Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Lineare Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen
Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung |
Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung |
||
Zeile 48: | Zeile 48: | ||
==Lineare Funktionen erkennen== | ==Lineare Funktionen erkennen== | ||
{{Box | Merke: Lineare Funktionen |Lineare Funktionen sind euch vielleicht auch unter der Bezeichnung Geradengleichung bekannt. Wie dieser Name schon sagt, handelt sich bei dem Graphen einer linearen Funktion um eine Gerade. Der Graph kann daher ''keine Kurven'' haben. | {{Box | Merke: Lineare Funktionen |Lineare Funktionen sind euch vielleicht auch unter der Bezeichnung Geradengleichung bekannt. Wie dieser Name schon sagt, handelt sich bei dem Graphen einer linearen Funktion um eine Gerade. Der Graph kann daher ''keine Kurven'' haben. | ||
<br \> Im Allgemeinen haben lineare Funktionen die '''Funktionsgleichung''' <math>f(x)=mx+b</math>. | |||
* Dabei ist <math>m</math> die '''Steigung''' der Geraden und <math>b</math> der '''y-Achsenabschnitt''', also der Schnittpunkt mit der y-Achse. | |||
* Das Vorzeichen der Steigung <math>m</math> gibt an, ob die Gerade fällt (negatives Vorzeichen), oder steigt (positives Vorzeichen). | * Das Vorzeichen der Steigung <math>m</math> gibt an, ob die Gerade fällt (negatives Vorzeichen), oder steigt (positives Vorzeichen). | ||
* Den Schnittpunkt mit der <math>x</math>-Achse, die sogenannte '''Nullstelle''' der Funktion, berechnest du, indem du <math>f(x)</math> gleich <math>0</math> setzt. Denn an dem Punkt, wo der Graph die <math>x</math>-Achse schneidet, ist der <math>y</math>-Wert gleich <math>0</math>. | * Den Schnittpunkt mit der <math>x</math>-Achse, die sogenannte '''Nullstelle''' der Funktion, berechnest du, indem du <math>f(x)</math> gleich <math>0</math> setzt. Denn an dem Punkt, wo der Graph die <math>x</math>-Achse schneidet, ist der <math>y</math>-Wert gleich <math>0</math>. | ||
<br \> <br \> Im Folgenden kannst du über die beiden Schieberegler die Steigung <math>m</math> und den y-Achsenabschnitt <math>b</math> verstellen und dir anschauen, wie sich der Graph der linearen Funktion verändert. Mit deiner Maus kannst du die Grafik verschieben oder rein- und herauszoomen. | <br \> <br \> Im Folgenden kannst du über die beiden Schieberegler die Steigung <math>m</math> und den y-Achsenabschnitt <math>b</math> verstellen und dir anschauen, wie sich der Graph der linearen Funktion verändert. Mit deiner Maus kannst du die Grafik verschieben oder rein- und herauszoomen. |
Version vom 16. November 2020, 10:53 Uhr
In diesem Lernpfadkapitel hast du die Möglichkeit, dein Wissen über lineare Funktionen zu gebrauchen, zu erweitern und dein Verständnis zu vertiefen. Das Kapitel gibt dir eine Übersicht über die Zusammenhänge zwischen linearen Funktionen, die darauf liegenden Punkte und über die Gleichungen und Graphen linearer Funktionen.
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
- In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
- Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
- Und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.
Inhaltsverzeichnis
Wiederholung: Was ist eine Funktion?
Zur Einführung in das Thema der linearen Funktionen wiederholen wir zunächst, was eine Funktion überhaupt ist. Versuche dazu, den folgenden Lückentext auszufüllen, indem du die Wörter unter dem Text mit der Maus an die passende Stelle im Text ziehst. Anschließend kannst du deine Antworten überprüfen.
Eine Zuordnung heißt Funktion, wenn jedem -Wert genau ein -Wert zugeordnet wird.
Funktionen werden häufig mit bezeichnet.
Durch eine Funktion wird einer Variablen ein Funktionswert zugeordnet.
Wenn es einen Term zur Berechnung der Funktionswerte gibt, dann nennt man ihn den Funktionsterm
und die zugehörige Gleichung heißt Funktionsgleichung.
Stellt man die Zahlenpaare als Punkte in einem Koordinatensystem dar, so erhält man den Graphen der Funktion.
1.) Haus Adresse (Ja, die Zuordnung beschreibt eine Funktion.) (!Nein, die Zuordnung beschreibt keine Funktion.)
2.) Mutter Kind (!Ja, die Zuordnung beschreibt eine Funktion.) (Nein, die Zuordnung beschreibt keine Funktion.)
3.) Zahl Quersumme der Zahl (Ja, die Zuordnung beschreibt eine Funktion.) (!Nein, die Zuordnung beschreibt keine Funktion.)
