man den Graphen der Funktion.

Überprüfe nun, ob die folgenden Zuordnungen eine Funktion beschreiben.

Überprüfe, ob bei der jeweiligen Zuordnung jedem $x$-Wert auch wirklich genau ein $y$-Wert zugeordnet wird. Bei den Fragen stellt jeweils das erste Wort der Zuordnung den $x$-Wert und das zweite Wort den $y$-Wert dar.

1.) Haus $\mapsto$ Adresse (Ja, die Zuordnung beschreibt eine Funktion.) (!Nein, die Zuordnung beschreibt keine Funktion.)

Da jedem Haus immer genau eine Adresse zugeteilt wird, beschreibt diese Zuordnung eine Funktion.

2.) Mutter $\mapsto$ Kind (!Ja, die Zuordnung beschreibt eine Funktion.) (Nein, die Zuordnung beschreibt keine Funktion.)

Diese Zuordnung beschreibt keine Funktion, da nicht jede Mutter genau ein Kind hat, sondern auch mehrere Kinder haben kann.

3.) Zahl $\mapsto$ Quersumme der Zahl (Ja, die Zuordnung beschreibt eine Funktion.) (!Nein, die Zuordnung beschreibt keine Funktion.)

Die Quersumme einer natürlichen Zahl ist die Summe ihrer einzelnen Ziffern. Zum Beispiel ist die Quersumme von $251$ gleich $8$, da $2+5+1=8$.

Da jede natürliche Zahl also genau eine Quersumme hat, ist die Zuordnung eine Funktion.

Lineare Funktionen erkennen

Merke: Lineare Funktionen

Die Funktionsgleichung einer lineare Funktion ist dir vielleicht auch unter der Bezeichnung Geradengleichung bekannt. Wie dieser Name schon sagt, handelt es sich bei dem Graphen einer linearen Funktion um eine Gerade. Der Graph kann daher keine Kurven haben.

Im Allgemeinen haben lineare Funktionen die Funktionsgleichung $f(x)=mx+b$.

• Dabei ist $m$ die Steigung der Geraden und $b$ der $y$-Achsenabschnitt, also der Schnittpunkt mit der $y$-Achse.
• Das Vorzeichen der Steigung $m$ gibt an, ob die Gerade fällt (negatives Vorzeichen) oder steigt (positives Vorzeichen).
• Den Schnittpunkt mit der $x$-Achse, die sogenannte Nullstelle der Funktion, berechnest du, indem du $f(x)=0$ setzt. Denn an dem Punkt, wo der Graph die $x$-Achse schneidet, ist der $y$-Wert gleich $0$.

Im Folgenden kannst du über die beiden Schieberegler die Steigung $m$ und den $y$-Achsenabschnitt $b$ verstellen und dir anschauen, wie sich der Graph der linearen Funktion verändert. Mit deiner Maus kannst du die Grafik verschieben oder rein- und herauszoomen.

Aufgabe 2: Erkennst du sie?

Entscheide, ob die folgenden Funktionsgleichungen und Graphen lineare Funktionen sind, und ordne sie dem passenden Feld zu.
Wenn du alle Funktionsgleichungen und Graphen zugeordnet hast, kannst du dein Ergebnis mit einem Klick auf den blauen Haken unten rechts überprüfen.

Funktionsgraph erkennen: Überlege dir, welche geometrische Form der Graph einer linearen Funktionen hat.

Funktionsgleichung erkennen: Überlege dir, welche Form die allgemeine Funktionsgleichung einer linearen Funktion hat.

Überlege dir, ob ein $x$-Wert von einer Funktion mehrmals angenommen werden darf.

Graph einer linearen Funktion

Aufgabe 3: Zeichnen von Graphen

Zeichne die folgenden Graphen in dein Heft:

a) $f(x)=2x-1$

b) $f(x)=-3x+3$

c) $f(x)=-{\frac {5}{6}}x+2{,}5$

Es gibt zwei mögliche Wege einen Graphen zu zeichnen. Entweder du betrachtest $m$ und $b$ von der Funktionsgleichung $f(x)=mx+b$ genauer. Dieses Verfahren wird dir bei der Möglichkeit 1 genauer erläutert. Oder du setzt Punkte in die Funktionsgleichung ein. Die Möglichkeit 2 zeigt dir hierzu ein Beispiel.

Betrachten wir als Beispiel die Funktionsgleichung $f(x)=-1{,}5x+4$.

Dabei gibt $b=4$ den Schnittpunkt mit der $y$- Achse im Koordinatensystem an. Wir wissen also, dass der Graph der Funktion durch den Punkt $P(0|4)$ verläuft.
Nun betrachten wir die Steigung welche durch $m=-1{,}5$ gegeben ist. Du kannst dann vom Punkt $P(0|4)$ eine Einheit nach rechts und $1{,}5$ nach unten gehen, weil die Steigung negativ ist.

( An dem Punkt könntest du, wenn dir $1{,}5$ nicht so gut passt, auch ein Vielfaches nehmen. Du darfst dann aber nicht vergessen auch zunächst das Vielfache nach rechts zu gehen)

Betrachten wir die Funktionsgleichung $f(x)=-1{,}5x+4$
Bei diesem Verfahren setzt du zwei verschiedene $x$-Werte in die Gleichung ein. Versuche einfache Werte zu wählen.
Du könntest zum Beispiel $x=0$ wählen. Dann wäre $f(0)=-1{,}5\cdot 0+4=0.$ Dies wäre der Punkt $A(0|4)$.
Als nächstes wählst du eine andere Zahl, z. B. $x=4$. Dann wäre $f(4)=-1{,}5\cdot 4+4=-6+4=-2$. Dies wäre der Punkt $B(4|-6)$.

Nun zeichne beide Punkte in ein Koordinatensystem ein. Verbinde diese mit einer Geraden durch die Punkte.

Möglichkeit 1:
Die Funktionsgleichung $f(x)=2x-1$ schneidet die $y$- Achse im Punkt $P(0|-1)$ ,da $b=-1$ den Schnittpunkt mit der $y$-Achse angibt. Diesen Wert kannst du also direkt ablesen.
Nun betrachten wir die Steigung $m=2$. Wir können vom Punkt $P$ nun eine Einheit nach rechts und $2$ nach oben gehen, da die Steigung positiv ist.
Verbindet man nun diese Punkte, so erhält man den Graph der Funktion.

