Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Lineare Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen
Aus ZUM Projektwiki
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==Bestimmung von Funktionsgleichungen== | ==Bestimmung von Funktionsgleichungen== | ||
{{Box |1=Aufgabe 5: <span style="color: orange">Funktionsgleichung</span> <span style="color: blue">mit Hilfe von einem Punkt</span> <span style="color: #66CD00">und der Steigung bestimmen</span> |2= In den folgenden Teilaufgaben ist dir jeweils die Steigung der Geraden und ein Punkt, der auf der Geraden liegt, gegeben. Bestimme die jeweilige Gleichung der Geraden in der Form <math>f(x) = m\cdot x + b</math> in deinem Heft. | |||
{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebene Steigung und den Punkt in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + b </math> ein.|2= Tipp|3=Tipp schließen}} | |||
'''<span style="color: orange">a)</span>''' Die Steigung ist <math> m = 5 </math> und der Punkt <math>P(-1|-7)</math>. | |||
{{Lösung versteckt|1 = # Setze als erstes für die Steigung <math>m = 5</math> ein, sodass die Gleichung <math>f(x) = 5x + b</math> entsteht. | |||
# Nutze die Angabe des Punktes <math>P(-1|-7)</math>. Dann erhälst du mit <math>x = -1</math> und <math>f(x) = -7</math> die Gleichung <math>-7 = 5\cdot(-1) + b</math> erhältst. | |||
# Bestimme mit Auflösung nach <math>b</math> den Wert <math>b = -2</math>. Schließlich erhälst du, wenn du die Werte für m und b einsetzt, die Geradengleichung <math>f(x) = 5x - 2</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung schließen}} | |||
'''<span style="color: blue">b)</span>''' Die Steigung ist <math>m = 4,5</math> und der Punkt <math>P(4|18,5)</math>. | |||
{{Lösung versteckt|1 = # Setze als erstes für die Steigung <math>m = 4,5</math> ein, sodass die Gleichung <math>f(x) = 4,5\cdot x + b</math> entsteht. | |||
# Nutze die Angabe des Punktes <math>P(4|18,5)</math>. Dann erhälst du mit <math>x = 4 </math> und <math>f(x) = 18,5 </math> die Gleichung <math> 18,5 = 4,5\cdot4 + b</math> erhältst. | |||
# Bestimme mit Auflösung nach <math>b</math> den Wert <math>b = 0,5 </math>. Schließlich erhälst du, wenn du die Werte für m und b einsetzt, die Geradengleichung <math>f(x) = 4,5\cdot x + 0,5 </math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung schließen}} | |||
'''<span style="color: #66CD00">c)</span>''' Die Steigung ist <math>m = \frac{2}{3}</math> und der Punkt <math>P(-3|-\frac{4}{5})</math> | |||
{{Lösung versteckt|1 = # Setze als erstes für die Steigung <math> m = \frac {2}{3}</math> ein, sodass die Gleichung <math>f(x) = \frac{2}{3}\cdot x + b</math> entsteht. | |||
# Nutze die Angabe des Punktes <math>P(-3|-\frac{4}{5})</math>. Dann erhälst du mit <math>x = -3 </math> und <math>f(x) =-\frac{4}{5} </math> die Gleichung <math> -\frac{4}{5}= \frac{2}{3}\cdot(-3) + b</math> erhältst. | |||
# Bestimme mit Auflösung nach <math>b</math> den Wert <math>b =\frac{6}{5} </math>. Schließlich erhälst du, wenn du die Werte für m und b einsetzt, die Geradengleichung <math>f(x) = \frac{2}{3}\cdot x +\frac{6}{5}</math> ergibt. | |||
|2 = Lösung| 3 = Lösung schließen}} | |||
|3=Arbeitsmethode}} | |||
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{{Box | 1= Aufgabe | {{Box | 1= Aufgabe 6: <span style="color: orange">Funktionsgleichung</span> <span style="color: blue">mit Hilfe von zwei</span> <span style="color: #66CD00">Punkten bestimmen</span> | | ||
2 = Nutze die in den folgenden Teilaufgaben genannten Punkte, durch welche eine Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweilige Gleichung der Geraden in der Form <math> f(x)= m\cdot x+b</math>. <br \> | 2 = Nutze die in den folgenden Teilaufgaben genannten Punkte, durch welche eine Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweilige Gleichung der Geraden in der Form <math> f(x)= m\cdot x+b</math>. <br \> | ||