Lineare Funktionen erkennen
Lineare Funktionen sind euch vielleicht auch unter der Bezeichnung Geradengleichung bekannt. Wie dieser Name schon sagt, handelt sich bei dem Graphen einer linearen Funktion um eine Gerade. Der Graph kann daher keine Kurven haben.
Im Allgemeinen haben lineare Funktionen die Funktionsgleichung .
- Dabei ist die Steigung der Geraden und der y-Achsenabschnitt, also der Schnittpunkt mit der y-Achse.
- Das Vorzeichen der Steigung gibt an, ob die Gerade fällt (negatives Vorzeichen), oder steigt (positives Vorzeichen).
- Den Schnittpunkt mit der -Achse, die sogenannte Nullstelle der Funktion, berechnest du, indem du gleich setzt. Denn an dem Punkt, wo der Graph die -Achse schneidet, ist der -Wert gleich .
Im Folgenden kannst du über die beiden Schieberegler die Steigung und den y-Achsenabschnitt verstellen und dir anschauen, wie sich der Graph der linearen Funktion verändert. Mit deiner Maus kannst du die Grafik verschieben oder rein- und herauszoomen.
Graph einer linearen Funktion
Zeichne die folgenden Graphen in dein Heft:
a)
b)
c)
Es gibt zwei mögliche Wege einen Graphen zu zeichnen.
Entweder du betrachtest und von der Funktionsgleichung genauer. Dieses Verfahren wird dir bei der Möglichkeit 1 genauer erläutert.
Oder du setzt Punkte in die Funktionsgleichung ein. Die Möglichkeit 2 zeigt dir hierzu ein Beispiel.
Betrachten wir als Beispiel die Funktionsgleichung .
Dabei gibt den Schnittpunkt mit der y- Achse im Koordinatensystem an. Wir wissen also, dass der Graph der Funktion durch den Punkt verläuft.
Nun betrachten wir die Steigung welche durch gegeben ist. Du kannst dann vom Punkt eine Einheit nach rechts und 1,5 nach unten gehen, weil die Steigung negativ ist.
Betrachten wir erneut die Funktionsgleichung
Bei diesem Verfahren setzt du zwei verschiedene x-Werte in die Gleichung ein. Versuche einfache Werte zu wählen.
Du könntest zum Beispiel wählen. Dann wäre Dies wäre der Punkt .
Als nächstes wählst du eine andere Zahl, z.B. . Dann wäre . Dies wäre der Punkt .
Möglichkeit 1=
Die Funktionsgleichung schneidet die y- Achse im Punkt ,da den Schnittpunkt mit der y-Achse angibt. Diesen Wert kannst du also direkt ablesen.
Nun betrachten wir die Steigung . Wir können vom Punkt nun eine Einheit nach rechts und 2 nach oben gehen, da die Steigung positiv ist.
Verbindet man nun diese Punkte, so erhält man den Graph der Funktion.
Möglichkeit 2 =
Bei dieser Lösungsmöglichkeit wählen wir zwei verschiedene x- Werte.
Zunächst könnte man in die Funktionsgleichung einsetzten und man erhält , also den Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A=(0|-1) }
.
Als nächstes könnte man z.B. wählen. Dann erhält man durch einsetzten in die Funktionsgleichung . Dies wäre dann der Punkt .
Möglichkeit 1=
Die Funktionsgleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = -3x+ 3 }
schneidet die y- Achse im Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(0|3) }
,da Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b=3 }
den Schnittpunkt mit der y-Achse angibt. Diesen Wert kannst du also direkt ablesen.
Nun betrachten wir die Steigung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m=-3 }
. Wir können vom Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P }
nun eine Einheit nach rechts und 3 nach unten gehen, da die Steigung negativ ist.
Verbindet man nun diese Punkte, so erhält man den Graph der Funktion.
Möglichkeit 2 =
Bei dieser Lösungsmöglichkeit wählen wir zwei verschiedene x- Werte.
Zunächst könnte man Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x= 0 }
in die Funktionsgleichung einsetzten und man erhält Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(0)=-3\cdot0+3=3 }
, also den Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A=(0|3) }
.
Als nächstes könnte man z.B. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=1}
wählen. Dann erhält man durch einsetzten in die Funktionsgleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(1)=-3\cdot1+3= -3+3=0 }
. Dies wäre dann der Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B=(1|0) }
.
Möglichkeit 1=
Die Funktionsgleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)= -\frac{5}{6}x+ 2,5}
schneidet die y- Achse im Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(0|2,5) }
,da Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b=2,5 }
den Schnittpunkt mit der y-Achse angibt. Diesen Wert kannst du also direkt ablesen.
Nun betrachten wir die Steigung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m=-\frac{5}{6} }
. Wir könnten vom Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P }
nun eine Einheit nach rechts und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{5}{6}}
nach unten gehen, da die Steigung negativ ist.
