Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Lineare Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Lösung versteckt|1 = | {{Lösung versteckt|1 = | ||
Die Funktionsgleichung lautet <math>f(x) = | Die Funktionsgleichung lautet <math>f(x) = 3x + 15</math> | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
* Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y bzw. f(x)-Koordinaten zweier Punkte der Wertetabelle berechnen. Wir wählen zum Beispiel die Punkte <math>P(4|27)</math> und <math>Q(9|42)</math> und berechnen wie folgt: <math>f(x_2)–f(x_1)= 42-27=15 </math> | |||
* Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der gleichen Punkte, die du beim Höhenunterschied gewählt hast, verwenden. Wir benutzen also die Punkte <math>P(-3|\frac{9}{4})</math> und <math>Q(1|1\frac{1}{4})</math>. Dann rechnen wir wie folgt: <math>x_2–x_1=9-4=5 </math> | |||
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden setzt du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <math> m =f(x_2) – f(x_1)/(x_2-x_1)= 15/5=3</math> | |||
* Für die Berechnung des y-Achsenabschnitts setzt du die Steigung <math>m =3</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + b</math> ein. | |||
* Wenn du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhältst du <math>f(x) = mx + b \Leftrightarrow 27= 3 \cdot 4+ b \Leftrightarrow 27=12+ b \Leftrightarrow b= 15 </math> | |||
* Wenn du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhältst du <math>f(x) = mx + b \Leftrightarrow 42= 3 \cdot 9+ b \Leftrightarrow 42 =27 + b \Leftrightarrow b= 15 </math> | |||
* Zum Schluss setzt du <math>m = 3</math> und <math>b = 15</math> in die Geradengleichung <math> f(x) = mx + b</math> ein. | |||
|2=Lösungsweg durch Berechnung der Steigung und anschließend des y-Achsenabschnitts|3=Lösungsweg durch Berechnung der Steigung und anschließend des y-Achsenabschnitts}} | |2=Lösungsweg durch Berechnung der Steigung und anschließend des y-Achsenabschnitts|3=Lösungsweg durch Berechnung der Steigung und anschließend des y-Achsenabschnitts}} | ||
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{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P( | * Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(4|27)</math> und <math>Q(9|42)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + b</math> ergeben, sind <math>27= m \cdot 4 + b</math> und <math> 42= m \cdot 9 + b</math>. | ||
* Forme dann beide Gleichungen nach b um und setze sie <math> | * Forme dann beide Gleichungen nach b um und setze sie <math>27-4 \cdot m = 42 - 9/cdot m </math>. | ||
* Dann löst du eine Gleichung nach <math>m</math> auf und erhältst <math>m = | * Dann löst du eine Gleichung nach <math>m</math> auf und erhältst <math>m = 3 </math>. | ||
* Die Steigung setzt du anschließend in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhältst <math> b= | * Die Steigung setzt du anschließend in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhältst <math> b= 15</math>. | ||
* Zum Schluss setzt du <math>m = | * Zum Schluss setzt du <math>m = 3</math> und <math>b = 15 </math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + b</math> ein. | ||
|2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}} | |2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}} | ||
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<span style="color: | <span style="color: orange">b)</span> Gegeben sind die Punkte <math> P(-3|-1)</math> und <math>Q(1|7) </math>. | ||
{{Lösung versteckt|1 = | {{Lösung versteckt|1 = | ||
Die Funktionsgleichung lautet <math>f(x) = | Die Funktionsgleichung lautet <math>f(x) = 2x+5</math> | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
* Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y bzw. f(x)-Koordinaten zweier Punkte der Wertetabelle berechnen. Wir wählen zum Beispiel die Punkte <math>P(-3| | * Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y bzw. f(x)-Koordinaten zweier Punkte der Wertetabelle berechnen. Wir wählen zum Beispiel die Punkte <math>P(-3|-1)</math> und <math>Q(1|7)</math> und berechnen wie folgt: <math>f(x_2)–f(x_1)= 7-(-1)=8 </math> | ||
* Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der gleichen Punkte, die du beim Höhenunterschied gewählt hast, verwenden. Wir benutzen also die Punkte <math>P(-3| | * Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der gleichen Punkte, die du beim Höhenunterschied gewählt hast, verwenden. Wir benutzen also die Punkte <math>P(-3|-1)</math> und <math>Q(1|7)</math>. Dann rechnen wir wie folgt: <math>x_2–x_1=1-(-3)=4 </math> | ||
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden setzt du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <math> m =f(x_2) – f(x_1)/(x_2-x_1)= | * Für die Steigung <math>m</math> der Geraden setzt du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <math> m =f(x_2) – f(x_1)/(x_2-x_1)= 8/4= 2</math> | ||
* Für die Berechnung des y-Achsenabschnitts setzt du die Steigung <math>m = | * Für die Berechnung des y-Achsenabschnitts setzt du die Steigung <math>m = 2 </math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + b</math> ein. | ||
* Wenn du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhältst du <math>f(x) = mx + b \Leftrightarrow -1= 2 \cdot -3+ b \Leftrightarrow -1=-6+ b \Leftrightarrow b= 5 </math> | |||
* Wenn du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhältst du <math>f(x) = mx + b \Leftrightarrow 7= 2 \cdot 1+ b \Leftrightarrow 7=2 + b \Leftrightarrow b= 5 </math> | |||
* Zum Schluss setzt du <math>m = | * Zum Schluss setzt du <math>m = 2</math> und <math>b = 5 </math> in die Geradengleichung <math> f(x) = mx + b</math> ein. | ||
|2=Lösungsweg durch Berechnung der Steigung und anschließend des y-Achsenabschnitts|3=Lösungsweg durch Berechnung der Steigung und anschließend des y-Achsenabschnitts}} | |2=Lösungsweg durch Berechnung der Steigung und anschließend des y-Achsenabschnitts|3=Lösungsweg durch Berechnung der Steigung und anschließend des y-Achsenabschnitts}} | ||
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{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(-3| | * Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(-3|-1)</math> und <math>Q(1|7)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + b</math> ergeben, sind <math>-1= m \cdot -3 + b</math> und <math> 7= m \cdot 1 + b</math>. | ||
* Forme dann beide Gleichungen nach b um und setze sie <math> | * Forme dann beide Gleichungen nach b um und setze sie <math>-1+3 \cdot m = 7-m </math>. | ||
* Dann löst du eine Gleichung nach <math>m</math> auf und erhältst <math>m = | * Dann löst du eine Gleichung nach <math>m</math> auf und erhältst <math>m = 2 </math>. | ||
* Die Steigung setzt du anschließend in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhältst <math> b= | * Die Steigung setzt du anschließend in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhältst <math> b= 5 </math>. | ||
* Zum Schluss setzt du <math>m = | * Zum Schluss setzt du <math>m = 2 </math> und <math>b = 5 </math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + b</math> ein. | ||
|2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}} | |2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}} | ||
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{{Lösung versteckt|1 = | {{Lösung versteckt|1 = | ||
Die Funktionsgleichung lautet <math>f(x) = | Die Funktionsgleichung lautet <math>f(x) = \frac{8}{5}x -4,5</math> | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
* Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y bzw. f(x)-Koordinaten zweier Punkte der Wertetabelle berechnen. Wir wählen zum Beispiel die Punkte <math>P(- | * Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y bzw. f(x)-Koordinaten zweier Punkte der Wertetabelle berechnen. Wir wählen zum Beispiel die Punkte <math>P(-5|-12,5)</math> und <math>Q(10|11,5)</math> und berechnen wie folgt: <math>f(x_2)–f(x_1)=11,5-(-12,5)=24 </math> | ||
* Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der gleichen Punkte, die du beim Höhenunterschied gewählt hast, verwenden. Wir benutzen also die Punkte <math>P(- | * Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der gleichen Punkte, die du beim Höhenunterschied gewählt hast, verwenden. Wir benutzen also die Punkte <math>P(-5|-12,5)</math> und <math>Q(10|11,5)</math>. Dann rechnen wir wie folgt: <math>x_2–x_1=10-(-5)=15</math> | ||