Möglichkeit 2:
Bei dieser Lösungsmöglichkeit wählen wir zwei verschiedene $x$- Werte. Zunächst könnte man $x=0$ in die Funktionsgleichung einsetzten und man erhält $f(0)=2\cdot 0-1=-1$, also den Punkt $A=(0|-1)$.
Als nächstes könnte man z.B. $x={\frac {1}{2}}$ wählen. Dann erhält man durch einsetzten in die Funktionsgleichung $f\left({\frac {1}{2}}\right)=2\cdot {\frac {1}{2}}-1=1-1=0$. Dies wäre dann der Punkt $B=\left({\frac {1}{2}}|0\right)$.

Nun verbindet man im letzten Schritt die beiden Punkte und erhält den Graphen der Funktion.

Möglichkeit 1:
Die Funktionsgleichung $f(x)=-3x+3$ schneidet die $y$- Achse im Punkt $P(0|3)$ ,da $b=3$ den Schnittpunkt mit der $y$-Achse angibt. Diesen Wert kannst du also direkt ablesen.
Nun betrachten wir die Steigung $m=-3$. Wir können vom Punkt $P$ nun eine Einheit nach rechts und $3$ nach unten gehen, da die Steigung negativ ist.
Verbindet man nun diese Punkte, so erhält man den Graph der Funktion.

Möglichkeit 2:
Bei dieser Lösungsmöglichkeit wählen wir zwei verschiedene $x$- Werte. Zunächst könnte man $x=0$ in die Funktionsgleichung einsetzten und man erhält $f(0)=-3\cdot 0+3=3$, also den Punkt $A=(0|3)$.
Als nächstes könnte man z.B. $x=1$ wählen. Dann erhält man durch einsetzten in die Funktionsgleichung $f(1)=-3\cdot 1+3=-3+3=0$. Dies wäre dann der Punkt $B=(1|0)$.

Nun verbindet man im letzten Schritt die beiden Punkte und erhält den Graphen der Funktion.

Möglichkeit 1:
Die Funktionsgleichung $f(x)=-{\frac {5}{6}}x+2{,}5$ schneidet die $y$- Achse im Punkt $P(0|2,5)$ ,da $b=2{,}5$ den Schnittpunkt mit der $y$-Achse angibt. Diesen Wert kannst du also direkt ablesen.
Nun betrachten wir die Steigung $m=-{\frac {5}{6}}$. Wir könnten vom Punkt $P$ nun eine Einheit nach rechts und ${\frac {5}{6}}$ nach unten gehen, da die Steigung negativ ist.
Da dies allerdings schwierig und ungenau abzulesen ist, bietet es sich hier an, stattdessen ein Vielfaches der Steigung zu gehen. Multiplizieren wir die Steigung z. B. mit $3$ erhalten wir ${\frac {5}{6}}\cdot 3={\frac {15}{6}}={\frac {5}{2}}=2{,}5$. Dieser Wert ist deutlich einfacher einzuzeichnen in ein Koordinatensystem. Wir gehen nun also von dem Punkt $P$ $3$ Einheiten nach rechts, weil wir die Steigung ja mit $3$ multipliziert haben. Dann gehen wir $2{,}5$ Einheiten nach unten, da die Steigung negativ ist. Nun sind wir bei dem Punkt $Q=(3|0)$ ausgekommen, welchen man gut in ein Koordinatensystem einzeichnen kann.
Verbindet man nun diese Punkte, so erhält man den Graph der Funktion.

Möglichkeit 2:
Bei dieser Lösungsmöglichkeit wählen wir zwei verschiedene $x$- Werte. Zunächst könnte man $x=0$ in die Funktionsgleichung einsetzten und man erhält $f(0)=-{\frac {5}{6}}\cdot 0+2{,}5=2{,}5$, also den Punkt $A=(0|2,5)$.
Als nächstes könnte man z. B. $x=3$ wählen. Dann erhält man durch einsetzten in die Funktionsgleichung $f(3)=-{\frac {5}{6}}\cdot 3+2{,}5=-{\frac {15}{6}}+2{,}5=-{\frac {5}{2}}+2{,}5=-2{,}5+2{,}5=0$. Dies wäre dann der Punkt $B=(3|0)$.

Nun verbindet man im letzten Schritt die beiden Punkte und erhält den Graphen der Funktion.

Aufgabe 4: Funktionsgleichungen und Graphen verbinden

Verbinde den Graphen mit der passenden Funktionsgleichung.

Falls du keinen Ansatz findest, versuche zunächst den Schnittpunkt mit der $y$- Achse zu ermitteln. Wenn du die Funktionsgleichung $f(x)=mx+b$ gegeben hast, ist $b$ der Schnittpunkt. Durch $m$ erfährst du ob und wie steil der Graph steigt. Falls du hierzu mehr lesen möchtest, schau bei Aufgabe 3 in die Möglichkeiten 1 und 2.

Bestimmung von Funktionsgleichungen

Aufgabe 5: Funktionsgleichung mit Hilfe von einem Punkt und der Steigung bestimmen

In den folgenden Teilaufgaben ist dir jeweils die Steigung der Geraden und ein Punkt, der auf der Geraden liegt, gegeben. Bestimme die jeweilige Gleichung der Geraden in der Form $f\left(x\right)=m\cdot x+b$ in deinem Heft.

Setze die gegebene Steigung und den Punkt in die Geradengleichung der Form $f\left(x\right)=mx+b$ ein.

a) Die Steigung ist $m=5$ und der Punkt $P(-1|-7)$.

1. Setze als erstes für die Steigung $m=5$ ein, sodass die Gleichung $f\left(x\right)=5x+b$ entsteht.
2. Nutze die Angabe des Punktes $P(-1|-7)$. Dann erhältst du mit $x=-1$ und $f\left(x\right)=-7$ die Gleichung $-7=5\cdot (-1)+b$.
3. Bestimme mit Auflösung nach Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b} den Wert Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b = -2} . Schließlich erhältst du, wenn du die Werte für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b} einsetzt, die Geradengleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\left(x\right) = 5x - 2} ergibt.

b) Die Steigung ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m = 4{,}5} und der Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(4|18{,}5)} .