Da dies allerdings schwierig und ungenau abzulesen ist, bietet es sich hier an stattdessen ein Vielfaches der Steigung zu gehen. Multiplizieren wir die Steigung z.B. mit 3 erhalten wir Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{5}{6}\cdot3=\frac{15}{6} =\frac{5}{2}=2,5 }
. Dieser Wert ist deutlich einfacher einzuzeichnen in ein Koordinatensystem. Wir gehen nun also von dem Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P }
3 Einheiten nach rechts, weil wir die Steigung ja mit 3 multipliziert haben. Dann gehen wir 2,5 Einheiten nach unten, da die Steigung negativ ist. Nun sind wir bei dem Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q=(3|0) }
ausgekommen, welchen man gut in ein Koordinatensystem einzeichnen kann.
Verbindet man nun diese Punkte, so erhält man den Graph der Funktion.
Möglichkeit 2 =
Bei dieser Lösungsmöglichkeit wählen wir zwei verschiedene x- Werte.
Zunächst könnte man Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x= 0 }
in die Funktionsgleichung einsetzten und man erhält Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(0)= -\frac{5}{6}\cdot0+ 2,5= 2,5 }
, also den Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A=(0|2,5) }
.
Als nächstes könnte man z.B. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=3 }
wählen. Dann erhält man durch einsetzten in die Funktionsgleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(3)=-\frac{5}{6}\cdot3+ 2,5=-\frac{15}{6}+ 2,5= -\frac{5}{2}+2,5=-2,5+2,5=0 }
. Dies wäre dann der Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B=(3|0) }
.
Graphen mit Funktionsgleichungen verbinden
Bestimmung von Funktionsgleichungen
Die Steigung einer linearen Funktion erhält man mithilfe des Steigungsdreiecks, von welchem zwei Punkte auf dem Graphen liegen. Das Steigungsdreieck kennzeichnet, dass die Steigung dem Verhältnis des Höhen- und Längenunterschiedes beider Punkte entspricht.
Die Steigung berechnest du folgendermaßen:
- Du suchst zwei beliebige Punkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(x_1|f(x_1))}
und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q(x_2|f(x_2))}
, die auf dem Graphen der Funktion liegen.
- Um den Höhenunterschied der Punkte zu bestimmen, benötigt man die y-Koordinaten der Punkte P und Q: Höhenunterschied: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x_2)-f(x_1)}
- Um den Längenunterschied der Punkte zu bestimmen, benötigt man die x-Koordinaten der Punkte P und Q: Längenunterschied: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2-x_1}
- Für die Steigung der Geraden gilt dann: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}}
Nutze die je in den folgenden Teilaufgaben genannten Punkte, durch welche eine Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweilige Gleichung der Geraden in der Form Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)= m\cdot x+b}
.
Du kannst auf drei unterschiedlichen Wegen die Funktionsgleichungen bestimmen.
- Berechne zuerst die Steigung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} . Gehe dabei wie im Merkkasten zum Steigungsdreieck vor.
- Berechne dann den y-Achsenabschnitt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b} . Setze die Steigung und einen der beiden Punkte in die Geradengleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = mx + b} ein.
- Du stellst zwei Gleichungen mit jeweils den Unbekannten Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b} auf. Dabei setzt du die x-Koordinaten der Punkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q} für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} und die y bzw. f(x)-Koordinaten der Punkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q} für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)} in die Geradengleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = mx + b} ein.
- Beide Gleichungen ergeben zusammen ein lineares Gleichungssystem, welches du mit verschiedenen Verfahren, wie das Gleichsetzungsverfahren, lösen kannst, um die beiden Unbekannten Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b} zu bestimmen.
- Die beiden Unbekannten Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b} setzt du schließlich in die Geradengleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = mx + b} ein.
- Zeichne die Punkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q} in ein Koordinatensystem.
- Zeichne dann eine Gerade, die durch die Punkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q} verläuft.
- Bestimme anschließend mit Hilfe des Steigungsdreiecks, welches oben im Merkkästchen nochmal erklärt worden ist, die Steigung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} .
- Lies den y-Achsenabschnitt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b} am Graphen ab.
- Setze die Werte für m und b in die Geradengleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = mx + b} ein.
a) Gegeben sind die Punkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(4|27)} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q(9|42) } .
Die Funktionsgleichung lautet Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = 3x + 15}
- Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y bzw. f(x)-Koordinaten zweier Punkte der Wertetabelle berechnen. Wir wählen zum Beispiel die Punkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(4|27)} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q(9|42)} und berechnen wie folgt:
- Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der gleichen Punkte, die du beim Höhenunterschied gewählt hast, verwenden. Wir benutzen also die Punkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(-3|\frac{9}{4})} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q(1|1\frac{1}{4})} . Dann rechnen wir wie folgt: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2-x_1=9-4=5}
- Für die Steigung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} der Geraden setzt du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{15}{5}=3}
- Für die Berechnung des y-Achsenabschnitts setzt du die Steigung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m =3} und einen der Punkte in die Geradengleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = mx + b} ein.