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden setzt du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <math> m =f(x_2) – f(x_1)/(x_2-x_1)= | * Für die Steigung <math>m</math> der Geraden setzt du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <math> m =f(x_2) – f(x_1)/(x_2-x_1)= \frac{24}{15]= \frac{8}{5}</math> | ||
* Für die Berechnung des y-Achsenabschnitts setzt du die Steigung <math>m = | * Für die Berechnung des y-Achsenabschnitts setzt du die Steigung <math>m = \frac{8}{5}</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + b</math> ein. | ||
* Wenn du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhältst du <math>f(x) = mx + b \Leftrightarrow -12,5= \frac{8}{5} \cdot (-5)+ b \Leftrightarrow -12,5=8 + b \Leftrightarrow b= -4,5 </math> | |||
* Wenn du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhältst du <math>f(x) = mx + b \Leftrightarrow 11,5= \frac{8}{5} \cdot 10+ b \Leftrightarrow 11,5 =16 + b \Leftrightarrow b= -4,5 </math> | |||
* Zum Schluss setzt du <math>m = | * Zum Schluss setzt du <math>m = \frac{8}{5}</math> und <math>b = -4,5 </math> in die Geradengleichung <math> f(x) = mx + b</math> ein. | ||
|2=Lösungsweg durch Berechnung der Steigung und anschließend des y-Achsenabschnitts|3=Lösungsweg durch Berechnung der Steigung und anschließend des y-Achsenabschnitts}} | |2=Lösungsweg durch Berechnung der Steigung und anschließend des y-Achsenabschnitts|3=Lösungsweg durch Berechnung der Steigung und anschließend des y-Achsenabschnitts}} | ||
Zeile 303: | Zeile 303: | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(- | * Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(-5|-12,5)</math> und <math>Q(10|11,5)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + b</math> ergeben, sind <math> -12,5= m \cdot (-5) + b</math> und <math> 11,5= m \cdot 10 + b</math>. | ||
* Forme dann beide Gleichungen nach b um und setze sie <math> | * Forme dann beide Gleichungen nach b um und setze sie <math>-12,5+ 5 \cdot m = 11,5 - 10 /cdot m </math>. | ||
* Dann löst du eine Gleichung nach <math>m</math> auf und erhältst <math>m = | * Dann löst du eine Gleichung nach <math>m</math> auf und erhältst <math>m = \frac{8}{5} </math>. | ||
* Die Steigung setzt du anschließend in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhältst <math> b= | * Die Steigung setzt du anschließend in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhältst <math> b=-4,5 </math>. | ||
* Zum Schluss setzt du <math>m = | * Zum Schluss setzt du <math>m = \frac{8}{5}</math> und <math>b = -4,5 </math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + b </math> ein. | ||
|2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}} | |2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}} | ||
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* Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der gleichen Punkte, die du beim Höhenunterschied gewählt hast, verwenden. Wir benutzen also die Punkte <math>P(-3|\frac{9}{4})</math> und <math>Q(1|1\frac{1}{4})</math>. Dann rechnen wir wie folgt: <math>x_2-x_1=1-(-3)=4</math> | * Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der gleichen Punkte, die du beim Höhenunterschied gewählt hast, verwenden. Wir benutzen also die Punkte <math>P(-3|\frac{9}{4})</math> und <math>Q(1|1\frac{1}{4})</math>. Dann rechnen wir wie folgt: <math>x_2-x_1=1-(-3)=4</math> | ||
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden setzt du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <math>m=(f(x_2)-f(x_1)/(x_2-x_1)=1\frac{1}{4}-\frac{9}{4} | * Für die Steigung <math>m</math> der Geraden setzt du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <math>m=(f(x_2)-f(x_1)/(x_2-x_1)=(1\frac{1}{4}-\frac{9}{4})/(1-(-3))=-\frac{1}{4}</math> | ||
