Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Lineare Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Box | Aufgabe: Funktionsgleichung mit Hilfe von zwei Punkten bestimmen | | {{Box | Aufgabe: Funktionsgleichung mit Hilfe von zwei Punkten bestimmen | | ||
Nutze die je in den folgenden Teilaufgaben genannten Punkte, durch welche eine Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweilige Gleichung der Geraden in der Form <math> f(x)= m\cdot x+b</math>. <br \> | Nutze die je in den folgenden Teilaufgaben genannten Punkte, durch welche eine Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweilige Gleichung der Geraden in der Form <math> f(x)= m\cdot x+b</math>. <br \> | ||
{{Lösung versteckt|1= | |||
Du kannst die Geradengleichung auf drei unterschiedlichen Wegen erhalten: | |||
{{Lösung versteckt|1= | |||
# Berechne zunächst die Steigung <math>m</math>, indem du wie im Merkkasten zum Steigungsdreieck vorgehst. | |||
# Berechne anschließend den y-Achsenabschnitt <math>n</math>, indem du die Steigung und einen der beiden Punkte in die Geradengleichung der Form <math>g(x) = mx + n</math> einsetzt. | |||
|2=Steigung und y-Achsenabschnitt nacheinander berechnen|3=Steigung und y-Achsenabschnitt nacheinander berechnen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= | |||
# Stelle zwei Gleichungen mit jeweils den Unbekannten <math>m</math> und <math>n</math> auf, indem du die x-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> für <math>x</math> und die y-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> für <math>g(x)</math> in die Geradengleichung <math>g(x) = mx + n</math> einsetzt. | |||
# Beide Gleichungen ergeben zusammen ein lineares Gleichungssystem, welches du zum Beispiel mit Hilfe des Eliminationsverfahres lösen kannst, um die beiden Unbekannten <math>m</math> und <math>n</math> zu bestimmen. | |||
# Die beiden Unbekannten <math>m</math> und <math>n</math> setzt du anschließend in die Geradengleichung <math>g(x) = mx + n</math> ein. | |||
{{Lösung versteckt|1= | |||
Bei einer Funktion wird jedem <math>x</math> immer genau ein <math>y</math> zugeordnet. Dass einem <math>x</math> dabei immer wirklich nur genau einem <math>y</math> zugeordnet wird, wird durch die Schreibweise von <math>y</math> als <math>g(x)</math> deutlicher. Bei einer Geradengleichung der Form <math>g(x) = mx + n</math> könnte man alternativ also auch <math>y = mx + n</math> schreiben. <br> | |||
Mehr dazu kannst du im Lernpfadkapitel zu Termen und Gleichungen nachlesen. | |||
|2=Tipp: Wieso muss man die y-Koordinate für g(x) einsetzen?|3=Wieso man die y-Koordinate für g(x) einsetzen muss}} | |||
|2=Lösung mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems|3=Lösung mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems}} | |||
{{Lösung versteckt|1= | |||
# Zeichne die Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> in ein Koordinatensystem ein. | |||
# Zeichne eine Gerade, die durch die Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> verläuft. | |||
# Bestimme mit Hilfe des Steigungsdreiecks die Steigung <math>m</math>. | |||
# Lies den y-Achsenabschnitt <math>n</math> am Graphen ab. | |||
# Setze alles in die Geradengleichung <math>g(x) = mx + n</math> ein. | |||
|2=Lösung mit Hilfe eines Graphen|3=Lösung mit Hilfe eines Graphen}} | |||
|2=Tipp: Vorgehen|3=Tipp: Vorgehen}} | |||
a) <br \> | a) <br \> | ||
b) <br \> | b) <br \> | ||
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Version vom 12. November 2020, 14:10 Uhr
Wiederholung: Was ist eine Funktion?
Lineare Funktionen erkennen
Erklärungstext
Graph einer linearen Funktion
Bestimmung von Funktionsgleichungen
Liegen die Punkte auf dem Graphen?
Schnittpunkte von linearen Funktionen
Linearen Funktionen haben immer einen Schnittpunkt mit der -Achse, den -Achsenabschnitt. Zusätzlich schneiden alle Funktionen, die nicht konstant sind, die -Achse. Diesen Punkt nennt man auch die Nullstelle der Funktion, da der zugehörige -Wert an dieser Stelle immer gleich ist. Aber es können sich auch zwei lineare Funktionen in einem Punkt schneiden.
Du kannst den Schnittpunkt von linearen Funktionen auf zwei Arten bestimmen.
- Rechnerisch
- Graphisch
Das graphische Bestimmen des Schnittpunktes kann ungenau sein, da du den Schnittpunkt manchmal nicht exakt ablesen kannst. Durch eine Rechnung erhälst du immer den genauen Schnittpunkt.
Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle)
Die Nullstelle einer linearen Funktion ist der Schnittpunkt der Funktion mit der -Achse. Die Berechnung ist daher oftmals leichter als die Berechnung des Schnittpunktes zweier linearer Funktionen, da der -Wert bereits bekannt ist, dieser ist immer .
Wenn du dir nicht mehr sicher bist, wie du die Nullstelle einer linearen Funktion bestimmst, dann schau dir die Tipps an. Ansonsten kannst du direkt mit der Aufgabe starten.
Schnittpunkt von zwei linearen Funktionen
Anwendungsaufgaben/ Modellierungsaufgaben
Löse die folgenden Aufgaben in deinem Heft.
b) ohne "Lies ab" sondern Lösungsweg frei wählbar, dann müsste c) aber anders formuliert werden.