- Wenn du als Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} gewählt hast, erhältst du Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = mx + b \Leftrightarrow 27= 3 \cdot 4+ b \Leftrightarrow 27=12+ b \Leftrightarrow b= 15 }
- Wenn du als Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q} gewählt hast, erhältst du Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = mx + b \Leftrightarrow 42= 3 \cdot 9+ b \Leftrightarrow 42 =27 + b \Leftrightarrow b= 15 }
- Zum Schluss setzt du Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m = 3} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b = 15} in die Geradengleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = mx + b} ein.
- Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(4|27)} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q(9|42)} in die Geradengleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = mx + b} ergeben, sind Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 27= m \cdot 4 + b} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 42= m \cdot 9 + b} .
- Forme dann beide Gleichungen nach b um und setze sie Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 27-4 \cdot m = 42 - 9 \cdot m } .
- Dann löst du eine Gleichung nach Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} auf und erhältst Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m = 3 } .
- Die Steigung setzt du anschließend in die andere Gleichung für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} ein und erhältst Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b= 15} .
- Zum Schluss setzt du Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m = 3} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b = 15 } in die Geradengleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = mx + b} ein.
b) Gegeben sind die Punkte und .
Die Funktionsgleichung lautet
- Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y bzw. f(x)-Koordinaten zweier Punkte der Wertetabelle berechnen. Wir wählen zum Beispiel die Punkte und und berechnen wie folgt: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x_2)-f(x_1)=7-(-1)=8}
- Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der gleichen Punkte, die du beim Höhenunterschied gewählt hast, verwenden. Wir benutzen also die Punkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(-3|-1)} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q(1|7)} . Dann rechnen wir wie folgt: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2-x_1=1-(-3)=4}
- Für die Steigung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} der Geraden setzt du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{8}{4}=2}
- Für die Berechnung des y-Achsenabschnitts setzt du die Steigung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m = 2 } und einen der Punkte in die Geradengleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = mx + b} ein.
- Wenn du als Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} gewählt hast, erhältst du Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = mx + b \Leftrightarrow -1= 2 \cdot -3+ b \Leftrightarrow -1=-6+ b \Leftrightarrow b= 5 }
- Wenn du als Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q} gewählt hast, erhältst du Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = mx + b \Leftrightarrow 7= 2 \cdot 1+ b \Leftrightarrow 7=2 + b \Leftrightarrow b= 5 }
- Zum Schluss setzt du Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m = 2} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b = 5 } in die Geradengleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = mx + b} ein.
- Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(-3|-1)} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q(1|7)} in die Geradengleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = mx + b} ergeben, sind Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -1= m \cdot -3 + b} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 7= m \cdot 1 + b} .
- Forme dann beide Gleichungen nach b um und setze sie Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -1+3 \cdot m = 7-m } .
- Dann löst du eine Gleichung nach Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} auf und erhältst Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m = 2 } .
- Die Steigung setzt du anschließend in die andere Gleichung für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} ein und erhältst Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b= 5 } .
- Zum Schluss setzt du Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m = 2 } und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b = 5 } in die Geradengleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = mx + b} ein.
c) Gegeben sind die Punkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(-5|-12,5)}
und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q(10|11,5) }
.
Die Funktionsgleichung lautet Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = \frac{8}{5}x -4,5}
- Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y bzw. f(x)-Koordinaten zweier Punkte der Wertetabelle berechnen. Wir wählen zum Beispiel die Punkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(-5|-12,5)} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q(10|11,5)} und berechnen wie folgt: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x_2)-f(x_1)=11,5-(-12,5)=24}
- Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der gleichen Punkte, die du beim Höhen- unterschied gewählt hast, verwenden. Wir benutzen also die Punkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(-5|-12,5)} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q(10|11,5)} . Dann rechnen wir wie folgt: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2-x_1=10-(-5)=15}
- Für die Steigung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} der Geraden setzt du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{24}{15}=\frac{8}{5}}
- Für die Berechnung des y-Achsenabschnitts setzt du die Steigung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m = \frac{8}{5}} und einen der Punkte in die Geradengleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = mx + b} ein.
- Wenn du als Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} gewählt hast, erhältst du Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = mx + b \Leftrightarrow -12,5= \frac{8}{5} \cdot (-5)+ b \Leftrightarrow -12,5=8 + b \Leftrightarrow b= -4,5 }
- Wenn du als Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q} gewählt hast, erhältst du Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = mx + b \Leftrightarrow 11,5= \frac{8}{5} \cdot 10+ b \Leftrightarrow 11,5 =16 + b \Leftrightarrow b= -4,5 }
- Zum Schluss setzt du Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m = \frac{8}{5}} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b = -4,5 } in die Geradengleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = mx + b} ein.
- Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(-5|-12,5)} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q(10|11,5)} in die Geradengleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = mx + b} ergeben, sind Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -12,5= m \cdot (-5) + b} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 11,5= m \cdot 10 + b} .
- Forme dann beide Gleichungen nach b um und setze sie Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -12,5+ 5 \cdot m = 11,5 - 10 \cdot m } .
- Dann löst du eine Gleichung nach Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} auf und erhältst Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m = \frac{8}{5} } .
- Die Steigung setzt du anschließend in die andere Gleichung für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} ein und erhältst Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b=-4,5 } .
- Zum Schluss setzt du Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m = \frac{8}{5}} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b = -4,5 } in die Geradengleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = mx + b } ein.
Die Funktionsgleichung lautet Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = -\frac{1}{4}x + \frac{3}{2}}
- Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y bzw. f(x)-Koordinaten zweier Punkte der Wertetabelle berechnen. Wir wählen zum Beispiel die Punkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(-3|\frac{9}{4})} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q(1/1\frac{1}{4})} und berechnen wie folgt: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x_2)-f(x_1)=1 \frac{1}{4}-\frac{9}{4}=-1 }
- Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der gleichen Punkte, die du beim Höhenunterschied gewählt hast, verwenden. Wir benutzen also die Punkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(-3|\frac{9}{4})} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q(1|1\frac{1}{4})} . Dann rechnen wir wie folgt: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2-x_1=1-(-3)=4}
- Für die Steigung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} der Geraden setzt du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=(1\frac{1}{4}-\frac{9}{4})/(1-(-3))=-\frac{1}{4}}
- Für die Berechnung des y-Achsenabschnitts setzt du die Steigung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m = -\frac{1}{4}} und einen der Punkte in die Geradengleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = mx + b} ein.
- Wenn du als Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} gewählt hast, erhältst du Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = mx + b \Leftrightarrow \frac{9}{4}= -\frac{1}{4} \cdot -3+ b \Leftrightarrow \frac{9}{4} =\frac{3}{4} + b \Leftrightarrow b= \frac{6}{4}=\frac{3}{2} }
- Wenn du als Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q} gewählt hast, erhältst du Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = mx + b \Leftrightarrow 1\frac{1}{4}= -\frac{1}{4} \cdot 1+ b \Leftrightarrow 1\frac{1}{4} =-\frac{1}{4} + b \Leftrightarrow b= 1\frac{2}{4}=\frac{3}{2} }
- Zum Schluss setzt du Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m = -\frac{1}{14}} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b = \frac{3}{2}} in die Geradengleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = mx + b} ein.
- Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(-3|\frac{9}{4})} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q(1|1\frac{1}{4})} in die Geradengleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = mx + b} ergeben, sind Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{9}{4}= m \cdot (-3) + b} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1\frac{1}{4}= m \cdot 1 + b} .
- Forme dann beide Gleichungen nach b um und setze sie Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{9}{4}+3 \cdot m = 1\frac{1}{4} -m } .
- Dann löst du eine Gleichung nach Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} auf und erhältst Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m = -\frac{1}{4} } .
- Die Steigung setzt du anschließend in die andere Gleichung für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} ein und erhältst Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b= \frac{2}{3}} .
- Zum Schluss setzt du Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m = -\frac{1}{4}} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b = \frac{2}{3}} in die Geradengleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = mx + b } ein.
In den folgenden Teilaufgaben ist dir jeweils die Steigung der Geraden und einen Punkt, der auf der Geraden liegt, gegeben. Bestimme die jeweilige Gleichung der Geraden in der Form Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = m\cdot x + b} in deinem Heft.
a) Die Steigung ist und der Punkt .
- Setze als erstes für die Steigung ein, sodass die Gleichung entsteht.
- Nutze die Angabe des Punktes . Dann erhälst du mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = -1} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = -7} die Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -7 = 5\cdot(-1) + b} erhältst.
- Bestimme mit Auflösung nach Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b} den Wert Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b = -2} . Schließlich erhälst du, wenn du die Werte für m und b einsetzt, die Geradengleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = 5x - 2} ergibt.
b) Die Steigung ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m = 4,5} und der Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(4|18,5)} .
- Setze als erstes für die Steigung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m = 4,5} ein, sodass die Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = 4,5\cdot x + b} entsteht.
- Nutze die Angabe des Punktes Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(4|18,5)} . Dann erhälst du mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = 4 } und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = 18,5 } die Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 18,5 = 4,5\cdot4 + b} erhältst.
- Bestimme mit Auflösung nach Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b} den Wert Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b = 0,5 } . Schließlich erhälst du, wenn du die Werte für m und b einsetzt, die Geradengleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = 4,5\cdot x + 0,5 } ergibt.
c) Die Steigung ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m = \frac{2}{3}} und der Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(-3|-\frac{4}{5})}
- Setze als erstes für die Steigung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m = \frac {2}{3}} ein, sodass die Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = \frac{2}{3}\cdot x + b} entsteht.