* Für die Berechnung des y-Achsenabschnitts setzt du die Steigung <math>m = -\frac{1}{4}</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + b</math> ein. | * Für die Berechnung des y-Achsenabschnitts setzt du die Steigung <math>m = -\frac{1}{4}</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + b</math> ein. | ||
* Wenn du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhältst du <math>f(x) = mx + b \Leftrightarrow \frac{9}{4}= -\frac{1}{4} \cdot -3+ b \Leftrightarrow \frac{9}{4} =\frac{3}{4} + b \Leftrightarrow b= \frac{6}{4}=\frac{3}{2} </math> | |||
* Wenn du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhältst du <math>f(x) = mx + b \Leftrightarrow 1\frac{1}{4}= -\frac{1}{4} \cdot 1+ b \Leftrightarrow 1\frac{1}{4} =-\frac{1}{4} + b \Leftrightarrow b= 1\frac{2}{4}=\frac{3}{2} </math> | |||
* Zum Schluss setzt du <math>m = -\frac{1}{14}</math> und <math>b = \frac{3}{2}</math> in die Geradengleichung <math> f(x) = mx + b</math> ein. | * Zum Schluss setzt du <math>m = -\frac{1}{14}</math> und <math>b = \frac{3}{2}</math> in die Geradengleichung <math> f(x) = mx + b</math> ein. | ||
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* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(-3|\frac{9}{4})</math> und <math>Q(1|1\frac{1}{4})</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + b</math> ergeben, sind <math>\frac{9}{4}= m \cdot -3 + b</math> und <math> 1\frac{1}{4}= m \cdot 1 + b</math>. | * Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(-3|\frac{9}{4})</math> und <math>Q(1|1\frac{1}{4})</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + b</math> ergeben, sind <math>\frac{9}{4}= m \cdot (-3) + b</math> und <math> 1\frac{1}{4}= m \cdot 1 + b</math>. | ||
* Forme dann beide Gleichungen nach b um und setze sie <math>\frac{9}{4}+3 \cdot m = 1\frac{1}{4} -m </math>. | * Forme dann beide Gleichungen nach b um und setze sie <math>\frac{9}{4}+3 \cdot m = 1\frac{1}{4} -m </math>. | ||
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* Die Steigung setzt du anschließend in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhältst <math> b= \frac{2}{3}</math>. | * Die Steigung setzt du anschließend in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhältst <math> b= \frac{2}{3}</math>. | ||
* Zum Schluss setzt du <math>m = -\frac{1}{4}</math> und <math>b = \frac{2}{3}</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + | * Zum Schluss setzt du <math>m = -\frac{1}{4}</math> und <math>b = \frac{2}{3}</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + b </math> ein. | ||
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Version vom 14. November 2020, 19:13 Uhr
Wiederholung: Was ist eine Funktion?
Lineare Funktionen erkennen
Erklärungstext
Graph einer linearen Funktion
Bestimmung von Funktionsgleichungen
Liegen die Punkte auf dem Graphen?
Schnittpunkte von linearen Funktionen
Linearen Funktionen haben immer einen Schnittpunkt mit der -Achse, den -Achsenabschnitt. Zusätzlich schneiden alle Funktionen, die nicht konstant sind, die -Achse. Diesen Punkt nennt man auch die Nullstelle der Funktion, da der zugehörige -Wert an dieser Stelle immer gleich ist. Aber es können sich auch zwei lineare Funktionen in einem Punkt schneiden.
Du kannst den Schnittpunkt von linearen Funktionen auf zwei Arten bestimmen.
- Rechnerisch
- Graphisch
Das graphische Bestimmen des Schnittpunktes kann ungenau sein, da du den Schnittpunkt manchmal nicht exakt ablesen kannst. Durch eine Rechnung erhälst du immer den genauen Schnittpunkt.
Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle)
Die Nullstelle einer linearen Funktion ist der Schnittpunkt der Funktion mit der -Achse. Die Berechnung ist daher oftmals leichter als die Berechnung des Schnittpunktes zweier linearer Funktionen, da der -Wert bereits bekannt ist, dieser ist immer .
Wenn du dir nicht mehr sicher bist, wie du die Nullstelle einer linearen Funktion bestimmst, dann schau dir die Tipps an. Ansonsten kannst du direkt mit der Aufgabe starten.
Schnittpunkt von zwei linearen Funktionen
Anwendungsaufgaben/ Modellierungsaufgaben
Löse die folgenden Aufgaben in deinem Heft.
b) ohne "Lies ab" sondern Lösungsweg frei wählbar, dann müsste c) aber anders formuliert werden.