1. Setze als erstes für die Steigung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m = 4{,}5} ein, sodass die Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\left(x\right) = 4{,}5\cdot x + b} entsteht.
2. Nutze die Angabe des Punktes Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(4|18{,}5)} . Dann erhältst du mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = 4 } und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\left(x\right) = 18{,}5 } die Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 18{,}5 = 4{,}5\cdot4 + b} .
3. Bestimme mit Auflösung nach Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b} den Wert Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b = 0{,}5 } . Schließlich erhältst du, wenn du die Werte für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b} einsetzt, die Geradengleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\left(x\right) = 4{,}5\cdot x + 0{,}5 } ergibt.

c) Die Steigung ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m = \frac{2}{3}} und der Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P\left(-3|-\frac{4}{5}\right)}

1. Setze als erstes für die Steigung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m = \frac {2}{3}} ein, sodass die Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\left(x\right) = \frac{2}{3}\cdot x + b} entsteht.
2. Nutze die Angabe des Punktes Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(-3|-\frac{4}{5})} . Dann erhältst du mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = -3 } und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\left(x\right) =-\frac{4}{5} } die Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -\frac{4}{5}= \frac{2}{3}\cdot(-3) + b} .
3. Bestimme mit Auflösung nach Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b} den Wert Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b =\frac{6}{5} } . Schließlich erhältst du, wenn du die Werte für $m$ und $b$ einsetzt, die Geradengleichung $f\left(x\right)={\frac {2}{3}}\cdot x+{\frac {6}{5}}$ ergibt.

Du hast in den letzten paar Aufgaben schon die Steigung der linearen Funktion benutzt, um ihren Graphen zu zeichnen, dem Graphen zu ihrer Funktion zu zuorden oder die Funktionsgleichung mithilfe der Steigung zu berechnen. Wie du konkret die Steigung aus zwei Punkten bestimmen kannst, kannst du dir im unteren Text durchlesen.

Merke: Das Steigungsdreieck

Die Steigung einer linearen Funktion erhältst du mithilfe des Steigungsdreiecks, von welchem zwei Punkte auf dem Graphen liegen. Das Steigungsdreieck kennzeichnet, dass die Steigung dem Verhältnis des Höhen- und Längenunterschiedes beider Punkte entspricht.
Die Steigung berechnest du folgendermaßen:

1. Du suchst zwei beliebige Punkte $P(x_{1}|f\left(x_{1}\right))$ und $Q(x_{2}|f\left(x_{2}\right))$, die auf dem Graphen der Funktion liegen.
   
2. Um den Höhenunterschied der Punkte zu bestimmen, benötigst du die $y$- bzw. $f\left(x\right)$-Koordinaten der Punkte P und Q: Höhenunterschied: $f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)$
   
3. Um den Längenunterschied der Punkte zu bestimmen, benötigst du die $x$-Koordinaten der Punkte P und Q: Längenunterschied: $x_{2}-x_{1}$
   
4. Für die Steigung der Geraden gilt dann: $m={\frac {f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}}}$
   

In dieser Grafik kannst du die Steigung $m$ und den $y$-Achsenabschnitt $b$ verändern. Um Details besser zu sehen, kannst du die Darstellung nach links oder rechts verschieben oder hinein- oder herauszoomen.

Aufgabe 6: Funktionsgleichung mit Hilfe von zwei Punkten bestimmen

Nutze die in den folgenden Teilaufgaben genannten Punkte, durch welche eine Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweilige Gleichung der Geraden in der Form $f\left(x\right)=m\cdot x+b$.

Du kannst auf drei unterschiedlichen Wegen die Funktionsgleichungen bestimmen.

1. Berechne zuerst die Steigung $m$. Gehe dabei wie im Merkkasten zum Steigungsdreieck vor.
2. Berechne dann den $y$-Achsenabschnitt $b$. Gehe so vor wie bei Aufgabe 5 und setze die Steigung und einen der beiden Punkte in die Geradengleichung $f\left(x\right)=mx+b$ ein.

1. Zeichne die Punkte $P$ und $Q$ in ein Koordinatensystem.
2. Zeichne dann eine Gerade, die durch die Punkte $P$ und $Q$ verläuft.
3. Bestimme anschließend mit Hilfe des Steigungsdreiecks, welches oben im Merkkästchen nochmal erklärt worden ist, die Steigung $m$.
4. Lies den $y$-Achsenabschnitt $b$ am Graphen ab.
5. Setze die Werte für $m$ und $b$ in die Geradengleichung $f\left(x\right)=mx+b$ ein.

a) Gegeben sind die Punkte $P(4|27)$ und $Q(9|42)$.

Die Funktionsgleichung lautet $f\left(x\right)=3x+15.$

• Für den Höhenunterschied der Punkte berechnest du die $y$- bzw. $f\left(x\right)$-Koordinaten der Punkte $P(4|27)$ und $Q(9|42)$ wie folgt: $f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)=42-27=15$

• Für den Längenunterschied der Punkte verwendest du die $x$-Koordinaten der Punkte $P(4|27)$ und $Q(9|42)$. Dann rechnen wir wie folgt: $x_{2}-x_{1}=9-4=5$

• Für die Steigung $m$ der Geraden setzt du beide Werte in die folgende Gleichung ein: $m={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {15}{5}}=3$

• Für die Berechnung des $y$-Achsenabschnitts setzt du die Steigung $m=3$ und einen der Punkte in die Geradengleichung $f\left(x\right)=mx+b$ ein.

• Wenn du als Punkt $P$ gewählt hast, erhältst du $f\left(x\right)=mx+b\Leftrightarrow 27=3\cdot 4+b\Leftrightarrow 27=12+b\Leftrightarrow b=15$

• Wenn du als Punkt $Q$ gewählt hast, erhältst du $f\left(x\right)=mx+b\Leftrightarrow 42=3\cdot 9+b\Leftrightarrow 42=27+b\Leftrightarrow b=15$

• Zum Schluss setzt du $m=3$ und $b=15$ in die Geradengleichung $f\left(x\right)=mx+b$ ein.

b) Gegeben sind die Punkte $P(-3|-1)$ und $Q(1|7)$.