- Nutze die Angabe des Punktes Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(-3|-\frac{4}{5})} . Dann erhälst du mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = -3 } und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) =-\frac{4}{5} } die Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -\frac{4}{5}= \frac{2}{3}\cdot(-3) + b} erhältst.
- Bestimme mit Auflösung nach Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b} den Wert Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b =\frac{6}{5} } . Schließlich erhälst du, wenn du die Werte für m und b einsetzt, die Geradengleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = \frac{2}{3}\cdot x +\frac{6}{5}} ergibt.
Liegen die Punkte auf dem Graphen?
Prüfe rechnerisch oder durch zeichnen der Graphen der Funktionsgleichungen, ob die Punkte auf den Graphen der Funktionsgleichungen liegen.
Schnittpunkte von linearen Funktionen
Linearen Funktionen haben immer einen Schnittpunkt mit der Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} -Achse, den Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} -Achsenabschnitt. Zusätzlich schneiden alle Funktionen, die nicht konstant sind, die Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} -Achse. Diesen Punkt nennt man auch die Nullstelle der Funktion, da der zugehörige Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} -Wert an dieser Stelle immer gleich Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0} ist. Aber es können sich auch zwei lineare Funktionen in einem Punkt schneiden.
Du kannst den Schnittpunkt von linearen Funktionen auf zwei Arten bestimmen.
- Rechnerisch
- Graphisch
Das graphische Bestimmen des Schnittpunktes kann ungenau sein, da du den Schnittpunkt manchmal nicht exakt ablesen kannst. Durch eine Rechnung erhälst du immer den genauen Schnittpunkt.
Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle)
Die Nullstelle einer linearen Funktion ist der Schnittpunkt der Funktion mit der Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x}
-Achse. Die Berechnung ist daher oftmals leichter als die Berechnung des Schnittpunktes zweier linearer Funktionen, da der Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y}
-Wert bereits bekannt ist, dieser ist immer Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0}
.
Wenn du dir nicht mehr sicher bist, wie du die Nullstelle einer linearen Funktion bestimmst, dann schau dir die Tipps an. Ansonsten kannst du direkt mit der Aufgabe starten.
Schnittpunkt von zwei linearen Funktionen
Bestimme den Schnittpunkt von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=4x}
und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h(x)=2x+2}
. Überlege dir, ob du den Schnittpunkt graphisch oder rechnerisch lösen möchtest.
Schritt 1: Zeichne die Funktionen in ein Koordinatensystem ein.
2. Schritt: Markiere den Schnittpunkt durch ein Kreuz und lies die Koordinaten ab. Beschrifte den Schnittpunkt.(Bild aus GeoGebra einfügen)Gehe folgendermaßen vor:
Schritt 1: Setze beide Funktionsgleichungen gleich.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=h(x) }
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4x=2x+2 }
Schritt 2: Löse die Gleichung nach x auf.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4x=2x+2 \mid-2x}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2x=2 \mid:2 }
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=1 }
Schritt 3: Bestimme Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y}
. Setze dazu Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x}
in eine der beiden Funktionsgleichungen ein.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y=f(1)=4\cdot1=4}
Schritt 4: Probe. Setze Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x}
auch in die andere Funktionsgleichung ein.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y=h(1)=2\cdot1+2=2+2=4 }
Schritt 5: Gib den Schnittpunkt an.
Anwendungsaufgaben/ Modellierungsaufgaben
Löse die folgenden Aufgaben in deinem Heft.
Eine Kerze ist 1,5 Stunden nach dem Anzünden 12 cm und 3,5 Stunden nach dem Anzünden noch 6 cm hoch.
a) Warum handelt es sich hierbei um eine lineare Funktion?
b) Zeichne den Graphen der Zuordnung Zeit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rightarrow }
Länge der Kerze.
c) Lies ab: Wie lang war die Kerze zu Beginn? Nach welcher Brennzeit ist sie nur noch 1,5 cm hoch? Wann ist sie abgebrannt?
d) Bestimme die Änderungsrate und gib die Funktionsgleichung in der Form Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=mx+b}
an. Ermittle nun die gesuchten Werte aus c) mithilfe der Gleichung. Vergleiche.
Überlegt euch, welche Infos ihr habt. (Platzhalter)
b) ohne "Lies ab" sondern Lösungsweg frei wählbar, dann müsste c) aber anders formuliert werden.
Johannes geht zu Fuß von zu Hause aus zur 6km entfernten Sporthalle zum Fußballtraining. Er geht relativ konstant mit 4 km/h. Pauk steht schon vor der Sporthalle. Er startet zur gleichen Zeit wie Johannes mit seinem Fahrrad und fährt ihm entgegen. Paul fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 16 km/h. Beide nehmen den selben Weg. Wann und wo treffen sie sich?