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{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
# Berechne zuerst die Steigung <math>m</math>. Gehe dabei wie im Merkkasten zum Steigungsdreieck vor. | # Berechne zuerst die Steigung <math>m</math>. Gehe dabei wie im Merkkasten zum Steigungsdreieck vor. | ||
# Berechne dann den y-Achsenabschnitt <math>b</math>. Setze die Steigung und einen der beiden Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + b</math> ein. | # Berechne dann den <math>y</math>-Achsenabschnitt <math>b</math>. Setze die Steigung und einen der beiden Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + b</math> ein. | ||
|2=Steigung und y-Achsenabschnitt nacheinander berechnen|3=Tipp schließen}} | |2=Steigung und <math>y</math>-Achsenabschnitt nacheinander berechnen|3=Tipp schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
# Du stellst zwei Gleichungen mit jeweils den Unbekannten <math>m</math> und <math>b</math> auf. Dabei setzt du die x-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> für <math>x</math> und die <math>y</math> bzw. <math>f(x)</math>-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> für <math>f(x)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + b</math> ein. | # Du stellst zwei Gleichungen mit jeweils den Unbekannten <math>m</math> und <math>b</math> auf. Dabei setzt du die <math>x</math>-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> für <math>x</math> und die <math>y</math> bzw. <math>f(x)</math>-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> für <math>f(x)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + b</math> ein. | ||
# | # Setze beide Gleichungen gleich und löse sie nach <math>m</math> auf. Wenn du die Unbekannte <math>m</math> bestimmt hast, setze einen Punkt in eine der beiden Gleichungen ein und berechne <math>b</math>. | ||
# Die beiden Unbekannten <math>m</math> und <math>b</math> setzt du schließlich in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + b</math> ein. | # Die beiden Unbekannten <math>m</math> und <math>b</math> setzt du schließlich in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + b</math> ein. | ||
|2=Lösung mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems|3=Tipp schließen}} | |2=Lösung mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems|3=Tipp schließen}} | ||
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# Zeichne dann eine Gerade, die durch die Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> verläuft. | # Zeichne dann eine Gerade, die durch die Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> verläuft. | ||
# Bestimme anschließend mit Hilfe des Steigungsdreiecks, welches oben im Merkkästchen nochmal erklärt worden ist, die Steigung <math>m</math>. | # Bestimme anschließend mit Hilfe des Steigungsdreiecks, welches oben im Merkkästchen nochmal erklärt worden ist, die Steigung <math>m</math>. | ||
# Lies den y-Achsenabschnitt <math>b</math> am Graphen ab. | # Lies den <math>y</math>-Achsenabschnitt <math>b</math> am Graphen ab. | ||
# Setze die Werte für m und b in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + b</math> ein. | # Setze die Werte für <math>m</math> und <math>b</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + b</math> ein. | ||
|2=Lösung mit Hilfe eines Graphen|3=Tipp schließen}} | |2=Lösung mit Hilfe eines Graphen|3=Tipp schließen}} | ||
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{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
* Für den Höhenunterschied der Punkte | * Für den Höhenunterschied der Punkte berechnest du die <math>y</math>- bzw. <math>f(x)</math>-Koordinaten der Punkte <math>P(4|27)</math> und <math>Q(9|42)</math> wie folgt: <math>f(x_2)-f(x_1)=42-27=15</math> | ||