Die Funktionsgleichung lautet $h\left(x\right)=2x+5$.

• Für den Höhenunterschied der Punkte berechnest du die $y$ bzw. $h\left(x\right)$-Koordinaten der Punkte $P(-3|-1)$ und $Q(1|7)$ wie folgt berechnen: $h\left(x_{2}\right)-h\left(x_{1}\right)=7-(-1)=8$

• Für den Längenunterschied der Punkte verwendest du die $x$-Koordinaten der Punkte $P(-3|-1)$ und $Q(1|7)$. Dann rechnen wir wie folgt: $x_{2}-x_{1}=1-(-3)=4$

• Für die Steigung $m$ der Geraden setzt du beide Werte in die folgende Gleichung ein: $m={\frac {h(x_{2})-h(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {8}{4}}=2$

• Für die Berechnung des $y$-Achsenabschnitts setzt du die Steigung $m=2$ und einen der Punkte in die Geradengleichung $h\left(x\right)=mx+b$ ein.

• Wenn du als Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} gewählt hast, erhältst du Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h\left(x\right) = mx + b \Leftrightarrow -1= 2 \cdot -3+ b \Leftrightarrow -1=-6+ b \Leftrightarrow b= 5 }

• Wenn du als Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q} gewählt hast, erhältst du Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h\left(x\right) = mx + b \Leftrightarrow 7= 2 \cdot 1+ b \Leftrightarrow 7=2 + b \Leftrightarrow b= 5 }

• Zum Schluss setzt du Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m = 2} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b = 5 } in die Geradengleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h\left(x\right) = mx + b} ein.

c) Gegeben sind die Punkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(-5|-12{,}5)} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q(10|11{,}5) } .

Die Funktionsgleichung lautet Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\left(x\right) = \frac{8}{5}x -4{,}5} .

• Für den Höhenunterschied der Punkte berechnest du die Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} - bzw. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\left(x\right)} -Koordinaten der Punkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(-5|-12{,}5)} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q(10|11{,}5)} wie folgt berechnen: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)=11{,}5-(-12{,}5)=24}

• Für den Längenunterschied der Punkte verwendest du die Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} -Koordinaten der Punkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(-5|-12{,}5)} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q(10|11{,}5)} verwenden. Dann rechnen wir wie folgt: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2-x_1=10-(-5)=15}

• Für die Steigung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} der Geraden setzt du beide Werte in die folgende Gleichung ein: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m=\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}=\frac{24}{15}=\frac{8}{5}}

• Für die Berechnung des Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} -Achsenabschnitts setzt du die Steigung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m = \frac{8}{5}} und einen der Punkte in die Geradengleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\left(x\right) = mx + b} ein.

• Wenn du als Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} gewählt hast, erhältst du Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\left(x\right) = mx + b \Leftrightarrow -12{,}5= \frac{8}{5} \cdot (-5)+ b \Leftrightarrow -12{,}5=8 + b \Leftrightarrow b= -4{,}5 } }

• Wenn du als Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q} gewählt hast, erhältst du Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\left(x\right) = mx + b \Leftrightarrow 11{,}5= \frac{8}{5} \cdot 10+ b \Leftrightarrow 11{,}5 =16 + b \Leftrightarrow b= -4{,}5 }

• Zum Schluss setzt du Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m = \frac{8}{5}} und $b=-4{,}5$ in die Geradengleichung $f\left(x\right)=mx+b$ ein.

d) Betrachte die nachfolgende Wertetabelle.

Du kannst dir zwei beliebige Punkte aus der Wertetabelle auswählen. Jedoch ist es einfacher für dich, wenn du dir Zahlen, die ganze Zahlen sind, oder Brüche, die gleichnamig sind, aussuchst, damit sich die Rechnung für dich vereinfacht.

Die Funktionsgleichung lautet $g\left(x\right)=-{\frac {1}{4}}x+{\frac {3}{2}}$.

• Für den Höhenunterschied der Punkte berechnest du die $y$- bzw. $g\left(x\right)$-Koordinaten zweier Punkte der Wertetabelle. Wir wählen zum Beispiel die Punkte $P(-3|{\frac {9}{4}})$ und $Q(1|1{\frac {1}{4}})$, da diese Brüche gleichnamig sind und die Subtraktion einfacher ist. Du kannst die Steigung aber auch mit den anderen Punkten bestimmen. Dann berechnen wie folgt: $g\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)=1{\frac {1}{4}}-{\frac {9}{4}}=-1$

• Für den Längenunterschied der Punkte verwendest du die $x$-Koordinaten der gleichen Punkte, die du beim Höhenunterschied  gewählt hast. Wir benutzen also die Punkte $P(-3|{\frac {9}{4}})$ und $Q(1|1{\frac {1}{4}})$. Dann rechnen wir wie folgt: $x_{2}-x_{1}=1-(-3)=4$

• Für die Steigung $m$ der Geraden setzt du beide Werte in die folgende Gleichung ein: ${\frac {g\left(x_{2}\right)-g\left(x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {1{\frac {1}{4}}-{\frac {9}{4}}}{1-(-3)}}=-{\frac {1}{4}}$

• Für die Berechnung des $y$-Achsenabschnitts setzt du die Steigung $m=-{\frac {1}{4}}$ und einen der Punkte in die Geradengleichung $g\left(x\right)=mx+b$ ein.

• Wenn du als Punkt $P$ gewählt hast, erhältst du $g\left(x\right)=mx+b\Leftrightarrow {\frac {9}{4}}=-{\frac {1}{4}}\cdot -3+b\Leftrightarrow {\frac {9}{4}}={\frac {3}{4}}+b\Leftrightarrow b={\frac {6}{4}}={\frac {3}{2}}$

• Wenn du als Punkt $Q$ gewählt hast, erhältst du $g\left(x\right)=mx+b\Leftrightarrow 1{\frac {1}{4}}=-{\frac {1}{4}}\cdot 1+b\Leftrightarrow 1{\frac {1}{4}}=-{\frac {1}{4}}+b\Leftrightarrow b=1{\frac {2}{4}}={\frac {3}{2}}$

• Zum Schluss setzt du $m=-{\frac {1}{14}}$ und $b={\frac {3}{2}}$ in die Geradengleichung $g\left(x\right)=mx+b$ ein.