Überlege, welche der oben genannten Werte die Steigung und welche den y-Achsenabschnitt der verschiedenen Funktionen darstellt. Male es dir graphisch in einem Koordinatensystem auf und überlege, welche Einheit auf der x- und welche auf der y-Achse steht. Stelle dann die entsprechenden Funktionsgleichungen auf.
Durch die oben genannten Daten stellst du die Funktionsgleichungen auf. Johannes' Geschwindigkeit 4km/h stellt die Steigung m der Gleichung dar. Johannes ist auf dem Weg zur Trainigshalle, also ist sein Staatspunkt bei 0km. Somit erhält man für Johannes die Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_J(x)=4 \cdot x }
, wobei x die Zeit in Stunden verkörpert. Paul fährt ihm mit 16 km/h entgegen. Da er in entgegengesetzter Richtung zu Johannes fährt, ist die steiggung der Gleichung negativ. Du bekommst die Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_P(x)=-16 \cdot x + b }
. Da Paul an der Sporthalle startet, ist der Wert b=6 für den y-Achsenabschnitt. Somit erhält man die Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_P(x)=-16 \cdot x + 6 }
.
Jetzt hast du zwei Möglichkeiten:
1. Du setzt die Funktionsgleichungen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_P(x) und f_J(x) }
gleich: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -16 \cdot x + 6 = 4 \cdot x }
. Nach Umformungen erhälst du die Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 20 \cdot x= 6 }
. Mit Auflösen nach x ergibt sich die Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=\frac {6}{20}=\frac {3}{10}=0,3 }
. Dieser x-Wert wird in eine der zwei Gleichungen eingesetzt. Setze x=0,3 in Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_J(x)=4 \cdot x }
ein und berechne das Produkt. Das ergibt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_J(0,3)=1,2 }
.
2. Du zeichnest beide Graphen und liest den Schnittpunkt der Geraden ab.
Maria möchte im Internet surfen und begutachtet die Tarife A, B und C.
Tarif A: Grundgebühr 5 € / Monat die ersten 5 Stunden frei, dann 1 Ct./min.
Tarif B: Grundgebühr 10 € / Monat die ersten 10 Stunden frei, dann 0,8 Ct./min.
Tarif C: Flat–Rate 40 € / Monat.
Maria surft im Durchschnitt zwei Stunden am Tag. (30 Tage /Monat).
a) Stellen Sie für jeden Tarif die Funktionsgleichung auf.
b) Zeichnen Sie die Funktionsgraphen in ein geeignetes Koordinatensystem.
c) Erklären Sie, was alles aus den Graphen ablesbar ist (Interpretation).
d) Berechnen Sie den günstigsten Tarif für Maria.
e) In welchem Punkt herrscht Kostengleichheit für Tarif A und B?
f) Ab welcher Surfzeit ist Tarif C der günstigste?
Versuche zunächst die Einheiten zu normen, also entscheide dich entweder für min. oder h., bzw. ct. oder € .
Es ist üblich eher in € / h zu rechnen. Den ct/ min Wert könntest du dann mit 60 min multiplizieren um auf ct/h zu kommen.
Wie könnte dieser Wert dann in € / h umgewandelt werden?
Nun kannst du eine vorübergehende Funktionsgleichung mit f(x)= dem Wert € /h x+ a (einen noch unbekannten Wert) aufstellen.
Dann überlege dir, was die Freistunden bedeuten?!
Welchen Punkt erhalten wir dadurch?
Versuche dies in die Funktionsgleichung mit einzubauen indem du den Punkt einsetzt und die Gleichung auflöst.
Um die Funktionsgleichung in ein Koordinatensystem zu übertragen, überlege dir zunächst welche Werte deine x- Achse und, welche Werte deine y-Achse angibst.
Probiere einen geeigneten Maßstab zu wählen indem du vorher einige Werte (auch höhere) in die Funktionsgleichung eingibst.
Falls du mit dem Zeichnen von Graphen Schwierigkeiten hast, wiederhole das entsprechende Kapitel in diesem Lernpfad. Da werden dir zwei Möglichkeiten einen Graphen zu zeichnen vorgestellt.
Falls du die Graphen alle in ein Koordinatensystem gezeichnet hast, kannst du einiges an diesen ablesen.
Zum Beispiel welcher Tarif wann am billigsten ist oder wann die Tarife gleich sind. Schaue dir dazu die Schnittpunkte genauer an und probiere diese zu interpretieren.Um den günstigen Tarif für Maria zu berechnen, müssen wir zunächst aus der Aufgabe herauslesen wie lange Maria im Monat surft.
Sie surft 2h am Tag. Diesen Wert muss man jetzt noch auf den Monat umrechnen. Wie viele Stunden surft Maria in 30 Tagen(einem Monat)?