* Für den Längenunterschied der Punkte | * Für den Längenunterschied der Punkte verwendest du die <math>x</math>-Koordinaten der Punkte <math>P(4|27)</math> und <math>Q(9|42)</math>. Dann rechnen wir wie folgt: <math>x_2-x_1=9-4=5</math> | ||
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden setzt du beide Werte in die folgende Gleichung ein: <math>m=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{15}{5}=3</math> | * Für die Steigung <math>m</math> der Geraden setzt du beide Werte in die folgende Gleichung ein: <math>m=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{15}{5}=3</math> | ||
* Für die Berechnung des y-Achsenabschnitts setzt du die Steigung <math>m =3</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + b</math> ein. | * Für die Berechnung des <math>y</math>-Achsenabschnitts setzt du die Steigung <math>m =3</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + b</math> ein. | ||
* Wenn du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhältst du <math>f(x) = mx + b \Leftrightarrow 27= 3 \cdot 4+ b \Leftrightarrow 27=12+ b \Leftrightarrow b= 15 </math> | * Wenn du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhältst du <math>f(x) = mx + b \Leftrightarrow 27= 3 \cdot 4+ b \Leftrightarrow 27=12+ b \Leftrightarrow b= 15 </math> | ||
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* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(4|27)</math> und <math>Q(9|42)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + b</math> ergeben, sind <math>27= m \cdot 4 + b</math> und <math> 42= m \cdot 9 + b</math>. | * Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(4|27)</math> und <math>Q(9|42)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + b</math> ergeben, sind <math>27= m \cdot 4 + b</math> und <math> 42= m \cdot 9 + b</math>. | ||
* Forme dann beide Gleichungen nach b um und setze sie <math>27-4 \cdot m = 42 - 9 \cdot m </math>. | * Forme dann beide Gleichungen nach <math>b</math> um und setze sie <math>27-4 \cdot m = 42 - 9 \cdot m </math>. | ||
* Dann löst du eine Gleichung nach <math>m</math> auf und erhältst <math>m = 3 </math>. | * Dann löst du eine Gleichung nach <math>m</math> auf und erhältst <math>m = 3 </math>. | ||
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{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
* Für den Höhenunterschied der Punkte | * Für den Höhenunterschied der Punkte berechnest du die <math>y</math> bzw. <math>f(x)</math>-Koordinaten der Punkte <math>P(-3|-1)</math> und <math>Q(1|7)</math> wie folgt berechnen: <math>f(x_2)-f(x_1)=7-(-1)=8</math> | ||
* Für den Längenunterschied der Punkte | * Für den Längenunterschied der Punkte verwendest du die <math>x</math>-Koordinaten der Punkte <math>P(-3|-1)</math> und <math>Q(1|7)</math>. Dann rechnen wir wie folgt: <math>x_2-x_1=1-(-3)=4</math> | ||
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden setzt du beide Werte in die folgende Gleichung ein: <math> m=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{8}{4}=2</math> | * Für die Steigung <math>m</math> der Geraden setzt du beide Werte in die folgende Gleichung ein: <math> m=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{8}{4}=2</math> | ||
* Für die Berechnung des y-Achsenabschnitts setzt du die Steigung <math>m = 2 </math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + b</math> ein. | * Für die Berechnung des <math>y</math>-Achsenabschnitts setzt du die Steigung <math>m = 2 </math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + b</math> ein. | ||
* Wenn du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhältst du <math>f(x) = mx + b \Leftrightarrow -1= 2 \cdot -3+ b \Leftrightarrow -1=-6+ b \Leftrightarrow b= 5 </math> | * Wenn du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhältst du <math>f(x) = mx + b \Leftrightarrow -1= 2 \cdot -3+ b \Leftrightarrow -1=-6+ b \Leftrightarrow b= 5 </math> | ||