Graphischer Lösungsweg

Graphen und ihre Punkte

Aufgabe 7: Liegen die Punkte auf dem Graphen?

Prüfe, ob die Punkte auf dem jeweiligen Graphen liegen.

In der Aufgabe siehst du in der obersten Zeile vier verschiedene Funktionsgleichungen. Zu Beginn ist die erste Funktionsgleichung blau hinterlegt. Hiermit kannst du starten. Wähle die zu dieser Gleichung gehörigen Punkte aus. Hast du alle passenden Punkte ausgewählt, klicke oben die nächste Funktionsgleichung an und wiederhole dein Vorgehen.
Viel Spaß!

Setze die Punkte in die oben ausgewählte Funktionsgleichung ein und prüfe, ob sie erfüllt ist.

Schnittpunkt mit der $x$-Achse (Nullstelle)

Merke: Die Nullstelle einer linearen Funktion

Die Nullstelle einer linearen Funktion ist der Schnittpunkt der Funktion mit der $x$-Achse. Die Berechnung ist daher oftmals leichter als die Berechnung des Schnittpunktes zweier linearer Funktionen, da der $y$-Wert bereits bekannt ist, dieser ist immer $0$.

Aufgabe 8: Nullstelle bestimmen

Bestimme graphisch oder rechnerisch im Heft die Nullstellen der folgenden Funktionen. Überlege dir jeweils, welche Vorgehensweise sinnvoller ist.

a) $f(x)=-0{,}5x+2$
b) $g(x)=50x+25$
c) $h(x)=-x-1{,}75$
d) $j(x)=3$

Du kannst die Nullstelle graphisch und rechnerisch bestimmen.

Graphische Bestimmung:
Zeichne die Funktion in dein Heft und lies die Nullstelle ab.

Rechnerische Bestimmung:
Schritt 1: Setze die Gleichung gleich $0$.
Schritt 2: Löse nach $x$ auf.

Schritt 3: Gib die Nullstelle an.

Graphische Lösung:
Schritt 1: Zeichne die Funktion in ein Koordinatensystem ein.
Schritt 2: Lies die Nullstelle ab.

Rechnerische Lösung:
Schritt 1: Setze die Gleichung gleich $0$.
$0=-0{,}5x+2$

Schritt 2: Löse nach $x$ auf.
$0=-0{,}5x+2$
$\Leftrightarrow -2=-0{,}5x$
$\Leftrightarrow 4=x$

Schritt 3: Gib die Nullstelle an.

Die Nullstelle der Funktion $f(x)$ liegt bei $N(4|0)$.

Graphische Lösung:
Schritt 1: Zeichne die Funktion in ein Koordinatensystem ein.
Schritt 2: Lies die Nullstelle ab.

Rechnerische Lösung:
Schritt 1: Setze die Gleichung gleich $0$.
$0=50x+25$

Schritt 2: Löse nach $x$ auf.
$0=50x+25$
$\Leftrightarrow -25=50x$
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow -0{,}5=x}

Schritt 3: Gib die Nullstelle an.

Die Nullstelle der Funktion Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(x)} liegt bei $N(-0{,}5|0)$.

Graphische Lösung:
Schritt 1: Zeichne die Funktion in ein Koordinatensystem ein.
Schritt 2: Lies die Nullstelle ab.

Rechnerische Lösung:
Schritt 1: Setze die Gleichung gleich $0$.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0=-x-1{,}75 }

Schritt 2: Löse nach Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} auf.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0=-x-1{,}75 }
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow 1{,}75=-x }
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow -1{,}75=x}

Schritt 3: Gib die Nullstelle an.

Die Nullstelle der Funktion Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h(x)} liegt bei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N(-1{,}75|0)} .

Graphische Lösung:
Schritt 1: Zeichne die Funktion in ein Koordinatensystem ein.
Schritt 2: Lies die Nullstelle ab. Du erkennst, dass diese Funktion keine Nullstelle besitzt.

Rechnerische Lösung:
Wenn du bei dieser Gleichung versuchst, sie gleich Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0} zu setzen, erhälst du den Ausdruck Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0=3 } .
Diese Aussage kann nicht wahr sein, deshalb besitzt diese Funktion keine Nullstelle.

Warum ist das so?

Die Steigung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} dieser Funktion ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0} . Dadurch erhält man eine Konstante, hier bei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y=3} , die die Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} -Achse an keiner Stelle schneidet. Der Funktionswert ist für jedes Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} gleich Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3} , also immer ungleich Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0} .

Schnittpunkt von zwei linearen Funktionen

Merke: Schnittpunkte von linearen Funktionen

Lineare Funktionen haben immer einen Schnittpunkt mit der Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} -Achse, den Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} -Achsenabschnitt. Zusätzlich schneiden alle Funktionen, die nicht konstant sind, die Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} -Achse, dies ist die Nullstelle. Aber es können sich auch zwei lineare Funktionen in einem Punkt schneiden. Sie schneiden sich maximal in einem Punkt, d.h. sie können sich auch in keinem Punkt schneiden. Voraussetzung für das Vorhandensein eines Schnittpunktes ist, dass die beiden Funktionsgleichungen eine unterschiedliche Steigung besitzen.

Du kannst den Schnittpunkt von linearen Funktionen auf zwei Arten bestimmen.

1. Rechnerisch
2. Graphisch

Das graphische Bestimmen des Schnittpunktes kann ungenau sein, da du den Schnittpunkt manchmal nicht exakt ablesen kannst. Durch eine Rechnung erhälst du immer den genauen Schnittpunkt.

Aufgabe 9: Schnittpunkte von zwei linearen Funktionen

Beantworte die folgenden Fragen zu Schnittpunkten von linearen Funktionen. Nutze dein Heft!

Bestimme den Schnittpunkt von $f(x)=4x$ und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h(x)=2x+2} . Überlege dir, ob du den Schnittpunkt graphisch oder rechnerisch lösen möchtest.

Schritt 1: Zeichne die Funktionen in ein Koordinatensystem ein.