Tarif A=
Zunächst multipliziert man die 1ct/min mit 60 min, um diesen Wert in ct/h zu haben. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 60 min\cdot 1ct/min= 60 ct/h }
Nun wandelst du diesen Wert in €/h um. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 60 ct/min= 0,6 euro/h}
. Wir kennen jetzt schon einen Teil der Funktionsgleichung.Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_1(x)= 0,6x+ a}
, wobei a ein noch unbekannter Wert ist.
Wir wissen, dass die ersten 5 Stunden frei sind,d.h hier muss nur die Grundgebühr von 5€ bezahlt werden. Der Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A (5|5) }
muss also auf dem Graphen unserer Funktionsgleichung liegen. D.h. wir können diesen Punkt nun in die Funktionsgleichung von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_1 }
einsetzten und nach a auflösen, um die ganze Funktionsgleichung zu erhalten.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_1(5)=0,6\cdot5+a=5 \Longleftrightarrow 3+a=5 \Longleftrightarrow a=2 }
.
Die Funktionsgleichung für Tarif A ist also Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)= 0,6x+2 }
. Beachtet jedoch, dass die Funktion bis Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x= 5 }
konstant 5 ist.
Tarif B=
Zunächst multipliziert man die 0,8ct/min mit 60 min, um diesen Wert in ct/h zu haben. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 60 min\cdot 0,8ct/min= 48 ct/h }
Nun wandelst du diesen Wert in €/h um. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 48 ct/min= 0,48 euro/h}
. Wir kennen jetzt schon einen Teil der Funktionsgleichung.Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g_1(x)= 0,48x+ b}
, wobei a ein noch unbekannter Wert ist.
Wir wissen, dass die ersten 10 Stunden frei sind,d.h hier muss nur die Grundgebühr von 10€ bezahlt werden. Der Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B (10|10) }
muss also auf dem Graphen unserer Funktionsgleichung liegen. D.h. wir können diesen Punkt nun in die Funktionsgleichung von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g_1 }
einsetzten und nach b auflösen, um die ganze Funktionsgleichung zu erhalten.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g_1(10)=0,48\cdot10+b=10 \Longleftrightarrow 4,8+b=10 \Longleftrightarrow b=5,2 }
.
Die Funktionsgleichung für Tarif B ist also Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(x)= 0,48x+5,2 }
. Beachtet jedoch, dass die Funktion bis Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x= 10 }
konstant 10 ist.
Tarif C=
Da dies eine Flatrate ist, wird ein Wert für jeden Monat festgesetzt und dieser Wert verändert sich auch nicht wenn mehr oder weniger Stunden gesurft wird. Deshalb ist die Funktion eine Konstante.
Der Schnittpunkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A=(0|5) }
sagt aus, dass der Tarif A selbst wenn man gar keine Zeit im Internet surft man dennoch 5 € bezahlen muss.
Der Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B=(5|5) }
ist uns bereits aus dem Teil a bekannt. Bis zu diesem Punkt läuft der Graph konstant, da die ersten 5 Stunden frei sind, danach verläuft die Funktion linear.
Der Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C=(0|10) }
ist beim Tarif B der Schnittpunkt mit der y-Achse. Auch hier gilt also, dass selbst wenn Maria gar nicht im Internet surft sie dennoch 10 € bezahlen muss.
Den Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D=(10|10) }
kennen wir schon aus dem Teil a dieser Aufgabe. Bis zu diesem Punkt läuft die Funktion des Tarifs B konstant, da die ersten 10 Stunden frei sind.
Der Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E=(26,67|18) }
ist der Schnittpunkt der beiden Funktion f(x) und g(x). Das heißt an diesem Punkt sind die Tarife für Maria gleich teuer.
Der PunktFehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F=(63,33|40) }
ist der Schnittpunkt der Funktionen f(x) und h(x). An diesem Punkt sind die beiden Tarife A und C also gleich teuer für Maria.
Zunächst bestimmen wir die Stundenzahl, welche Maria pro Monat fürs surfen nutzt. Maria surft 2h/Tag. Da ein Monat 30 Tage hat, kann man, kann man 30 und 2 multiplizieren und erhält 60 h/Monat.
Nun setzten wir die 60 h als x- Wert in die Funktionsgleichungen von f(x),g(x) und h(x) ein und vergleichen das Ergebnis.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(60)= 0,6\cdot60+2 =36+2=38}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(60)= 0,48\cdot60+5,2=28,8+5,2=34 }
Hier ist nach dem Schnittpunkt von f(x) und g(x) gefragt. Dazu setzt man die Gleichungen gleich und löst sie nach x auf.
Um dies herauszufinden brauchen wir die Schnittpunkte der Funktionsgleichungen f(x),g(x) mit h(x), da f und g danach größer als h sind und somit h (also der Tarif C) dann der günstigste wäre.