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* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(-3|-1)</math> und <math>Q(1|7)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + b</math> ergeben, sind <math>-1= m \cdot -3 + b</math> und <math> 7= m \cdot 1 + b</math>. | * Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(-3|-1)</math> und <math>Q(1|7)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + b</math> ergeben, sind <math>-1= m \cdot -3 + b</math> und <math> 7= m \cdot 1 + b</math>. | ||
* Forme dann beide Gleichungen nach b um und setze sie <math>-1+3 \cdot m = 7-m </math>. | * Forme dann beide Gleichungen nach <math>b</math> um und setze sie <math>-1+3 \cdot m = 7-m </math>. | ||
* Dann löst du eine Gleichung nach <math>m</math> auf und erhältst <math>m = 2 </math>. | * Dann löst du eine Gleichung nach <math>m</math> auf und erhältst <math>m = 2 </math>. | ||
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{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
* Für den Höhenunterschied der Punkte | * Für den Höhenunterschied der Punkte berechnest du die <math>y</math>- bzw. <math>f(x)</math>-Koordinaten der Punkte <math>P(-5|-12,5)</math> und <math>Q(10|11,5)</math> wie folgt berechnen: <math>f(x_2)-f(x_1)=11,5-(-12,5)=24</math> | ||
* Für den Längenunterschied der Punkte | * Für den Längenunterschied der Punkte verwendest du die <math>x</math>-Koordinaten der Punkte <math>P(-5|-12,5)</math> und <math>Q(10|11,5)</math> verwenden. Dann rechnen wir wie folgt: <math>x_2-x_1=10-(-5)=15</math> | ||
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden setzt du beide Werte in die folgende Gleichung ein: <math> m=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{24}{15}=\frac{8}{5}</math> | * Für die Steigung <math>m</math> der Geraden setzt du beide Werte in die folgende Gleichung ein: <math> m=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{24}{15}=\frac{8}{5}</math> | ||
* Für die Berechnung des y-Achsenabschnitts setzt du die Steigung <math>m = \frac{8}{5}</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + b</math> ein. | * Für die Berechnung des <math>y</math>-Achsenabschnitts setzt du die Steigung <math>m = \frac{8}{5}</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + b</math> ein. | ||
* Wenn du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhältst du <math>f(x) = mx + b \Leftrightarrow -12,5= \frac{8}{5} \cdot (-5)+ b \Leftrightarrow -12,5=8 + b \Leftrightarrow b= -4,5 </math> | * Wenn du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhältst du <math>f(x) = mx + b \Leftrightarrow -12,5= \frac{8}{5} \cdot (-5)+ b \Leftrightarrow -12,5=8 + b \Leftrightarrow b= -4,5 </math> | ||
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* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(-5|-12,5)</math> und <math>Q(10|11,5)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + b</math> ergeben, sind <math> -12,5= m \cdot (-5) + b</math> und <math> 11,5= m \cdot 10 + b</math>. | * Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(-5|-12,5)</math> und <math>Q(10|11,5)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + b</math> ergeben, sind <math> -12,5= m \cdot (-5) + b</math> und <math> 11,5= m \cdot 10 + b</math>. | ||
* Forme dann beide Gleichungen nach b um und setze sie <math>-12,5+ 5 \cdot m = 11,5 - 10 \cdot m </math>. | * Forme dann beide Gleichungen nach <math>b</math> um und setze sie <math>-12,5+ 5 \cdot m = 11,5 - 10 \cdot m </math>. | ||
* Dann löst du eine Gleichung nach <math>m</math> auf und erhältst <math>m = \frac{8}{5} </math>. | * Dann löst du eine Gleichung nach <math>m</math> auf und erhältst <math>m = \frac{8}{5} </math>. | ||
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'''<span style="color: #66CD00">d)</span>''' | '''<span style="color: #66CD00">d)</span>''' Betrachte die nachfolgende Wertetabelle.[[Datei:Wertetabelle von linearer Funktion.png|zentriert|370 px]] | ||