Schritt 2: Markiere den Schnittpunkt durch ein Kreuz und lies die Koordinaten ab. Beschrifte den Schnittpunkt.

Gehe folgendermaßen vor:
Schritt 1: Setze beide Funktionsgleichungen gleich.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=h(x) }
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4x=2x+2 }

Schritt 2: Löse die Gleichung nach Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} auf.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4x=2x+2 \mid-2x}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow 2x=2 \mid:2 }
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow x=1 }

Schritt 3: Bestimme Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} . Setze dazu Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} in eine der beiden Funktionsgleichungen ein.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y=f(1)=4\cdot1=4}

Schritt 4: Probe. Setze Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} auch in die andere Funktionsgleichung ein.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y=h(1)=2\cdot1+2=2+2=4 }

Schritt 5: Gib den Schnittpunkt an.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h(x)} schneiden sich im Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S(1\mid4)} .

Alternativ kannst du in dieser Aufgabe auch die Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} -Koordinate in beide Funktionen einsetzen und dann prüfen, ob der gleiche Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} -Wert herauskommt.

So kannst du allerdings nur vorgehen, wenn du bereits Schnittpunkte vorgegeben hast. Ansonsten musst du einen anderen Lösungsweg wählen.

Anwendungsaufgaben

Löse die folgenden Aufgaben in deinem Heft.

Aufgabe 10: Abbrennen einer Kerze

Eine Kerze ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1{,}5} Stunden nach dem Anzünden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 12} cm und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3{,}5} Stunden nach dem Anzünden noch Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 6} cm hoch.

a) Zeichne den Graphen der Zuordnung Zeit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mapsto} Länge der Kerze.
b) Lies an deiner Zeichnung folgende Werte ab:

• Wie lang war die Kerze zu Beginn?
• Nach welcher Brennzeit ist sie nur noch Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1{,}5} cm hoch?
• Wann ist sie abgebrannt?

c) Bestimme die Änderungsrate und gib die Funktionsgleichung in der Form Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=mx+b} an. Ermittle nun die gesuchten Werte aus b) mithilfe der Gleichung.

Überlege dir, welche Punkte du aus der Aufgabenstellung erhälst. Zeichne sie in ein Koordinatensystem. Dabei befindet sich auf der Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} -Achse die Zeit und auf der Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} -Achse die Höhe der Kerze.

Die Änderungsrate ist ein anderes Wort für die Steigung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} der linearen Funktion.

Erinnere dich, wie du mithilfe zweier Punkte die Steigung bestimmen kannst.
Den Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} -Achsenabschnitt hast du schon in Teilaufgabe b) herausgefunden. Setze beide Werte in die Funktionsgleichung ein.

Zeichne ein Koordinatensystem in dein Heft. Aus der Aufgabenstellung erhälst du die beiden Punkte $P(1{,}5|12)$ und $Q(3{,}5|6)$. Zeichne diese in dein Koordinatensystem ein und verbinde sie durch eine Gerade, die über die beiden Punkte hinaus geht.

• 'Zu Beginn' bedeutet, dass $x=0$ ist. Also sollst du den $y$-Achsenabschnitt ablesen. Dieser ist $b=16{,}5$. Zu Beginn war die Kerze also Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 16{,}5} cm hoch.
  
  
• Die Brennzeit, bei der die Kerze noch Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1{,}5} cm hoch ist, beträgt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5} Stunden. Diese erhältst du, indem du den Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} -Wert zum Wert Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y=1{,}5} abliest. Dieser ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=5} .
  
  
• 'Abgebrannt' bedeutet, dass die Höhe gleich Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0} ist, also Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y=0} . Du sollst also die Nullstelle ablesen. Diese ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=5{,}5} . Also ist die Kerze nach Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5{,}5} Stunden abgebrannt.

Die Änderungsrate ist die Steigung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} der Geraden. Diese berechnest du mit den oben ermittelten Punkten Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(1{,}5|12)} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q(3{,}5|6)} wie folgt: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{6-12}{3{,}5-1{,}5}=-\frac{6}{2}=-3} .

Den Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} -Achsenabschnitt hast du schon bei Teilaufgabe b) ermittelt. Dieser war Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b=16{,}5} .

Setze Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b} nun in die allgemeine Form Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=mx+b} ein. Du erhältst dann: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=-3x+16{,}5} .

• 'Zu Beginn' bedeutet, dass Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=0} ist. Also Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(0)=-3\cdot0+16{,}5=16{,}5} .
• Du weißt, dass die Höhe noch Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1{,}5} cm beträgt. Setze also Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=1{,}5} . Dann gilt:
  Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1{,}5=-3x+16{,}5} Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow -15=-3x} Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow x=5} .
• 'Abgebrannt' bedeutet, dass die Höhe gleich Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0} ist. Setze also Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=0} . Dann gilt:
  Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0=-3x+16{,}5} Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow -16{,}5=-3x} Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow x=5{,}5} .

Aufgabe 11: Weg zum Training

Johannes geht zu Fuß von zu Hause aus zur Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 6} km entfernten Sporthalle zum Fußballtraining. Er geht relativ konstant mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4} km/h. Paul steht schon vor der Sporthalle. Er startet zur gleichen Zeit wie Johannes mit seinem Fahrrad und fährt ihm entgegen. Paul fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 16} km/h. Beide nehmen den selben Weg. Wann und wo treffen sie sich?

Überlege, welche der oben genannten Werte die Steigung und welche den Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} -Achsenabschnitt der verschiedenen Funktionen darstellt. Male es dir graphisch in einem Koordinatensystem auf und überlege, welche Einheit auf der Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} - und welche auf der Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} -Achse steht. Stelle dann die entsprechenden Funktionsgleichungen auf.

Zeichne die Funktionsgleichungen in ein Koordinatensystem und untersuche, in welchem Punkt sich die Geraden schneiden. Damit du siehst, dass du richtig abgelesen hast, kannst du zur Kontolle den Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} -Wert in eine der Funktionsgleichungen setzen.

Die Geschwindigkeiten der beiden Jungen stellen die Steigungen dar. Setze sie in die Funktionsgleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\left(x\right)=mx+b} ein. Da Paul Johannes entgegenfährt, bedenke, dass dies eine Auswirkung auf die Steigung hat und der Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} -Achsenabschnitt mit der Entfernung zusammenhängt.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_P\left(x\right)=-16 \cdot x + 6 } (Pauls Weg) und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_J\left(x\right)=4 \cdot x } (Johannes' Weg) sind die gesuchten Funktionsgleichungen.

Wenn du beide Funktionsgeichungen aufgestellt hast, setze diese gleich und berechne den Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} - Wert.

Durch die oben genannten Daten stellst du die Funktionsgleichungen auf. Johannes' Geschwindigkeit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4} km/h stellt die Steigung m der Gleichung dar. Johannes ist auf dem Weg zur Trainigshalle, also ist sein Startpunkt bei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0} km. Somit erhältst du für Johannes die Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_J\left(x\right)=4 \cdot x } , wobei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} die Zeit in Stunden verkörpert. Paul fährt ihm mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 16} km/h entgegen. Da er in entgegengesetzter Richtung zu Johannes fährt, ist die Steigung der Gleichung negativ. Du bekommst die Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_P\left(x\right)=-16 \cdot x + b } . Da Paul an der Sporthalle startet, ist der Wert Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b=6} für den Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} -Achsenabschnitt. Somit erhält man die Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_P\left(x\right)=-16 \cdot x + 6 } . Jetzt hast du zwei Möglichkeiten:

• Du setzt die Funktionsgleichungen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_P \left(x\right)} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_J\left(x\right) } gleich: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -16 \cdot x + 6 = 4 \cdot x } . Nach Umformungen erhältst du die Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 20 \cdot x= 6 } . Mit Auflösen nach Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} ergibt sich die Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=\frac {6}{20}=\frac {3}{10}=0{,}3 } . Dieser Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} -Wert wird in eine der zwei Gleichungen eingesetzt. Setze Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=0,3} in Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_J\left(x\right)=4 \cdot x } ein und berechne das Produkt. Das ergibt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_J(0{,}3)=1{,}2 } .

• Du zeichnest beide Graphen und liest den Schnittpunkt der Geraden ab.

Mit beiden Lösungwegen erhälst du die Werte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=0{,}3} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(0{,}3)=1{,}2} . Daraus lässt sich schließen, dass sich die beiden in einer Entfernung von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1{,}2} km von Johannes' Startpunkt nach Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0{,}3} h = Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 18 } min treffen.

Aufgabe 12: Handytarife

Maria möchte im Internet surfen und begutachtet die Tarife A, B und C.

Tarif A: Grundgebühr 5 € / Monat die ersten 5 Stunden frei, dann 1 Ct./min.
Tarif B: Grundgebühr 10 € / Monat die ersten 10 Stunden frei, dann 0,8 Ct./min.
Tarif C: Flat–Rate 40 € / Monat.

Maria surft im Durchschnitt zwei Stunden am Tag (30 Tage / Monat).

a) Stelle für jeden Tarif die Funktionsgleichung auf.

Betrachte zunächst die Einheiten und versuche diese umzuformen.
Wie könntest du die Wert in €/h umgewandelt werden?
Wenn du diesen Wert hast, kannst du eine vorübergehende Funktionsgleichung mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=} dem Wert €/h Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x+ a} (einen noch unbekannten Wert) aufstellen.

Wenn du Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5} Stunden frei hast heißt dies, dass du in den Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5} Stunden nur die Grundgebühr bezahlen musst.
Welchen Punkt erhalten wir dadurch?
Versuche dies in die Funktionsgleichung mit einzubauen indem du den Punkt einsetzt und die Gleichung auflöst.

b) Zeichne die Funktionsgraphen in ein geeignetes Koordinatensystem.

Um die Funktionsgleichung in ein Koordinatensystem zu übertragen, überlege dir zunächst welche Werte deine Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} - Achse und, welche Werte deine Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} -Achse angibst.
Probiere einen geeigneten Maßstab zu wählen indem du vorher einige Werte (auch höhere) in die Funktionsgleichung eingibst.
Falls du mit dem Zeichnen von Graphen Schwierigkeiten hast, wiederhole das entsprechende Kapitel in diesem Lernpfad. Da werden dir zwei Möglichkeiten einen Graphen zu zeichnen vorgestellt.

Bedenke bei den Graphen von f und h jedoch, dass diese in einem bestimmten Bereich konstant sind.

c) Erkläre, was du am Graphen ablesen kannst.

Falls du die Graphen alle in ein Koordinatensystem gezeichnet hast, kannst du einiges an diesen ablesen.

Zum Beispiel welcher Tarif wann am billigsten ist oder wann die Tarife gleich sind. Schaue dir dazu die Schnittpunkte genauer an und probiere diese zu interpretieren.

d) Berechne den günstigsten Tarif für Maria.

Um den günstigen Tarif für Maria zu berechnen, müssen wir zunächst aus der Aufgabe herauslesen wie lange Maria im Monat surft.
Sie surft Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2} h am Tag. Diesen Wert muss man jetzt noch auf den Monat umrechnen. Wie viele Stunden surft Maria in 30 Tagen (einem Monat)?

Nun kannst du den Stunden Wert in die verschiedenen Funktionsgleichungen für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} einsetzten, da die Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} - Achse die Stundenzahl angibt. Wenn du alle Werte der verschiedenen Funktionsgleichungen hast vergleiche diese.

e) In welchem Punkt herrscht Kostengleichheit für Tarif A und B?

Diesen Punkt kannst du sowohl im Koordinatensystem ablesen (allerdings ist dies sehr ungenau), als auch rechnerisch bestimmen. Ein Schnittpunkt zweier Graphen ist ein Punkt, wo beide den gleichen Wert annehmen. Deshalb kannst du die Funktionen gleichsetzten und nach Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} auflösen.

f) Ab welcher Surfzeit ist Tarif C der günstigste?

Dazu kannst du entweder in das Koordinatensystem schauen, um abzulesen wann die Graphen der anderen Funktionen größer sind als die von Tarif C. Oder du findest dies rechnerisch heraus indem du die Schnittpunkte der Funktionen von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(x)} mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h(x)} bestimmst.