{{Lösung versteckt|1 = | {{Lösung versteckt|1 = | ||
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{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
* Für den Höhenunterschied der Punkte | * Für den Höhenunterschied der Punkte berechnest du die <math>y</math>- bzw. <math>f(x)</math>-Koordinaten zweier Punkte der Wertetabelle. Wir wählen zum Beispiel die Punkte <math>P(-3|\frac{9}{4})</math> und <math>Q(1|1\frac{1}{4})</math>, da diese Brüche auf einem Nenner sind und die Rechnung. Dann berechnen wie folgt: <math>f(x_2)-f(x_1)=1 \frac{1}{4}-\frac{9}{4}=-1 </math> | ||
* Für den Längenunterschied der Punkte | * Für den Längenunterschied der Punkte verwendest du die <math>x</math>-Koordinaten der gleichen Punkte, die du beim Höhenunterschied gewählt hast. Wir benutzen also die Punkte <math>P(-3|\frac{9}{4})</math> und <math>Q(1|1\frac{1}{4})</math>. Dann rechnen wir wie folgt: <math>x_2-x_1=1-(-3)=4</math> | ||
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden setzt du beide Werte in die folgende Gleichung ein: <math>\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{1\frac{1}{4}-\frac{9}{4}}{1-(-3)}=-\frac{1}{4}</math> | * Für die Steigung <math>m</math> der Geraden setzt du beide Werte in die folgende Gleichung ein: <math>\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{1\frac{1}{4}-\frac{9}{4}}{1-(-3)}=-\frac{1}{4}</math> | ||
* Für die Berechnung des y-Achsenabschnitts setzt du die Steigung <math>m = -\frac{1}{4}</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + b</math> ein. | * Für die Berechnung des <math>y</math>-Achsenabschnitts setzt du die Steigung <math>m = -\frac{1}{4}</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + b</math> ein. | ||
* Wenn du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhältst du <math>f(x) = mx + b \Leftrightarrow \frac{9}{4}= -\frac{1}{4} \cdot -3+ b \Leftrightarrow \frac{9}{4} =\frac{3}{4} + b \Leftrightarrow b= \frac{6}{4}=\frac{3}{2} </math> | * Wenn du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhältst du <math>f(x) = mx + b \Leftrightarrow \frac{9}{4}= -\frac{1}{4} \cdot -3+ b \Leftrightarrow \frac{9}{4} =\frac{3}{4} + b \Leftrightarrow b= \frac{6}{4}=\frac{3}{2} </math> | ||
Zeile 361: | Zeile 385: | ||
* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(-3|\frac{9}{4})</math> und <math>Q(1|1\frac{1}{4})</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + b</math> ergeben, sind <math>\frac{9}{4}= m \cdot (-3) + b</math> und <math> 1\frac{1}{4}= m \cdot 1 + b</math>. | * Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(-3|\frac{9}{4})</math> und <math>Q(1|1\frac{1}{4})</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + b</math> ergeben, sind <math>\frac{9}{4}= m \cdot (-3) + b</math> und <math> 1\frac{1}{4}= m \cdot 1 + b</math>. | ||
* Forme dann beide Gleichungen nach b um und setze sie <math>\frac{9}{4}+3 \cdot m = 1\frac{1}{4} -m </math>. | * Forme dann beide Gleichungen nach <math>b</math> um und setze sie <math>\frac{9}{4}+3 \cdot m = 1\frac{1}{4} -m </math>. | ||
* Dann löst du eine Gleichung nach <math>m</math> auf und erhältst <math>m = -\frac{1}{4} </math>. | * Dann löst du eine Gleichung nach <math>m</math> auf und erhältst <math>m = -\frac{1}{4} </math>. | ||
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| 3= Arbeitsmethode}} | | 3= Arbeitsmethode}} | ||
==Graphen und ihre Punkte== | ==Graphen und ihre Punkte== |
Version vom 30. November 2020, 21:45 Uhr
Wiederholung: Was ist eine Funktion?
Lineare Funktionen erkennen
Graph einer linearen Funktion
Bestimmung von Funktionsgleichungen
Graphen und ihre Punkte
Schnittpunkte von linearen Funktionen
Schnittpunkt mit der -Achse (Nullstelle)
Schnittpunkt von zwei linearen Funktionen
Anwendungsaufgaben
Löse die folgenden Aufgaben in deinem Heft.