Tarif A:
Zunächst multipliziert man die 1 ct/min mit 60 min, um diesen Wert in ct/h zu haben. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 60} min Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cdot 1} ct/minFehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = 60} ct/h
Nun wandelst du diesen Wert in €/h um. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 60} ct/hFehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = 0,6} €/h. Wir kennen jetzt schon einen Teil der Funktionsgleichung.Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_1(x)= 0{,}6x+ a} , wobei a ein noch unbekannter Wert ist.
Wir wissen, dass die ersten 5 Stunden frei sind,d.h hier muss nur die Grundgebühr von 5€ bezahlt werden. Der Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A (5|5) } muss also auf dem Graphen unserer Funktionsgleichung liegen. D.h. wir können diesen Punkt nun in die Funktionsgleichung von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_1 } einsetzten und nach a auflösen, um die ganze Funktionsgleichung zu erhalten.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_1(5)=0{,}6\cdot5+a=5 \Longleftrightarrow 3+a=5 \Longleftrightarrow a=2 } .
Die Funktionsgleichung für Tarif A ist also Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)= 0{,}6x+2 } . Beachtet jedoch, dass die Funktion bis Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x= 5 } konstant Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5} ist.

Tarif B:
Zunächst multipliziert man die 0,8 ct/min mit 60 min, um diesen Wert in ct/h zu haben. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 60} min $\cdot 0,8$ ct/min$=48$ ct/h
Nun wandelst du diesen Wert in €/h um. $48$ct/h$=0{,}48$ €/h. Wir kennen jetzt schon einen Teil der Funktionsgleichung.$g_{1}(x)=0{,}48x+b$, wobei a ein noch unbekannter Wert ist.
Wir wissen, dass die ersten 10 Stunden frei sind, d.h hier muss nur die Grundgebühr von 10€ bezahlt werden. Der Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B (10|10) } muss also auf dem Graphen unserer Funktionsgleichung liegen. D.h. wir können diesen Punkt nun in die Funktionsgleichung von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g_1 } einsetzten und nach b auflösen, um die ganze Funktionsgleichung zu erhalten.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g_1(10)=0{,}48\cdot10+b=10 \Longleftrightarrow 4{,}8+b=10 \Longleftrightarrow b=5{,}2 } .
Die Funktionsgleichung für Tarif B ist also Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(x)= 0{,}48x+5,2 } . Beachtet jedoch, dass die Funktion bis Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x= 10 } konstant Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 10} ist.

Tarif C:
Da dies eine Flatrate ist, wird ein Wert für jeden Monat festgesetzt und dieser Wert verändert sich auch nicht wenn mehr oder weniger Stunden gesurft wird. Deshalb ist die Funktion eine Konstante.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h(x)= 40 } ist die Funktionsgleichung zum Tarif C.

Der Schnittpunkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A(0|5) } sagt aus, dass der Tarif A selbst wenn man gar keine Zeit im Internet surft man dennoch Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5} € bezahlen muss.
Der Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B(5|5) } ist uns bereits aus dem Teil a bekannt. Bis zu diesem Punkt läuft der Graph konstant, da die ersten Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5} Stunden frei sind, danach verläuft die Funktion linear.
Der Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C(0|10) } ist beim Tarif B der Schnittpunkt mit der Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} -Achse. Auch hier gilt also, dass selbst wenn Maria gar nicht im Internet surft sie dennoch Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 10} € bezahlen muss.
Den Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D(10|10) } kennen wir schon aus dem Teil a dieser Aufgabe. Bis zu diesem Punkt läuft die Funktion des Tarifs B konstant, da die ersten Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 10} Stunden frei sind.
Der Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E(26{,}67|18) } ist der Schnittpunkt der beiden Funktion Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(x)} . Das heißt an diesem Punkt sind die Tarife für Maria gleich teuer.
Der PunktFehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F(63{,}33|40) } ist der Schnittpunkt der Funktionen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h(x)} . An diesem Punkt sind die beiden Tarife A und C also gleich teuer für Maria.
Der Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G(2{,}5|40)} ist der Schnittpunkt der Funktionen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(x)} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h(x)} . Die beiden Tarife sind in diesem Punkt gleich teuer.

Zunächst bestimmen wir die Stundenzahl, welche Maria pro Monat fürs surfen nutzt. Maria surft Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2} h/Tag. Da ein Monat Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 30} Tage hat, kann man, kann man Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 30} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2} multiplizieren und erhält Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 60} h/Monat.
Nun setzten wir die Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 60} h als Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} - Wert in die Funktionsgleichungen von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)} , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(x)} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h(x)} ein und vergleichen das Ergebnis.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(60)= 0{,}6\cdot60+2 =36+2=38}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(60)= 0{,}48\cdot60+5{,}2=28{,}8+5{,}2=34 }
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h(60)= 40 }

Da Maria circa Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 60} h im Monat surft wäre der Tarif B mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 34} € am günstigsten für sie.

Hier ist nach dem Schnittpunkt von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(x)} gefragt. Dazu setzt man die Gleichungen gleich und löst sie nach Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} auf. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=g(x)\Longleftrightarrow 0{,}6x+2=0{,}48x+5{,}2 \Longleftrightarrow 0{,}12x+2= 5{,}2 \Longleftrightarrow 0{,}12x= 3{,}2 \Longleftrightarrow x= \frac{80}{3} \approx 26{,}6666666 }

In dem Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P\left(\frac{80}{3}|18\right)} sind die Tarife A und B kostengleich.

Um dies herauszufinden brauchen wir die Schnittpunkte der Funktionsgleichungen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)} ,Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(x)} mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h(x)} , da f und g danach größer als h sind und somit h (also der Tarif C) dann der günstigste wäre. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=h(x) \Longleftrightarrow 0{,}6x+2=40 \Longleftrightarrow 0{,}6x=38 \Longleftrightarrow x=\frac{190}{3}\approx 63{,}3333333333 }
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(x)=h(x) \Longleftrightarrow 0{,}48x+5{,}2=40 \Longleftrightarrow 0{,}48x= 34{,}8 \Longleftrightarrow x=\frac{145}{2}=72{,}5 }

Man kann also sehen, dass der Tarif A bereits bei circa Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 64} h teurer wird als Tarif C. Der Tarif B ist bei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 72{,}5h} gleich teuer wie Tarif C. Also ab circa Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 73} h Internet Nutzung ist der Tarif C der günstigste.